小海老師，請允許我隔空指導您解應用題

2025-04-23 00:12 職業數學家在民間

職業數學家在民間

歡迎關注風雲老師的小號
風雲老師精選文章：
1，高考中涉及新概念新定義的壓軸題會對中小學數學學習提出哪些考驗
2，小學數學究竟該學什麼？培優的大方向究竟在哪裡？
3，職業數學家出的一份小學數學試卷(不斷更新中，已更新至21題)
4，中學數學究竟該學什麼？中學數學培優的大方向在哪裡？
一，
我前天釋出了文章《過早用方程解應用題會讓數學能力不斷下降？？？？？？》
結果非常巧的是，昨天有個公眾號博主小海老師就釋出了另一篇文章《方程法和算術法，究竟孰優孰劣？》他認為：“方程法不是萬能的，少量特殊型別問題、或者高層次複雜問題，很難無腦列方程直接解決，這時需要各種輔助分析方法參與才行。”
為此，他舉了兩道自認為非常典型的應用題，但是很遺憾，這兩道題都非常適用方程方法，尤其是第二道題，簡直就是方程方法的寶貴試金石，可以讓讀者一窺方程方法的精妙。所以我打算冒昧的隔空指導一下小海老師，希望他讀完這篇文章之後，對方程方法的認知能夠有所提升。
二，
先來討論小海老師舉例的第一道題熱身一下
如果問一籃子雞蛋，第一次取出3/5多3個，還剩55個，那就是一道常規的應用題，可以用方程方法x-((3/5)x+3)=55解得x=145。
說實話小海老師舉例的第一道題出的非常非常無趣低俗，比起上面的常規應用題，多了複雜度，卻沒有多出任何深度。這道題照樣很適合方程方法，注意這道題無非就是常規應用題乘以3，或者三道完全類似的常規應用題。所以用方程方法無非就是設3次解3次

設第二次取出還剩下z個雞蛋，列方程z-((3/5)z+2)=6解得z=20

設第一次取出還剩下y個雞蛋，列方程y-((3/5)y+2)=20解得y=55

最後列方程x-((3/5)x+3)=55解得x=145

小海老師認為這道題適合用算術方法倒推三次，不適合用方程方法，因為會列出下面這個龐大的方程？？？
不好意思，雖說方程方法比較通用，但是用方程方法的時候也要帶點腦子，不能無腦列方程。
好了，這只是熱身，接下來是最精彩的部分。
三，
下面是小海老師舉例的第二道題：

下面是

小海老師的觀點和解法

好了，問題來了：
1，為什麼小海老師的這個解答會先求出全程計劃用時，然後再求速度，最後再求全程呢？
2，這道題為什麼小海老師的算術方法會做的有些複雜呢？
3，這道題有沒有更簡單的算術方法呢？
我認為絕大部分的小學高年級的學生，即使看到小海老師的算術方法，他仍然掌握不了這種複雜的解題方法，換一種題型，同樣的複雜度，仍然做不出來；除非他能掌握這種解法背後的原理，也就是說，他必須能理解，回答，我提出的這3個問題，他才算真正掌握這類題型。
這3個問題看似很難回答，但是，一旦用方程方法解答完這道題，這3個問題自然水落石出！
小海老師認為這道題“就想著無腦列個大方程直接解決問題，我怕大機率也很難在考試中做出來。”，這說明他的數學功底還有待提升，他對方程方法的認識還停留在非常初級的階段。
四

接下來請大家欣賞這道題的方程方法：

設全程為x, 速度為v, 修車花了2/3小時，所以瞬間可以列出兩個方程：
注意這兩個方程看似非常可怕，其實只是紙老虎，因為這兩個方程中有太多相同項，所以兩個方程相減之後，立刻瘦身為：
馬上解答得到v=48。接下來請認真觀察第一個方程：
這個方程看似有兩個未知數，但本質上是一個關於x/v的方程，所以這個方程可以很快化簡為x/v=6，所以全程為48乘以6=288。
解這道題和這個方程組的要點是先讓兩個方程相減，然後再化簡第一個方程，這才是最優方法，如果先化簡第一個方程得到x/v=6，再代入第二個方程，就做複雜了一些。
要想得到這種最優方法，首先要認真觀察方程組，然後在大腦中構思解法。

五，

好了，現在我可以回答上面說得那三個問題了，

1，為什麼小海老師的這個解答會先求出全程計劃用時，然後再求速度，最後再求全程呢？
2，這道題為什麼小海老師的算術方法會做的有些複雜呢？

因為他的解答的前半部分，還原成方程方法，本質上就是

化簡第一個方程得到x/v=6，後半部分，本質上就是將x/v=6代入第二個方程求得v，再求x, 所以做複雜了。

3，這道題有沒有更簡單的算術方法呢？

當然有了，因為上面解方程的

最優方法

就可以翻譯成算術方法，兩個方程

相減

就對應著兩次出行的比較：

第一次出行比第二次多用了0.5小時，多在哪裡呢？就是多在丙的丁72千米第一次是用75%的速度，而第二次用正常速度，所以這段路程兩次用時比為4：3，由此立刻得出這段路程第二次用時為1.5小時, 所以速度是48。
接下來就是第一次出行比正常出行多開了用了4/3小時，多在哪裡呢？就是多在丙的目的地第一次是用75%的速度，而正常出行用正常速度，所以這段路程兩次用時比為4：3，所以很快得出這段正常用時為4小時，所以全程正常用時為6小時，全程288
六，
注意到沒有，方程方法不但可以解讀算術方法的本質，還可以比較不同算術方法的，甚至還可以生成新的算術方法。
如果僅僅看這些複雜的多種多樣的算術方法，你很可能會繞到雲裡霧裡，但是一旦站在方程方法的高度，一切都一覽無餘。
方程方法高高在上俯視各種算術方法，就跟上蒼俯視芸芸眾生一樣。
什麼是降維打擊，這就是降維打擊！
最後，還剩下一個問題，
為什麼
為什麼方程方法會如此強大，能絕對碾壓各種算術方法，畫圖法！

為什麼！

其實原因在《中小學數學要義》中第三章已經講得很清楚了，我拍出一部分讓大家見識一下：

總結一下，方程方法之所以會如此強大，能絕對碾壓各種算術方法，畫圖法，根本原因在於方程方法提煉出了應用題的數學本質，排除了一切非本質資訊的干擾，把應用題中數量關係用最清晰最露骨的方式展示出來。
如果一道應用題可以用算術方法求解，
那這道題一定也可以用方程方法求解！
如果一道應用題可以用算術方法簡單求解，
那這道題一定也可以用方程方法簡單求解！
如果一道應用題可以用算術方法巧妙求解，
那這道題一定也可以用方程方法巧妙求解！

為什麼呢？？？

原因很簡單！
因為方程方法已經把應用題中所有數量關係完整提煉出來。
建了一個讀者群，僅限《中小學數學要義》和《數學學習沒有捷徑》讀者入群，關於這兩本書有任何問題都可以在群裡交流，已經在其他讀者群的讀者就不要重複進群了，群滿200之後請加微信fengyun_19等待拉群
最後提醒讀者：下面這九篇付費文章不必再買了：
1，在沒有培訓的時代，該如何規劃中小學數學學習呢？該如何規避一些典型誤區？
2，學數學自學提前學，該選擇什麼樣的教材，該選擇什麼樣的課外書？？？
3，數學學習方法論
4，究竟什麼才是數學學習的最重要的基本功？？？？？
5，寫給數學牛蛙的一些建議
6，為什麼你的孩子從小就學不好數學？寫給數學差生和家長的一些建議。
7，小學的加減乘除計算訓練對中考高考究竟有多少影響？
8，小學數學的幾何這一塊究竟該怎麼學，風雲老師為你劃重點和核心！
9，小學數學中有哪些內容其實並不重要？
因為這九篇文章的主要內容已經融入到新書《數學學習沒有捷徑》中了，想讀這些付費文章直接買書看就好了。關於這本新書的常見問題和試讀，請看文章《《數學學習沒有捷徑》試讀和讀者問答》
近期熱門文章：
1，如此低劣不堪的教輔為什麼會在雞娃圈這麼流行？？？？？
2，浙大副教授還是專科學校老師
3，剛剛上市的這本書，將會觸動很多利益，得罪無數人！
4，我見過的最優美的數學證明！
5，剛開學，某些數學老師就開始迫不及待的誤人子弟了
6，中學和大學的數學教材都寫錯了！趙爽並未證明勾股定理
7，有一個國際賽事，中國隊迄今為止已經拿了整整180枚金牌
8，有一種笑話叫——中考數學不能使用高中方法
9，這玩意早該退出數學教育的歷史舞臺了！
10，我從未見過如此。。。。。
11，學而思，你們家的秘籍真是讓人覺得噁心！！！
12，小學奧數究竟有多垃圾？
13，數學思維究竟在哪裡？——這又是一篇砸人飯碗的文章
14，因為對數學天賦的認知誤區，絕大部分雞娃家長都犯了大忌！

相關文章