喜歡文字勝於數字，但他成為了一名真正的數學家

保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos，1916年3月3日-2006年10月2日）；圖源：維基百科

導讀：

保羅·哈爾莫斯是傑出的匈牙利裔美國數學家。作為馮·諾依曼的助手和鞅理論提出者約瑟夫·杜布的學生，他在邏輯、機率和統計、泛函分析等領域都做出了基礎性的工作。

他還是優秀的數學教育家和作者，曾在美國芝加哥大學和普林斯頓大學等多所知名學府任教，更因為多部數學名著而享譽全球。他是美國數學會（AMS）的“斯蒂爾獎”（Leroy P. Steele Prize）得主。2012 年，美國數學協會（MAA）的一項重要寫作榮譽更名為“保羅·哈爾莫斯 – 萊斯特·福特獎”。

他的著作《我想當數學家》的中文版於1999年首次在國內出版，時隔26年終於再版。

在這本被譽為20世紀“數學社會史”的傳記中，哈爾莫斯講述了自己與數學相伴的一生，以及同時代數學家們的種種趣聞。他親自拍攝或收集了眾多數學家的照片，讓讀者對這一群體產生全面而感性的認識。哈爾莫斯以數學家的角度深入討論了該如何學習數學、如何做研究、如何營造良好的學習和學術環境，同時，他講述了自己對數學的理解，並以親身經歷告訴讀者：什麼是真正的數學家，怎樣才能成為一名數學家。

[美]保羅·哈爾莫斯 | 作者

張十銘 | 譯者

《我想當數學家》 | 來源

SAIXIANSHENG

文字‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

我喜歡文字勝過數字，而且向來如此。

那麼，你可能要問，為什麼我會是一個數學家？我不知道。我從生活經歷中找到了些緣由，發現機遇起了不小的作用，至少和個人選擇同等重要。請聽我慢慢道來。我確實知道，我並不總拿得準自己想成為什麼樣的人。

開篇頭一句解釋了我對很多事情的感受，以及我是如何產生那樣的感受的。例如，它意味著，或者無論如何，我希望它意味著，在數學中我喜歡概念勝過計算。對我而言，群的定義比柯西（Cauchy）積分公式更清晰、更重要、更漂亮。

將概念與事實相比較是否有失公允？要知道，對我而言，在美感和深度方面，一次可微複變函式的無窮可微性遠勝過著名的關於非交換指數運算的貝克 – 坎貝爾 – 豪斯多夫（Baker-Campbell-Hausdorff）公式。

開篇那句話也是我的一點宣告：我喜歡理解數學，喜歡為自己和大眾闡明數學，更甚於在數學上有所發現。對我來說，頓悟一個未知秘訣的喜悅和突然發現未知真理的喜悅是一樣的——兩者都有啟迪之光的閃現、幾乎難以置信的視野拓展，以及精神放鬆後的快感和狂喜。同時，就主觀的愉悅程度而言，發現一個嶄新真理類似於參透一個已知真理，但有一點頗為不同。

不同之處在於，前者帶來的那種自豪感、勝利感，以及成為第一名後近乎惡意的滿足感。“第一”就意味著某人是第二，想當第一就是要求“按曲線評分”。我好像在說，幾乎可以肯定，闡明舊數學比發現新數學更合乎道德——這顯然是蠢話，但可以換個說法：不伴隨沾沾自喜的見解更好。

也許，我更擅長打磨舊東西而不是探索新東西，更喜歡我能加以改進的那些東西。

我主張在論述上，尤其是在數學論述上，也要“文字多於數字”。精妙符號的發明（對於乘積、指數、級數、積分……一切計算概念）通常是一個巨大的進步，它能化繁為簡，但同時也令人費解。

舉個例子來說明我的觀點，試看一個著名的基本定理和它的一個著名的基本證明。這個定理是內積空間中的貝塞爾（Bessel）不等式，敘述為，如果

是規範正交集，x是向量，

這個定理有個標準證法，令

，然後計算：

證明嚴謹利落，但缺乏啟發性。我認為，理想的證明是這樣一句話：“作

與其自身的內積，再乘出來。”這應該足以讓躍躍欲試的讀者拿起鉛筆把上面的等式鏈重寫出來；或者，他可能更樂於倚靠在椅背上，合上雙眼，腦海裡浮現這些等式。如果他懶得這樣做，想讓別人幫他完成更多的工作，那麼這句證明還可以加長：“結果為正，由四項組成：第一項是

，規範正交性意味著最後一項是

，兩個向量積項都等於

，其中一項與正的和項抵消，餘下的即為所證不等式。

就篇幅而言，文字和符號的數量相當。文字除了更清楚，還有另一個優點：在從教室回到辦公室的路上，人們無須使用黑板或粉筆也可以進行交流。

人們還更有可能透過文字發現適當的一般概念和背景（例如與投影相關的內容）來深化見解。”

我並不主張人們應該偏好文字，但我察覺到自己差不多喜好關於文字的一切。我喜歡玩文字類的遊戲——易位構詞遊戲、詹姆斯·瑟伯的“超級幽靈”文字遊戲、喬託遊戲、拼字遊戲；我也喜歡詞源學——字詞源自何處、曾經的意思、如何演變，以及當下的精確含義。我的這種愛好過去被稱為“語文學”（philology）——對文字的熱愛；如今時髦的名稱是“語言學”（linguistics）。我不喜歡“語言學”，太像數學了。

不僅如此，更糟糕的是，它就像那種“數字”類的數學，它沒有解決自然語言中困難的抽象語義概念（例如“意義”和“解釋”），而是幾乎完全專注於形式語法的符號演算。

並不是所有的數學家都喜歡文字。我猜測數學和文字存在著以下關聯性，卻沒有證據能證明：代數學家喜歡文字，比如阿廷（Artin）；分析學家不喜歡文字，比如柯朗（Courant）；幾何學家中的代數派（扎里斯基，Zariski）和分析派（萊夫謝茨，Lefschetz），各有所好。

我想證明的另一種關聯性是：擅長文字敘述的數學家往往因清楚的講解而獲得口碑，受人愛戴；相反，某些“鬼教授”每天都在被惱怒的莘莘學子嘀咕和埋怨。不管我能否證明這一普遍定理，這種相關性，這種類比，在情感上我是信服的。集合論和代數與算術和微分方程之間的關係，似乎如同文字與數字的關係一樣。

我敢一概而論嗎？我想說，喜歡文字能夠比會做演算更好地反映一個人的數學能力。許多研究生院的指導教師曾特別指出：申請數學獎學金的學生，如果在研究生入學考試中語言推理部分得分較高，則要比數量推理部分成績好但語言推理部分成績差的學生更有可能被錄取為博士生。

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書籍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

“喜歡文字勝過數字”，或正好相反的偏好，是如何產生的呢？我認為，這要麼是天性使然，要麼是早期養成的，一旦我們養成了這種習慣，無論如何，我們都會堅持下去。以我自己為例，這種傾向在 4 歲時開始顯現，到了 8 歲得到鞏固。我很早就輕鬆學會了閱讀，然後學會了寫作；算術並不難，但我學得晚些，也慢些，既說不上明顯感到簡單，也沒帶來極大的樂趣。

我家住在匈牙利布達佩斯一棟公寓的第三層，面朝著一條繁忙的街道（現在叫作列寧大街）。這條大街十分熱鬧，色彩繽紛，人頭攢動，聲音嘈雜。街上店鋪林立：一家扎眼的五金店寬大的平板玻璃後，陳列著閃亮的刀具；幾家書店裡堆滿了五顏六色的書籍；咖啡館中態度恭順卻牢騷滿腹的侍者們，黑色左袖上搭著白色餐巾；還有些商店裡滿是玩具、糖果、柺杖、衣服、鞋子和各式鐘錶。

便道很寬闊，摩肩接踵的人群穿梭在商店櫥窗與路邊的樹、磅秤（花一枚分幣可以稱體重）、售報亭、計程車停靠點之間。便道上似乎總是熙來攘往：當我一大早去上學的時候，他們就在那裡；當我偶爾外出遠足或看完電影，深夜被帶回家的時候，他們也在那裡；後來當我長大成人，以一名美國遊客的身份去了匈牙利，夜間很晚出門時，人群仍然在那裡。燈火通明，咖啡館裡傳來吉普賽樂曲。

列寧大街的路面很寬，容得下兩條有軌電車線路，此外還有兩條車道。有軌電車和計程車從未清靜過。在電車軌道上放一枚分幣，金屬輪子碾過後，它就被軋得平平的，真是好玩。我很小的時候，計程車是馬拉車，後來才變為機動車。

雖然列寧大街和拉科齊（Rákoczi）路的拐角處並不完全像美國的百老匯和第七大道，但是，比起像斯卡斯代爾那樣的商業區，它還是更像百老匯和第七大道。13 歲的時候，我搬到了美國芝加哥，所在住宅區的街頭巷尾白天寂靜無聲，晚上簡直荒無人煙，我住了一段時間才適應。

老早以前，那時我還沒上學，我就喜歡透過臨街的窗子目不轉睛地向外望，並且樂在其中。我對組成商店名字的巨大字母感到困惑。“那是什麼意思？”我很想知道，“那個字母的名稱是什麼？”這些問題的答案，並不能構成一門系統的閱讀課。

我的這種學習方法可能會讓“看 – 說”學派和語音學派的支持者感到震驚，但它確實奏效。我堅持不懈的好奇心的結果是，在我 4歲生日的時候，我不僅認識了字母表，而且還能閱讀。我開始走進祖父的大型私人藏書室，沒過多久，街那頭與我家隔幾扇門的公共圖書館也變得有用了。

祖父的書都存放在帶玻璃門的書櫃中，妥善鎖藏著，鑰匙擱在一個抽屜裡，抽屜也鎖了，老爺子隨身帶著抽屜的鑰匙。他讓我看任何我想要的書，不過問，不檢查，但他必須親自取出來。

我讀了很多書。當我 6 歲開始上學的時候，我每天都有家庭作業要做——是的，家庭作業，從 6 歲開始——但我仍有足夠的時間閱讀：吃早點的時候，晚飯前，浴缸裡，最好的是晚上。熄燈之前，我會躺在床上看書，並用一臺收音機插上耳機收聽維也納和巴黎的電臺音樂。

我閱讀並享受著格林童話、安徒生童話、伊索寓言和拉封丹寓言，以及不久之後的《丑角三唱：律師、戲子、劍客》（Scaramouche）和《曾達的囚徒》（The Prisoner of Zenda），這些書的語言全是匈牙利高階書面語。當然，還有匈牙利文學，如約卡伊（Jókai）和考林蒂（Karinthy）的作品，以及來自世界各地的優秀著作和令人興奮的流行文學。

尼摩船長和尼克·卡特，夏洛克·福爾摩斯和亞森·羅平都是我的朋友。美國文學以詹姆斯·費尼莫爾·庫珀（James Fenimore Cooper）和馬克·吐溫為代表，我對欽加哥和湯姆·索亞的瞭解大概和美國堪薩斯城的大部分男孩子一樣多。

五六十年後的今天，當我回首那些日子時，我很感激並欣賞那裡的氣氛。文化不是搞笑的、異常的或柔弱的東西，這是理所當然的。書籍和音樂被認為是人類共同遺產的一部分。在學校裡，我們討論最新的尼克·卡特作品，當然，也討論達達尼安。我們可以告訴彼此，自己剛剛讀了些什麼，別人並不會覺得奇怪。

SAIXIANSHENG

寫作‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

當我剛上小學的時候，我就知道如何閱讀，但是我仍然要學習寫字。弗洛伊德也許會推斷，這對我來說一定是一次創傷性的經歷，然而我幾乎什麼都不記得了。我集中精力去回想，腦海中呈現出一幅模糊的畫面：一間不大的屋子，還不如我現在的起居室大，裡面坐著一些不知姓名的孩子，還有一位不知姓名的女士，就是老師。我們要用專門的橫格紙寫字。小寫字母，比如 e 和 o，必須夾在中間的兩條線之間，靠得很近；向上和向下的筆畫，就像 t 和 p中的，要到達更靠外的頂線和底線。寫出來像這樣：

這對我來說很難，我感覺沒把握。教大寫字母 M 那天我沒有去上課，我不得不自創寫法——這困擾了我很長一段時間。

當我到美國後，我很快就注意到我的筆跡是“不同的”，雖然字跡清晰，但是帶著一種奇怪的外國“腔調”。後來，我剛開始教書時，這成了一個溝通的小障礙。我重新自學，結果是至少就書寫而論，我可以冒充本地人了。機械意義上的寫字（writing）就說到這裡。擁有不同意義的寫作（writing）作為一種表達思想的方式，要重要得多、困難得多，學習的時間也要長得多。

在我印象中的第一篇習作裡，我努力表達了自己的愛國之情。

當時，匈牙利人的愛國熱情因《特里亞農條約》爆發了。第一次世界大戰後，根據此項條約，戰勝國瓜分了匈牙利，其國土面積僅剩原來的三分之一。“反對，反對，永遠反對！”成為國家的座右銘。在學校裡，我們每天課誦效忠匈牙利的國旗誓詞。我熱愛這段誓詞。我對《特里亞農條約》感到憤慨，希望帝國迴歸。我是保皇派，這就是我的政見。當我們被要求寫一篇愛國主義的作文時，我的作文在班上得了獎。我相信自己的潛力，而且，我開始感受到今後對文字的熱愛的萌動。我能寫出辭藻華麗的散文，我為此感到自豪。

我為什麼喜歡寫作並且感覺駕輕就熟？我姑且揣測，這得益於三個方面的主要影響：我讀了很多，寫了很多，而且熱愛語言。我想，說到底這都歸結於對文字的嗜好。

我相信閱讀伏爾泰和塞萬提斯的作品，或者大仲馬、小仲馬和施尼茨勒（Schnitzler）的作品，會影響和改善我的數學風格，幫助我成為一名更好的老師。閱讀豐富了我的用詞，拓展了我的世界觀，加深了我對自己想要接觸的受眾的理解。

我的有些朋友驕傲地宣稱他們從不讀小說，這讓我感到震驚。他們中的一些人把所有小說都稱為謊言，或者用更客氣的說法，稱為虛構的人造故事，而不是現實的真實故事。真實故事是關於壓迫、蕭條和戰爭的，是關於競選、選舉和高層腐敗的，它們比簡·奧斯丁、狄更斯、高爾斯華綏和毛姆的作品更有“意義”，更加“切題”。

不對，不對，不對！我在情感上和行動上都反對這種觀點。我並不主張脫離世界，退隱世外；但我堅持認為，倘若我沒讀過《舊約》和《新約》（英王詹姆斯欽定本）、《愛麗絲漫遊奇境記》，以及《麥克白》、美國《獨立宣言》和《人與超人》（Man and Superman），我就不會成為一名作家。

至於寫作，我一直在寫作，從我記事時起就一直在寫。我寫信，時不時地寫日記，還給自己寫筆記——我會用完整句子寫筆記，而不僅僅寫什麼“試作冪級數展開”或者“p >1 時見鄧福德 – 施瓦茨（Dunford – Schwartz）定理”。我透過寫作來思考。上大學時，我一直寫筆記，將課堂上潦草記下的縮寫轉錄成清晰易懂、合乎語法的句子。

後來，當我開始嘗試證明定理（這個低調的說法比故作高深的“做研究”更易被人接受），我繼續寫下去，彷彿我在和自己進行一場對話。“如果我只考慮遍歷的情形會怎樣？讓我想想。我已經研究過S為遍歷的情形，但有用的情形是當S和T都是……”

我很想鼓吹：這是正確的方法，以這種方法——我的方法做，否則你就會失敗。但我唯一可以確定的是，這只是對我來說正確的方法，我沒有別的方法。

SAIXIANSHENG

語言‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

閱讀、寫作和語言，是促進我創作的三個因素。我已經講解過閱讀和寫作的作用了，至於語言因素的作用，我感覺可能是——至少部分是因為在我學會母語之前，已經學了一門外語。我不到 2 歲的時候，家裡來了位蒂羅爾人保姆教我德語，我一直希望自己保留德語能力。我德語聽力不錯（尤其是奧地利的德語），但我不會說與寫：除了後來學過的技術語言，我掌握的詞彙量只有一個 4 歲孩子的水平，動詞和 der、die、das之類的詞我都不懂。

在大約 6 歲時，拉丁語“細胞”融入我的血液之中。我有一個哥哥，比我大 5 歲，在我們經常玩耍和學習的共用桌子旁，他喃喃地背誦功課，其中一些內容對我產生了影響。我還記得一串拉丁語介詞：ante，apud，ad，adversis，circum，circa，citra，cis……它們是與賓格連用的介詞嗎？

希伯來語我學得稍晚一些。學校按天主教徒、新教徒和猶太教徒將學生分開，宗教教育分成兩部分：一部分很有趣，另一部分很可怕。有趣的部分是，那個下巴上留著小鬍鬚、軟弱無力的老領唱，坐在一架簧風琴前，教我們唱一些希伯來語讚美詩。

我想，他害怕我們，但那活潑的曲調使我們一整天都很興奮，我們幾乎都期待著每週的這堂課。我仍然記得一些曲調和一首讚美詩的前幾行。可怕的部分是希伯來語課。教這門課的是一個嚴厲的、圓臉颳得光光的男人，他把自己看得很重要。

他沒有教我們任何希伯來語，他甚至不去試著教教——那可不是工作職責所要求的。他只是把我們變成能夠把希伯來語的印刷文字轉化為聲音的機器。面對一頁帶標點的希伯來語《舊約》，我無須知道任何一個詞的含義，就能將進入眼簾的符號轉換成從雙唇間發出的聲音。

無論是在學校，還是在家裡，我所受的教育都強調國際化。法語（不知怎麼搞的，我一直沒有時間去學）不僅是一門學科，而且是活生生的事物——我父親在打電話時，若不想讓他愛管閒事的孩子們聽懂，就用法語。

我覺得，即便是娃娃德語、二手拉丁語、機械希伯來語和保密法語，也擴大了我的文學視野。且不說別的，這些語言教會了我去感受表達同一思想的各種方式之間的異同。

現在，一些研究生反對將學會閱讀兩種語言作為獲得博士學位的必要條件。“我們為什麼要學習花卉、家人、屬格和過去分詞呢？我們只想能閱讀上個月巴黎研討會的報告。”有些人甚至說：“誰需要德語？對我來說，Fortran語言更為重要。”

恐怖！我很不安。我敢說，這種反語言、反文化、反理智的態度將導致國際科學資訊交流惡化，並催生大量糟糕的作品。我所學到的每一丁點兒語言知識都對我後來的寫作有幫助，丹麥語、葡萄牙語、俄語和羅馬尼亞語是這樣，我學這些語言是出於特定的數學原因，而我接觸過一點的希臘語和梵語也是這樣。

我一直遺憾沒人教過我希臘語，每一分希臘語知識都可以換來十分的語言感悟。在這些年裡，我設法學會了不少希臘語詞根，我的資料來源是我書架上的英語詞典，尤其是《美國傳統詞典》（The American Heritage Dictionary）和第二版韋氏詞典。我覺得我需要先查出單詞的詞源，然後才能準確地使用它們，而且我知道（這是件小事，在這兒順便提一下）我在英語拼寫上沒有問題的原因是，即使只是對其他語言有“點頭之交”，也能讓我認識到大部分的難詞來自哪裡。

我得承認，用 Fortran 語言代替德語只是 90% 的糟糕，而不是 100% 的糟糕。這讓我在理解文化和精通傳播藝術方面有所失，但在一絲不苟地注重細節和日益精通傳播科學方面，卻有所得。形式語言的理論學習和實踐訓練，可能有助於文字表達的嚴謹精確，尤其是對那些數學天賦不是特別突出的學生來說，但其對於文字表達的清楚明瞭並無幫助。有時候，這種區別會被忽視，甚至被駁斥，然而這是一個可悲的錯誤。畢竟，在一篇文章中，不會被誤解與確實被理解之間存在著天壤之別。

SAIXIANSHENG

數字‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

我是在家裡學會數數的，這意味著我學會了正整數集合中初始一小段的那些成員的名稱。我可以按順序背出來，我還能分辨出五塊餅乾和七塊餅乾的區別。我那充滿魅力又神秘莫測的父親給了我最早的算術經歷，這事與時鐘有關。

他從硬紙板上剪下一個圓盤，用羅馬數字 I 到 XII 做了記號，在圓盤中心釘上指標，教我報時。課堂在他的大房間裡，那是他的地盤，被允許進入是一種難得的優待。這個房間既是他的診室（他是一名醫生），也是他的書房（在難得的空閒時間，他會在書桌前琢磨國際象棋問題），還是他的臥室。

床在白天是一張寬大而豪華的長沙發，上面蓋著一張色彩豔麗的波斯毛毯。房間一面牆上有三扇大窗戶，陽光充足，令人愉快，與窗戶相對的是一排帶玻璃門的書櫃。認鍾課持續了一個多星期。我終於學會了，當時鍾顯示 8:45 時，我能說出“八點三刻”，這讓我既興奮又得意。

在那段時間裡，我還聽說過三角學，但那時候三角對我來說是一個偉大而可怕的謎。我哥，就是那個嘟囔拉丁語介詞的哥哥，記住了對邊、斜邊和各種恆等式。當時我什麼都記不住，我甚至不知道這些概念用匈牙利語怎麼說。許多年後，當我學習這門課時，我必須先克服恐懼才能明白，其實這一切都很容易。

上小學時，我學習算術，諸如九九乘法表之類。我算術不太好，有的乘積，比如6×7 和7×8 ，我總是不能對答如流，必須停下來仔細想想。（乘法和大寫字母 M 是同一天教的嗎？）那些口訣（我很確定3×7=21 ）似乎在我的聽覺記憶裡。

乘法口訣與其說是我“看到”的或“理解”的，不如說是聽見的。此外，當我聽到乘法口訣用我的母語匈牙利語講出來時，有時，這會讓我心中為之一顫。儘管我已經說英語、讀英語、寫英語和夢英語超過半個世紀，我聽到的算術卻總是匈牙利語的。

當我結算支票時，我是用匈牙利語嘟囔著數字——不是“nine and eight is seventeen, carry one”，而是“kilenc és nyolc az tizenhét, marad egy”。為什麼會這樣？也許是因為，算術是我們所有人每天都在喃喃自語的東西，而大多數其他科目往往一擱置就是一星期或是一個月。

我在匈牙利受到的算術教育，成了我在美國教書初期的一個小障礙。要了解問題出在哪裡，請看這兩個算術豎式：