風雲老師精選文章：
關於“方程方法VS算術方法”這一主題的直播內容，可以在影片號上看直播回放。上次直播因為網路的原因，一開始幾秒有點卡，不影響觀看。下面是直播內容文字版！之前關於這個主題寫了不少文章，但都不夠系統，這次直播就是對之前的多篇文章做一個系統完整的總結！除了直播講話內容外，今天釋出的這個文字版還加入了一個非常重要的內容，就是第四節分析算術方法和方程方法的本質區別！
幾乎沒有較複雜的應用題，除了四年級數學廣角中出現雞兔同籠問題，
這些較為複雜的應用題，幾乎沒有出現在人教版小學數學課本，卻批量出現在初一初二的人教版數學課本，正是出現在學一元一次方程，二元一次方程組，三元一次方程組，分式方程的章節中。
（較為複雜的應用題，界定為，可以透過列簡單的方程求解的應用題）
不過，在小學奧數中，除了這種較為複雜的應用題，還有非常複雜的應用題，非常非常複雜的應用題，小學奧數這個行業在這些較為複雜的和非常複雜的應用題上兜售了大量的五花八門千奇百怪的算術方法和畫圖法，包括什麼和倍和差，差倍，變倍，和差倍隱藏條件，複雜和差倍，假設法，假設法進階，分組法，分組法進階，假設分組綜合提高，和差倍分組比較，盈虧，盈虧條件轉化，複雜盈虧，，，，，
問題來了，在小學到初中這個階段，究竟該怎麼學這些應用題求解？該學到什麼樣的複雜程度呢？是學算術方法畫圖法還是方程方法呢？
“小學奧數解應用題的根本價值在於畫圖習慣、在於數量關係分析、在於面對難題時的耐心和韌性、在於透過恰當方法拆解複雜問題的經驗，”
“小學奧數方法解某些應用題可以體現什麼假設，轉化，比較，化歸，極限，數學模型等數學思維”
我發現這些用數學思維包裝小學奧數的宣傳都在暗示一點：用小學奧數中的方法解較複雜的應用題，這裡面有非常豐富的思維，用方程直接解雖然很簡單，但缺乏思維鍛鍊！很多家長也因此對方程方法留在這種深刻的印象。
這些小奧老師之所以有這種無知的觀點，是因為數學眼界問題!
上次直播說過，很多小學培訓老師，由於長年聚焦某個具體學段(比如三四年級，或者五六年級)的培訓，所以他們根本沒有中小學數學教育的大局眼光
其實真正強大的數學思維往往就是思路非常簡單，非常通用，比較抽象的。數學的精髓就是以簡馭繁，把複雜的問題簡單化。所以如果說真要鍛鍊思維，那方程才是真正強大的思維！
你看看小學奧數老師宣稱的應用題算術方法中的那些思維：數量關係分析，假設，轉化，比較，化歸，數學模型，這些統統可以體現在方程方法中。
你想想設出未知量x,y,z是不是需要“假設”，？？？設出未知量後，想列出方程是不是需要“數量關係分析”？？？需不需要？？
還有“轉化”，“化歸”，方法方法將應用題抽象為方程，再化簡方程，這不就是一步步“轉化”，“化歸”嗎，消元法將三元消成二元，再將二元消成一元，這不就是非常典型的“轉化”，“化歸”嗎？
消元法需要比較兩個方程，這不就是比較思維嗎？至於“數學模型”，列方程本身就是最典型的數學模型！
更重要的是，方程方法中還包含至關重要的各種代數思維：移項，合併同類項，去括號法則，分式通分約分，代入，，，，，，，總而言之方程方法本身就有非常非常豐富的數學思維。
還有，列方程固然是解題思路簡單，但也絕不是無腦列方程，尤其是碰到很複雜的應用題，如何合理的選擇假設出未知量，如何提煉數量關係列方程，如何合理的求解方程，每一步都是非常講究的(這一點後面還會講得)
說什麼““不要無腦列方程，不然不能鍛鍊到思維””只能說你對方程方法太無知了！
眾所周知，方程方法可以對較複雜，以及非常複雜的應用題算術方法形成降維打擊，碾壓！但是到底能打擊，碾壓到什麼程度呢？是不是可以覆蓋所有的算術應用題呢？絕大多數人，心裡是沒譜的。
在這篇文章裡，這位教培老師想維護小學奧數中算術方法畫圖法的價值，舉了兩道應用題做例子，認為這兩道題目不適合用方程方法。結果呢，因為我僅僅瞄了一眼，立刻發現，這兩道題非常適合方程方法，尤其是下面這第二道應用題，簡直就是方程方法的絕好試金石，可以讓讀者一窺方程方法的精妙。所以我就寫了一篇文章《**老師，請允許我隔空指導您解應用題》
設全程為x, 速度為v, 修車花了2/3小時，所以瞬間可以列出兩個方程：
注意這兩個方程看似非常可怕，其實只是紙老虎，因為這兩個方程中有太多相同項，所以兩個方程相減之後，立刻瘦身為：
馬上解答得到v=48。接下來請認真觀察第一個方程：
這個方程看似有兩個未知數，但本質上是一個關於x/v的方程，所以這個方程可以很快化簡為x/v=6，所以全程為48乘以6=288。
其實這種非常應用題根本不適合教給小學生(原因我後面會重點講)。不過，卻非常適合用來講解方程方法和算術方法的關係。
解這道題和這個方程組的要點是先讓兩個方程相減，然後再化簡第一個方程，這才是最優方法，如果先化簡第一個方程，再代入第二個方程，就做複雜了一些。
這位教培老師的算術方法做複雜了，他的解答的前半部分，還原成方程方法，本質上就是化簡第一個方程，後半部分，本質上就是將結果代入第二個方程, 所以做複雜了。
這道題有沒有更簡單的算術方法呢？上面解方程的最優方法就可以翻譯成算術方法，兩個方程相減就對應著兩次出行的比較：
第一次出行比第二次多用了0.5小時，多在哪裡呢？就是多在丙到丁72千米這一段，第一次是用75%的速度，而第二次用正常速度，所以這段路程兩次用時比為4：3，由此立刻得出這段路程第二次用時為1.5小時, 所以速度是48。
接下來就是第一次出行比正常出行多用了4/3小時，多在哪裡呢？就是多在丙到目的地這一段，第一次是用75%的速度，而正常出行用正常速度，所以這段路程兩次用時比為4：3，所以很快得出這段正常用時為4小時，所以全程正常用時為6小時，全程288
注意到沒有，方程方法不但可以解讀算術方法的本質，還可以比較不同算術方法的，甚至還可以生成新的算術方法。
如果僅僅學這些複雜的多種多樣的算術方法，你很可能會繞到雲裡霧裡，但是一旦站在方程方法的高度，一切都一覽無餘。
方程方法高高在上俯視各種算術方法，就跟上蒼俯視芸芸眾生一樣。
所以這種降維打擊，全方位，無死角的，碾壓是絕對的碾壓。
這裡讀者可能會問：
為什麼方程方法會如此強大，能絕對碾壓各種算術方法，畫圖法！
其實原因在《中小學數學要義》中第三章已經講得很清楚了，我拍出一部分讓大家見識一下：
總結一下，方程方法之所以會如此強大，能絕對碾壓各種算術方法，畫圖法，根本原因在於方程方法提煉出了應用題的數學本質，排除了一切非本質資訊的干擾，把應用題中數量關係用最清晰最露骨的方式展示出來。
如果一道應用題可以用算術方法求解，那這道題一定也可以用方程方法求解！如果一道應用題可以用算術方法簡單求解，那這道題一定也可以用方程方法簡單求解！如果一道應用題可以用算術方法巧妙求解，那這道題一定也可以用方程方法巧妙求解！
因為方程方法已經把應用題中所有數量關係完整提煉出來。
有一種非常典型且庸俗的觀點認為，方程方法是順向思維，算術方法是逆向思維，大概是因為他們以為方程方法很直接，而算術方法很繞，所以才得出這種搞笑的說法。
或許也有可能是因為有些應用題算術方法需要倒推，比如一籃子雞蛋，第一次取出3/5多3個，還剩55個，這道應用題，可以用算術方法倒推，拿走最後3個雞蛋之前還剩下58個，這時剩下的是原先的2/5，所以原來有58÷(2/5)=145個雞蛋。
當然也可以直接列x-((3/5)x+3)=55解得x=145。不少人或許是因為看到方程方法是直接列方程，算術方法需要倒推，所以就搗鼓總結出什麼“順向思維，逆向思維”。其實解這個方程所需要的移項合併同類型翻譯成過來就是上面的算術方法，實質上是一樣的，也是倒推。所以這些所謂的什麼“順向，逆向”都是扯淡！方程方法和算術方法無所謂順逆，因為它們所分析的數量關係實質上是一樣的，方程的各種解法和各種算術方法也是對應的，可以相互"翻譯"。
總之，方程方法和算術方法最本質的區別在於，方程方法是排除一切干擾資訊，用最清晰最露骨的方式展示，並分析應用題中的數量關係，所以給人感覺非常直接。而算術方法是帶著大量干擾資訊分析應用題中的數量關係，所以讓人繞在雲裡霧裡，容易產生逆向的幻覺。
解上面這道複雜的應用題用到的二元方程組是初一下才學的，分式方程是初二上才學的。一起來看看初二上課本中會用分式方程解決什麼應用題：
以第3題為例，甲乙速度比是3:4，所以甲走完6km時乙走完8km，剩下2km乙用了20分鐘，所以乙的速度立刻出來了。
倒是上面爭論的這道非常複雜應用題，其實更適合作為方程方法的試金石，比較適合初二學過分式方程，方程組的學生作為一道比較有點挑戰的題目。
所以，學到初二這裡，再去拿這道題作為有點挑戰的習題，這才是比較正常的數學教育。
小學高年級，還沒接觸方程方法的時候，強行用複雜繁瑣的算術方法教小孩子，就跟懷胎才五個月就非要剖腹產一樣，是非常愚蠢且低效的！
好了，即使這種應用題，這種對掌握方程方程的初二學生而言，比較有點挑戰的應用題，會出現在中考數學中嗎？
中考數學對方程方法解應用題的要求是極低的！2024年中考數學為例，北上廣深，浙江南京重慶福建幾個發達地方的中考數學，其實只有北京重慶中考數學有方程方法解應用題的大題，而且非常簡單，簡直就是送分題：
2024北京中考方程解應用題大題
2024重慶中考ab卷方程解應用題大題
其他地方的中考有可能在填空等其他題型中會出現方程方法解應用題，而且無一例外都是課本習題的難度，都是送分題。
但是，中考數學的其他大題，尤其是函式大題和幾何大題，會高頻率的出現解方程的步驟，中考數學中還有許多題目就是直接考你解方程，或者方程相關的內容。
總結一下：
整個中考數學中，方程方法和相關的代數方法簡直就是基礎和核心，所佔分數比值大的驚人，但是中考考察方程的重點根本不在列方程解應用題，所考的方程方法解應用題完全就是送分題。
其實，初中充分學過方程方法之後，本來是完全可以讓學生解決更多更復雜更難的應用題。
可是，為什麼不論是初中教材，還是中考數學，對方程方法解應用題的考察要求都非常低呢？低到小學奧數中算術方法可以輕鬆秒殺！！
還有一個問題，為什麼這些(相對於小學課本題目較複雜，但在小學奧數中卻稀鬆平常)較複雜的應用題幾乎不出現在人教版小學數學課本中，卻集中出現在初中教材學習方程方法的章節中呢？
在整個中小學數學體系中，這種較為複雜的應用題，它的作用就是作為藥引子，引出方程方法，再作為方程方法的簡單試金石，用於加深對方法方法的理解和領悟，如此而已。
你看看，初中的方程章節，一開始是不是都是舉出一個典型應用題作為引子
方程方法本身是非常博大的，裡面包含的代數內容：移項，合併同類項，化簡，去括號法則，分式通分約分，代入，消元，，，，，，所有這些都是中學數學的根基和命脈！
初二再往後，二元三次一次方程組，分式方程解應用題就漸漸揚棄了，中考即使會出現方程解應用題也是送分，到了高中，二元一次方程分式方程解應用題完全被揚棄了！
至於比初中數學課本中的課後應用題更復雜更難的那些應用題，在整個中小學數學體系中就是犄角旮旯的玩意，小學數學課本不收，中學數學課本也不收，中考也根本不考，只有小學奧數這種垃圾場才批次收進來再搗鼓一大堆千奇百怪五花八門的算術方法畫圖法兜售給家長和小學生。
有人拿平面幾何的幾何方法和座標法做類比，認為座標方法能降維打擊幾何方法，但幾何方法還是非常有必要學的，同樣的道理解這些較為複雜的應用題的算術方法也是有必要學的，雖然方程方法可以降維打擊。
這種類比根本不成立。座標方法根本不是萬能的，使用範圍很窄的。
另外幾何方法證明所包含的幾何直觀，座標方法是不能覆蓋的。但是算術方法解應用題中體系的各種數量關係，都可以從方程中看出來，而且非常通透。
許多初中老師都有這種觀點，以為座標法可以完全降維打擊啊，這是源自對高中座標法求解平面幾何的誤解。就像好多小學奧數老師一聽到方程，就說不要無腦列方程，方程方法鍛鍊不到思維，這也是源自對初中方程方法的誤解。
一個合格的中小學數學老師你要有全域性眼光，要有中小學數學的全域性觀點，這又需要你站在高等數學的角度俯視初等數學。
還有一種非常具有迷惑性的觀點認為：
小學階段先學算術方法，畫圖法解複雜應用題，然後到了初中再學方程方法解應用題，這樣循序漸進，能學的更紮實。
其實這種說法也有一些合理性，先學算術方法再學方程方法循序漸進，這個是沒錯的。小學生在小學課本中學那些簡單的應用題就是在學應用題算術方法。到了高年級，課本的數學廣角中還有雞兔同籠問題，試卷附加題中也會不時出現較複雜的應用題，老師課堂多少也會講解這些較複雜的應用題(不過，我認為這些不應該是教學力量聚焦的地方，更多的應該是學生自主思考探索的地方，後面會詳細講)
還有，小學已經學過的簡單的代數，小學中高年級課本中到處都是用字母表示數，初一初二學方程的時長也非常長，所以按照中小學數學課內的節奏，學到方程方法解應用題，整個過程也是循序漸進的，正常學也可以學的很紮實，沒任何問題的。學小學奧數中那些解複雜應用題的五花八門的算術方法和畫圖法根本不是必須的，就像學十進位值制計數法之前，無需先學羅馬數字一樣的。
但是，如果小學階段，花大量時間，長期浸淫於解複雜應用題的那些五花八門的算術方法和畫圖法，卻有個嚴重的弊端，那就是到了初中，學方程方法解應用題的時候，孩子很有可能會不習慣，甚至抗拒用方程方法解較複雜的應用題，因為之前的算術方法和畫圖法已經先入為主，成為他的思維定勢和思維舒適區。
如果你周圍有初中數學老師的話，可以去問問是否經常碰到這種現象。我相信許多教初中數學的老師都會有這種體會，哪怕是那些小學沒花大量時間精力學過解複雜應用題的算術方法和畫圖法的學生，也很有可能出現這種現象，更何況那些長期浸淫於解複雜應用題算術方法和畫圖法的孩子
其實數學史上也有類似事情，印度阿拉伯的十進位值制計數法明明比羅馬數字計數高效多了，可是，傳入歐洲之後，要經過幾百年時間才漸漸取代羅馬數字計數，為什麼呢？
因為十進位值制計數法傳入歐洲之前，歐洲人用羅馬數字已經用了一千多年了，羅馬數字計數早就深深的印入歐洲人的計數思維之中，早就先入為主地成為了他們的計數思維定勢。
說到方程方法和算術方法，這類思維定勢難以改變的事情就更容易發生了，因為初中課本那些應用題，用算術方法也並不難作！真正能充分體現方程方法威力的那些很複雜的應用題，初中課本並沒有涉及。方程方法是可以降維打擊複雜應用題的算術方法，但是，初中學方程方法的主要目的，也並不是為了降維打擊，方程方法本身就是中小學數學體系的根基和命脈，習慣用方程方法至關重要！
現在你終於明白了吧，小學階段，花大量時間精力搞小學奧數那些複雜應用題的算術方法是極其愚蠢的事情。
關於小學課本數學廣角中的雞兔同籠問題，試卷附加題中出現較複雜的應用題，我想單獨講講。我認為這些內容設計的初衷，並不是作為教學重點，而是鼓勵學生自主思考探索。小學課本還有一個數學廣角叫做“找次品”這個就是屬於趣味數學的範疇了，附加題中不時出現的那些數字謎題，填數字題也可以歸入趣味數學的範疇，甚至雞兔同籠問題也可以看成一種趣味數學題
其實這些趣味數學內容，包括雞兔同籠問題，其實是可以交給孩子讓他們自己挑選，自己探索思考，自己玩的。我建議小學生課外閱讀的時候，也是建議家長可以挑選一些趣味數學書扔給孩子自己玩。玩這些趣味數學題，本來自主探索思考的過程比結果更重要。這些本不應該是教學力量重點發力的地方。我在上次直播也多次強調，小學階段，培養興趣才是第一要務，深入理解課本上的知識概念體系才是培優大方向，做太難的題不是重點。
但是現在校內課堂也經常都會重點講這些附加題，數學廣角的內容，考試也會考。許多家長更是非常熱衷讓孩子解附加題，他們認為會做這些附加題才是數學水平高的表現。教培市場也立刻迎合家長推出“附加題專項訓練”。本來是趣味的，自主探索思考的東西，變成專項訓練這是我見過最愚蠢的事情。
如果一個孩子沒有事先接觸過題型的情況下做出附加題，這可以說明這個孩子很聰明，愛思考，這是好事，但不會做也沒有任何關係，因為孩子智力發育有早有晚，而且這些題目到後面往往就是被揚棄或者降維打擊。更重要的是，要想辦法不要讓孩子因為不會做這些附加題而產生任何不好的情緒，比如害怕數學，失去興趣，不自信等等，這些更重要。
至於一個孩子經過“附加題專項訓練”之後，做出了附加題，那能說明什麼呢？什麼都說明不了，最多就是讓孩子卷面分數更高，滿足一下家長的虛榮心而已。
最後，我們講講家長最感興趣的提前學，尤其是提前學方程方法的可行性。
小學奧數老師經常宣稱：“不建議提前學方程方法，要用思維刺激孩子”
其實小學生確實不是十分必要提前學數學，培養好數學興趣，為以後的自主學習做準備鋪墊才是關鍵。數學興趣培養的好，對數學有好奇心，比較嚮往的話，後面中學數學的學習會非常一帆風順的。速度會非常快的，根本不必在小學階段非要搶跑。
但是，如果一個小學生，他能學小學奧數里面那些名目繁多的五花八門的非常複雜的應用題算術方法，比如上面這種解法，有這些時間精力和能力，拿去提前學初一的一元一次方程方法，早就入門了！
“算術方法孩子能理解，方程方法太抽象，孩子理解不了”。
問題是你把孩子送到培訓老師那邊專門花時間精力學小學奧數里面這些算術方法，孩子當然能理解了，方程方法沒花時間精力專門學，沒有請人教，當然理解不了了。
小學奧數愚蠢的一個地方就在於，沒有區分哪些是中小學數學體系的主幹內容，需要教育力量聚焦，哪些東西僅僅是交給孩子自主選擇自主思考探索的，不需要教育力量介入的。小學奧數中就有大量的趣味數學題，本來是供孩子自主選擇自主探索的東西，結果變成例題，習題的形式，這是我見過的最醜陋的數學教育。
那麼，小學高年級的孩子提前學方程方法，到底有多大的可行性呢？
雖然我一般也不推薦小學生提前學，但是小學五六年級是一個比較特殊的節點。其實前面講過，小學五六年級課本已經講授了簡單的代數，方程和負數。一個五六年級的孩子，如果課內知識概念掌握領悟的很好，也有自主提前學的意願，那是可以嘗試讓他自己拿著課本提前自學初一的一元一次方程方法，大人儘量不要干預。
而且五六年級課內也會出現一些較複雜的應用題。當孩子自學了一元一次方程，能基本掌握，會回頭用方程方法解出小學的那些較複雜的應用題時，孩子會很開心的，也更有信心！所以這種情況是完全具有可行性的，但前提是小孩對數學比較有興趣，比較嚮往，有一定的自學能力。
三年級的時候，他居然主動來問我一道學校練習冊裡的數學題。我一看，這不是雞兔同籠型問題嗎？
我當然不會教他那些亂七八糟的假設法，和倍差倍等小奧玩意，但三年級直接教他方程方法感覺又太早了（我覺得他學校的練習冊不太好，不少題目並不適合三年級小學生）所以我就來了一句“我也不會做”想打發他。
結果，小傢伙反問我：
“你不是數學家嗎？怎麼連小學生的題目都不會做？”
看來是裝不了了，於是我非常嚴肅地告訴他：
“好吧，我現在正式教你一種非常強大的終極武器，這種武器可以搞定所有應用題，以後應用題都不要再來煩我了。設書包價格為x，設飲料價格為y，，，，，，，”
其實三年級學方程方法解雞兔同籠問題太早了，不過我孩子還是可以接受，因為在他看的數學課外書中早就多次接觸了這種ｘ，ｙ未知數和簡單的代數運算
不少科普書中都有讀心術遊戲，他剛看書中讀心術這一段的時候，覺得非常神奇，和我們玩了好多次這種把戲。沒有代數知識的孩子都會覺得讀心術很神奇。（關於讀心術的介紹，請看《中小學數學要義》第三章）
後來他看了書中的數學解釋，發現讀心術的背後其實就是未知數和代數運算，這種神奇感就消失了，但卻在潛移默化中啟蒙了代數。在他看的其他數學課外書中也碰有到類似的關於未知數和代數運算的故事介紹。
這也是為什麼我剛剛教他用方程方法解題，他就能很快接受的原因。
其實讀數學課外書，很多時候就是在不知不覺之中提前學習，而且過程很輕鬆愉快。
