在前些天文章裡——《二胎媽媽回頭看：在小學，請不遺餘力做好這三件事》，答應大家要寫孩子的數學思維培養，我今天來交作業了。
大家催促的留言，我都看到了，熬了幾天晚上、眼睛快睜不開了，終於趕出來了。
醜化說在前面，培養數學思維這件事，廣泛又複雜，不是一篇文章能寫清楚的。
我也不是專家，願意花很多時間和精力研究這事，主要是我自己對數學有興趣且學得還不錯，也想帶家裡兩娃愛上數學、學好數學。
之前斗膽分享了一些觀點：
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……
在兩個孩子上學之前，沒有報班，自己摸索著陪著他們做了一些數學啟蒙，積累了一些經驗、當然也踩了不少坑。
N年過去了，從之前的大寶到現在的二寶，很多問題看得更清楚了，策略方法掌握地更豐富和熟練了。
今天，再斗膽叨叨幾句（好像不是幾句，是一大篇
）。
主要想說的有兩部分：一是孩子數學啟蒙的內容；二是數學啟蒙的策略和方法。
別害怕，以下內容不是我自己拍腦袋想出來的。
除了發揮我本職工作的特長，查閱了不少相關文獻，最近我還在斯坦福大學早期數學教育發展研究中心，挖到了一堆好資源（所有網頁快被我翻爛了）。當然，我再認真也做不到周全，不夠專業的地方，還請大家來指正。
1. 數學啟蒙到底要學什麼？
前些天，和二寶同學的家長聊起數學啟蒙。她說，他們也在家做啟蒙，孩子每天都有數學作業，10分鐘完成50道20以內加減法。
我知道，很多父母在孩子做數學啟蒙時，都把重心放在孩子計算能力的培養上。
但事實上，孩子數學想學好，單獨依靠運算能力是遠遠不夠的，他們需要的是多元能力。
到底是哪些能力？不同的流派和專家的看法，略有不同。
以終為始，我特別查閱了《義務教育數學課程標準》，主要看了最近的2011年版和2022年版。
2011年版的課程標準，提出孩子在小學和初中這兩個階段應該被教會10個核心概念；而在2022年最新的課程標準裡，10個核心概念升級為10個核心素養。
引自：朱立明，從“核心概念”到“核心素養”，《天津師範大學學報》2022.5。
從這張表裡，我們可以清楚地看出來，運算能力只是數學10大核心素養中的一個部分，很重要很基礎但不是全部。
除它之外，孩子還應該培養和具備數感、量感、符號意識、抽象能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、推理能力、資料意識、資料觀念、模型意識、模型觀念、應用意識與創新意識等等核心素養。
再比較兩個課程標準，一大變化是增加了對“量感”和“抽象能力”的要求，分別出現在小學和初中階段。
但更宏觀和重要的變化是，數學教育開始由“以知識為本”轉向“以素養為本”。孩子學習數學的重點，不是掌握概念，而是培養形塑核心素養。
這也是很多人解讀課程標準變化，認為數學越來越難的主要原因之一。死記硬背、刷題提分越來越難，未來的考試會越來越靈活變化，會出現很多創新提題型，著力考查孩子的數學思維、應用數學的能力。
套用2022年最新課程標準的說法，即孩子應該學會“三會”，會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。
聽著還是挺抽象的，我用兩個小例子稍微解釋一下。
在皇家安大略博物館參觀，看到加拿大傳統手工拼布被子，二寶說：“媽媽你看，patterns！”
我一看還真是，是她平時喜歡玩的規律和模式遊戲（後面有解釋）。看到她開始用數學眼光觀察這個世界，我挺開心的。
展覽旁邊有體驗區，可以用基本幾何圖形創造拼布被子的圖樣。我和老王陪了二寶很久，等她慢慢嘗試、創造自己喜歡的圖樣。
還有上次，我們在新加坡買網紅華夫冰淇淋，2新元/個。我給她10元，問她應該找回多少錢？她很快答出來8元。
我又問她，如果10元都拿來買冰淇淋，可以買幾個？她也很快答出來，5個（她知道10可以分成5個2）。
再追問她，如果拿20元買冰淇淋可以買幾個？我其實沒期待她能回答出來，因為她只會20以內加減法、不會除法。
沒想到她想了一下，竟然算出來了，10個。她說，把20元分成兩份，一個10元可以買5個冰淇淋，另一個10元也可以賣5個冰淇淋，那兩個10元，20元就可以買10個冰淇淋了。
後來再問她30元、40元能買多少個冰淇淋，她都能推演出來。我很開心，她不是簡單掌握計算口訣，而是真正理解計算背後的含義，並能靈活運用解決實際問題了。
不知道，用這兩個例子能不能解釋清楚，培養孩子數學思維能力和教會孩子數學概念之間的差別。
胖子不是一天吃成的，二寶離真正具備數學思維還有很長很長一段路。
我一直不提倡提前學，除非天才兒童（自我意願強烈），快速往前學，不如紮紮實實把知識吃透、能力掌握。
不過，對孩子進行數學啟蒙是另一個問題，一是為學校學習做好準備，當更重要的是，激發孩子的數學興趣、培養他們的基本數學素養。
那，孩子早期數學啟蒙要（先）學什麼？開發哪些方面能力？
斯坦福大學早期數學教育發展與研究中心（DREME）明確提出，孩子早期學習的數學概念應該包括這8個方面。
這8個方面的具體學習目標和內容，我做成了表格，大家可以放大檢視。
與我們的課程標準比較，這些學習主題是10大核心素養的子集。看來那句話是真的，數學是世界通用的語言。
還是那句話，千萬不要以為教會孩子數數，掌握加減法就算做好數學啟蒙了。數學啟蒙的重點是，培養孩子的多元數學素養和能力。
2. 數學啟蒙必須報班嗎？
第一步弄清數學啟蒙的目標和內容，第二步就是解決怎麼做的問題了。
寫到這裡，估計大家肯定會問，有沒有好的幼小銜接的課程推薦？
我不否認，真正好的數學課程能發揮知識輸入和能力培養的作用，但我同樣也相信，不報課程，在家也能給孩子做數學啟蒙。
此時，必須搬出來物理學家費曼小時候的故事了。
在費曼很小的時候，他的父母就開始對他的數學啟蒙。當費曼還坐在嬰兒椅裡的時候，父親帶回家一堆小瓷片，讓他把它們疊起來，像多米諾骨牌一樣推倒。
然後，父親引導費曼按照“兩白一藍”的順序重新排列瓷片，用來教他什麼是“序列（規律）”。費曼的母親不理解，問他為何不讓費曼隨意擺放，他回答：“我正教他什麼是序列，這是數學的第一步。”
斯坦福大學DREME中心，提出了“Family Math”，在家學數學的概念，認為數學是我們日常生活的一部分，在家我們也能幫助孩子學習數學概念、培養數學能力。
3. 首要是建立積極的數學態度
其實無論報班還是在家做啟蒙，有一件事都必須首先做到——幫助孩子建立“積極的數學態度”。
斯坦福大學DREME中心認為，積極的數學態度會為孩子終生數學學習提供力量。
不管孩子未來數學成績如何，在他們還沒有上學之前，我們得讓他們相信，他們有能力學好數學。
這比學習多少東西都重要得多。別在家做數學啟蒙半天，孩子害怕數學了，就本末倒置了。
可以試著從這些方面幫助孩子，建立“積極”的數學態度：
（1）相信數學是有用的。透過具體例子，讓孩子看到，數學不僅僅是學習科目，它在生活中、工作中發揮了實際且重要的作用（後面具體舉例子）。
（2）杜絕刻板影響，相信每個人都能學（好）數學。“女生學不好數學”“不聰明的孩子學不好數學”這樣的觀念千萬不要表現或傳遞給孩子。別讓孩子還沒起步，就已經質疑自己，放棄努力了。
（3）建立成長型思維模式。要讓孩子知道數學能力是可以透過努力和堅持發展和提升的。學習過程中遇到的困難，其實是挑戰，透過努力和堅持是可以克服的。表揚、肯定他們的努力，而不是他們的天賦。
這裡我得大家多叨叨兩句，說是幫助孩子建立積極的數學態度，首要是我們家長得具備這樣的態度。
只有我們自己先相信，“數學是有用的、任何人都可以學（好）好數學、數學學習最重要的是努力和堅持”，才會把積極的數學態度傳遞給孩子。他們才會喜歡、樂於學習數學。
這不是套話更不是廢話，非常關鍵，比我們琢磨出來的的任何手段方法都重要。
4. 在家可以這樣教孩子數學
終於說到大家最關心的問題。
有兩點我想先寫在前面，提醒大家：
一是，不要將學數學簡單等同於刷題、寫作業，一定要用“玩”的心態，把學習變成一個個好玩的遊戲。
孩子的天性就是玩，不是學習（最起碼絕大部分孩子是這樣）。不要老抱怨，孩子為啥不主動學習，學習是苦的、累的、反人性的，他們不喜歡很正常。
而玩是讓他們放鬆、開心快樂的，再累他們也願意。所以，要儘量把學的內容嵌入玩耍中，即使做不到，也要偽裝、塑造好玩的氛圍。
二寶現在每天都會跟著我刷數學練習冊，但我從來不跟她說“來學數學了”，我都是說“敦，我們來玩遊戲了”。她不想玩的時候，我就自己會做起來，然後“不經意地”告訴她，這個遊戲好好玩啊，很多時候，她自己就會湊過來了。
二是，日常生活無處不數學，帶著孩子邊生活邊挖掘數學啟蒙的機會。回憶一下，費曼教授父親啟蒙他的小故事。
我本來有一些方法和例子要分享，但當我看過斯坦福DREME中心提供的各種家庭活動方案，決定還是推薦他們的吧，太全面了，包含了我想分享的全部。
斯坦福DREME中心圍繞四個生活場景——做飯、日常生活、遊戲玩耍、閱讀，設計了豐富多彩的家庭數學活動，覆蓋了不同年齡段的兒童（包括嬰兒、學齡前、小學低年級）。
這些場景涵蓋數數、加減法、形狀與空間、規則模式、測量與資料、數學思維培養等主題，特別強調“玩中學”。
這樣透過生活場景降低學習門檻的方式，讓我們不必具備專業知識，就能引導孩子建立數學思維，同時培養他們積極的數學態度。
下面我主要聊聊其中前三個場景。閱讀暫時不講，是因為他們推薦的書籍我們有的看不到，後面有機會，我們結合國內能買到的書籍跟大家單獨說。
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Cooking（做飯）
我們每天都要做飯，這個經常出現的生活場景是教孩子數學的絕佳機會，孩子參與做飯的同時，能接觸多種數學概念，在實踐中學習數數與加減法、測量與比較、分數與幾何。
我帶二寶做過餅乾、蛋糕，她和我一起準備材料、製作、烘烤，從中瞭解了重量、體積、比例、時間等等數學概念，並鍛鍊了數數、計算、測量等等能力。
下面，我就以“蔬菜湯數學食譜”為例，帶大家感受下做飯和數學是怎樣交融在一起的。
“比一比，排排隊”——學會測量和比較
做蔬菜湯，首先得準備好食材。土豆、芹菜、胡蘿蔔……這些食材，都是天然的數學教具。
比如，我們可以拿兩根芹菜給孩子，說：“看看哪根長哪根短？你是怎麼知道的？”第一個問題簡單，但第二個問題，孩子可能沒有辦法第一時間回答出來。
這時我們可以引導他：“咱們把它們靠在砧板邊上，對齊起點再看。”
這就像遊戲裡的“規則”，讓孩子發現，比較需要先對齊，保證公平，再去比較。這樣他們就學會了測量。
等孩子熟悉了比較，就可以再給他們加點挑戰——拿出三根芹菜，讓他們從最短到最長排一排，或者混著胡蘿蔔和芹菜一起排隊。
孩子在動手中，觀察力和比較能力會悄然提升，這就是數學思維的一部分。
“數一數，拿一拿”——練習計數
食譜裡，每種食材都有固定的數量：“2 個土豆、4 根芹菜、5 根胡蘿蔔、3 個西紅柿……”這就是現成的計數遊戲。
我們可以對孩子說：“做湯需要5根胡蘿蔔，你能幫我拿嗎？”
孩子可以從一堆胡蘿蔔裡面一邊數一邊找，“升級”計數能力。
還有，做飯之前，我們都會洗手，這時我們可以和孩子玩數數遊戲：“數到20，手就洗乾淨啦！”
這樣從生活小事入手，計數就會變得有趣又實用。
孩子年齡小，可以從“拿兩根胡蘿蔔”開始，等熟練了再問：“再拿一根，現在有幾根？”一步步引導，像搭積木一樣，慢慢堆出他們的數學信心。
“倒一倒，量一量”——感受容量、容積
做湯時，必然要往鍋中（或其他容器中）倒入水或者高湯，這是讓孩子接觸“容量”概念的好機會。
在廚房準備一個量杯，和孩子說：“咱們要倒8杯，你來數。”
慢慢倒水的過程中，我們可以提問：“8杯是多少毫升啊？”
透過親手操作，孩子不僅認識了容量單位，還能初步感受數字和實際生活的連線。
孩子再大一些，還可以讓他們猜猜“鍋能裝多少毫升水”或者“幾杯水能裝滿這個鍋”。猜對猜錯都不重要，這是鍛鍊他們估算能力的好機會。
最重要的是，做飯不需要特別準備材料、工具，本身就是生活的一部分，我們只需利用廚房中的日常物品，就能讓數學學習變得生動有趣。
這樣的“數學食譜”，DREME中心一共提供了6份，我給大家整理到了資料包中，文末可以直接獲取~
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“Daily Routines”（日常生活）
DREME中心總結了五大日常生活場景，取名為“Math Snacks”，包括外出、家庭（家務）、玩耍、準備做飯、故事時間。
下面我就以日常外出場景（Out and About）為例，看看商店購物、公交出行的場景，是怎麼變成數學啟蒙“課堂”的。
商店、超市是個培養孩子數學思維的極佳場所，我猜很多同學都在不知不覺間訓練過孩子的數學思維。
比如拿兩個蘋果問孩子“哪個重？猜猜哪個貴？”孩子會掂一掂，進行比較。
看到不同規格的同類商品，比如同品牌的糖果，20顆糖一盒的，還有30顆糖一盒的，到底哪盒更划算？
這也是比較，但需要更強的計算能力。
或者換一個簡單的計算問題：“一包薯片7元，我們買兩包吧~要多少錢？”在薯片的“激勵”下，孩子的計算能力自然會得到提升。
我們還可以讓孩子做“預算”：“咱們今天帶了100塊錢，能買什麼？”
此外，除了和商品“較勁”，我們還可以把目光放到人身上——在商店排隊結賬時，讓孩子數一下每個佇列有多少人，看看哪條隊伍最短。
這個隊伍裡，排在第3位的是誰？用來培養孩子的序列意識。
離開商店，在等公交車或者步行這種不起眼的場景，我們也能讓孩子接觸數學知識，包括時間、物體形狀等。
小低年級很多應用題都離不開“路程”，比如“公交車開到下一站要10分鐘，開到第二站要多久？開到第三站要多久？”
此外還有：
經過的路標，孩子都看到了什麼形狀？
孩子怎麼知道什麼叫三角形？
汽車車牌上的數字都是多少？
……
另外四個場景也有很多數學啟蒙方法，我同樣整理到了資料包裡，大家按需自取；同時，建議大家根據DREME中心整理出的內容，充分發散思維，讓孩子的生活被數學元素包圍~
數學無處不在，孩子的數學思維就會一直得到滋養，自然成長。
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“Games&Play”（遊戲玩耍）
數學概念往往抽象難懂，孩子理解起來會相對困難。
透過遊戲，可以將這些抽象知識轉化為有趣的活動，讓孩子在輕鬆愉快的氛圍中接觸數學，從而激發他們對數學的興趣，學會主動去探索和學習。
下面，我就以Card Games中的“Count Jack is Highest”為例，帶大家看看這些遊戲是如何化抽象為生動，讓孩子玩到停不下來～
“比大小，決勝負”—— 培養數字比較能力
遊戲需要的材料很簡單，只要一副普通撲克牌就可以。
最開始時，需要先把這副牌中的Q、老K、Joker都挑出去，只留下Jacks（J）牌。
還需要把A定為1，這樣一來，牌面的數字就變成了1到10，加上J，總共44張。
接下來，就是好好洗牌，把牌洗得越亂越好，這樣每次翻牌才能充滿驚喜。
遊戲規則也很容易理解。
玩遊戲的人圍坐在一起，一起喊出響亮的口號，比如 “1，2，3，Jacks！”
喊完口號，大家需要同時把牌翻開。誰的牌數字最大，誰就是這一回合的贏家。
要是有人翻出了J牌，那他直接成為這一回合的勝者。
每一輪結束，贏家可以把自己和對面玩家出的牌全部收到自己那裡，直到對方沒有撲克牌為止。
在這個過程中，孩子需要不斷比較牌面數字的大小。
在判斷兩張牌誰大誰小時，他們可能透過數牌面的點數，或者觀察牌面圖案的數量等方式來進行比較。
這將有效培養孩子對數的大小的感知，使其數感得到提升。
“認數字，強認知”—— 加深數字理解
遊戲過程中，孩子會持續接觸到不同數字的撲克牌。
從A到10，再到J，隨著遊戲的推進，孩子對這些數字的熟悉程度會不斷加深，腦海中的數字概念也能得到鞏固。
原本抽象的數字，在反覆的遊戲過程中逐漸變得具體、形象，這對於孩子數學基礎的夯實具有重要意義。
“破平局，啟推理”—— 鍛鍊邏輯推理思維
看到這裡，有的同學可能會問，要是我和孩子翻出來的牌數字一樣大，需要怎麼操作？
Count Jack is Highest的規則是，當遊戲出現平局時，需要再次翻牌決定勝負。
這個環節看似簡單，實則對孩子的邏輯思考能力提出了挑戰。
孩子們需要分析之前的出牌情況，思考再次翻牌可能出現的結果，從而做出相應的決策。
一次次的思考，能夠有效鍛鍊孩子的邏輯推理能力和應變能力，讓他們學會從不同角度思考問題，尋找解決問題的方法，這也正是數學思維的重要體現。
這樣的遊戲，Card Games中一共提供了10個，同樣的，還是資料包見
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除了Card Games，Games&Play中還設有More Games、Singing Together兩個分類，共包含11個遊戲，感興趣的同學，可以給娃一起安排上~
和孩子玩數學遊戲，也可以藉助一些桌遊。
比如，我家倆娃最愛的地產大亨，培養財商意識的同時，學會數數、加減法等等。大寶、二寶都用它，把加減法練得很溜。大家可以看我之前寫的文章——>一款簡單的大富翁，就能讓90%的中國孩子學會賺錢花錢之道，學會算術、談判並理解社會現象…….
二寶喜歡邏輯桌遊，經典的兔子蹦蹦跳、瘋狂松鼠遊戲等等都是她的大愛。這些桌遊，在訓練邏輯推理能力的同時，還能培養孩子的空間位置意識等等。
桌遊，這一篇肯定是寫不完了，後面我再跟大家繼續聊，把我們玩過且喜歡的桌遊，按照年齡、對應的數學多元核心素養等等整理好再分享。
對了，還有數學相關的書。除了繪本之外，我猜大家也想了解一下練習冊。雖說不能把數學啟蒙弄得太苦，但有趣有用的數學練習冊還是可以有的。一是數學學習有個抓手，二是提前讓孩子感受寫作業。市面上常見的練習冊，我幾乎都給二寶買了，有的很喜歡，有的真的一言難盡，別急，等我回頭跟大家細說。
最後，我也不再多說啥了。老規矩，麻煩大家點個贊和在看，再轉發下這篇文章，在公號對話方塊回覆“斯坦福”，就能看到我整理的斯坦福DREME中心的數學啟蒙資料包啦
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參考資料：
網站：https://familymath.stanford.edu/activity/
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