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1. 引子
無須諱言，亦無可非議，量子材料研究所關注的兩大主題，一是超導，一是拓撲。
超導體是一種宏觀的量子相干態，其基本單元是兩個電子形成的複合體，即庫珀對 (Cooper pair)。兩電子系統的波函式，需要滿足費米子交換反對稱的總體要求。對於自旋單態 (singlet)，庫珀對可產生 s 波和 d 波配對的形式，通常對應於常規的 s 波超導體、升級版的s+-鐵基超導體，以及誕生於上個世紀 80 年代的非常規 d 波超導體 (如銅氧化物)。這兩大類超導體，大約各自佔據了超導研究的半壁江山。畢竟，有無數物理人致力於追求其中奧秘而衣帶漸寬終不悔。
物理學中拓撲的概念，也恰恰是在上個世紀 80 年代衍生於量子霍爾效應，並在近些年無論是理論上還是實驗上都得到系統發展。與拓撲相聯絡的所謂“霍爾家族”，也應運而生。從物理學角度來看，拓撲是描述一個系統不依賴於區域性細節、而由全域性結構決定的不變數。因此，這類體系有一個共同特點：這種全域性結構在系統連續變化下保持不變，只有在能隙關閉時才會發生相變。注意到，能隙關閉，意味著絕緣體 – 金屬相變 MIT，也意味著拓撲與此類轉變的內在聯絡。
事實上，固體物理中的能帶理論，即是將所有物質分為金屬和(能帶) 絕緣體兩大類。而拓撲概念引入，又從另外一個層面定義了一大類拓撲材料體系，其中包含了拓撲半金屬及拓撲絕緣體兩類。它們逐漸佔據了拓撲材料體系的一大片陣地，與強大的“霍爾家族”交相輝映，構成了拓撲物理的盛大場景。超導作為“百年老字號”，當然不會落下拓撲物理這場盛宴。而拓撲，雖“猶抱琵琶半遮面”，亦很樂意與超導“交相輝映”一番。因此，超導與拓撲就如約而至，在量子材料的領地裡一見如故。聯袂而出的一個成果，就是馬約拉納準粒子。
簡單而言，所謂馬約拉納費米子，因其鬼魅而難以在粒子世界中展露真容，卻能夠在拓撲超導體系中衍生出“固體宇宙”中的馬約拉納準粒子，並同樣遵循馬約拉納費米子的原始定義：湮滅與產生等價。兩個馬約拉納準粒子，可以巧妙地組成一個費米子 (至少是在數學形式上)。即使是在實空間分離的狀態下，它們仍然可以複合成佔據數為 0、或為 1 的費米子態。這是一種全新的量子位元形式，是拓撲超導量子計算的核心所在。
於是，尋找馬約拉納費米子，就成為當下物理人的熱切追求。
2. 本徵拓撲超導的由來
追逐之路，先從超流體 3He 開始，其是 3He 原子形成自旋三重態 p 波配對的體系，也是首個在實驗上被驗證的拓撲超流體，算是拓撲超流“交相輝映”的第一個例子。該發現，促成了 1996 年諾貝爾物理學獎，也吹響了自旋三重態 p 波配對的號角。
物以稀為貴，在超導領域，可能是因為 s 波和 d 波配對各佔半壁江山的時間太長，催促著物理人好些年前便開始去思考：自然界是否存在自旋三重態的 p 波超導體。這一思考的實驗嘗試，體現在 Sr2RuO4 的研究上。作為最具代表性的體系之一，Sr2RuO4 自 1994 年被發現超導電性以來，縱橫三十載，已然成為拓撲超導領域研究最早、也最深入的材料。然而，這條路並非契合人意，起起伏伏，歷經多番峰迴路轉，終在 2019 年被重新審視為自旋單態配對 (Nature 發表過一篇關於 Sr2RuO4 奈特位移的實驗)，並非三重態 p 波超導體。
自旋三重態 p 波超導的理論進展也不遑多讓，2001 年，由 Read 和 Green 首次提出 p 波拓撲超導的理論方案。他們認為，在二維 p + ip 形式的手性超導態中，磁通渦旋中心能夠束縛住一個馬約拉納零能模。同年，Kitaev 提出一維自旋極化 p 波超導鏈，在超導弱耦合情況下進入拓撲超導相，並在一維鏈的兩端各自產生一個馬約拉納零能模。
如上短短幾段文字，已經觸及了“拓撲超導體”、“馬約拉納準粒子”和“自旋三重態 p 波超導”這幾個相互有內在聯絡、卻亦有所不同的量子態。這裡，有必要釐清它們的相互關係，以為後續的實驗闡述做鋪墊。
首先，每個拓撲系統，都具有一定的非零拓撲不變數，以與拓撲平庸相區分開來。對應於整數量子霍爾效應平臺的拓撲不變數，是基於能帶波函式計算而得到的陳數，且正好對應於朗道能級填充數。對三維拓撲絕緣體，物理人的方案是，基於能帶波函式去計算每一個時間反演不變動量點的宇稱 (1 或 -1)，並連乘起來。拓撲不變數 Z2 = 0 對應連乘的結果為 1，為拓撲平庸相；拓撲不變數 Z2 = 1 對應連乘的結果為 -1，是非平庸拓撲相 (簡稱拓撲相或拓撲態)。根據拓撲的“體 – 邊對應原理”，具有拓撲屬性的體態，在向拓撲平庸的真空過渡時，必須經歷能隙閉合，從而在邊界處形成無能隙的 Dirac 表面態或邊界態。
其次，仔細斟酌後不難發現，所謂本徵拓撲超導，實際上描述的是超導配對的拓撲屬性。這一屬性，並非由能帶本身所致，而須由能隙函式主導的拓撲不變數計算來進行判斷。這也是本徵拓撲超導中“本徵”得名的由來。Fu – Kane 超導近鄰拓撲絕緣體模型，等效地構建了無自旋自由度的p波配對，而大熱的“鐵基超導體”亦屬於等效 p 波超導一類。
再次，自旋三重態 p 波配對 (或等效 p 波配對) 是實現拓撲超導的首選平臺。但需要注意，p 波配對並不是拓撲超導的充分條件。一個體系是否具備非平庸的拓撲不變數，還取決於系統的對稱性、配對方式和空間維度等因素。在拓撲超導體中，馬約拉納準粒子的構建，乃基於超導態 Bogolibouv 準粒子，即電子與空穴的天然混合。在實空間中，這一算符表示為γ+E,σ = μEc+σ + νEcσ'，在動量空間中算符表示為γ+k,σ = μkc+k,σ + νkc-k,σ'。為了實現產生與湮滅等價的條件，即在實空間表象下需滿足γ+E = γE，在動量空間表象下需滿足γ+k = γ-k。由此不難看出，當 Bogolibouv 準粒子的能量為零時，電子與空穴等權重地相干疊加。此時，如果同時滿足σ 與σ' 自旋方向一致的條件，體系就嚴格符合馬約拉納費米子的原始定義了。
為了突出這一物理的重要性，不妨將位於零能處的馬約拉納準粒子稱為“馬約拉納零能模”。這類模式，既可以是束縛於拓撲缺陷之中的局域模式，亦可以是存在於邊界的巡遊模式。由此可知，二維拓撲超導與二維量子霍爾家族在物理特性上存在諸多相似之處，如圖1 所示，尤其在手性或螺旋邊界態方面展現出一一對應的關係。
圖 1. 二維拓撲超導體以及與之類比的二維量子霍爾家族。
Chiral SC 表示手性拓撲超導，QH 表示量子霍爾態，兩者邊界僅有單向運動的手性模式。Helical SC 表示螺旋性拓撲超導，QSH 代表量子自旋霍爾態，邊界具有兩支運動方向相反、自旋亦相反的螺旋運動模式。
From Xiao-Liang Qi (祁曉亮) et al, Time-Reversal-Invariant Topological Superconductors and Superfluids in Two and Three Dimensions, Phys. Rev. Lett. 102, 187001 (2009), https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.102.187001.
作為本文背景知識的最後一環，也希望各位讀者耐心讀完這一段：
判斷拓撲超導體系中馬約拉納零能模是否適用於拓撲量子計算的關鍵，不在於其是否為局域態或巡遊態，而在於系統序參量是否破壞時間反演對稱性。對於保留時間反演對稱性的拓撲超導體，邊界或無磁性缺陷處會出現 Kramers 成對的馬約拉納零能模。這兩個模式互為時間反演對稱的量子態，既不能被雜化，也不能複合成一個費米子態，因此不適用於現有的拓撲量子計算框架。當然，該類系統的磁通中心處就打破了時間反演對稱性，因此 Kramers 成對的馬約拉納零能模因雜化而有可能演化成有限能量。
另一方面，對破壞了時間反演對稱的拓撲超導體，其邊界或單個磁通渦旋中心，可出現單個自旋極化的馬約拉納零能模，即是適用於拓撲量子計算十分理想的馬約拉納準粒子。
鋪墊了這些基本知識，現在可以開始描繪本徵拓撲超導了。
3. 揭開本徵拓撲超導的面紗
3.1. 重費米子超導材料 UTe2
從 Sr2RuO4 手中接過接力棒，於 2019 年，重費米材料 UTe2 展現出自身神奇的超導電性。其臨界溫度似乎不高 (1.6 K 至 2 K)，但三個晶軸方向均超過 Pauli 上臨界場。那麼，是不是 p 波配對，成不成拓撲超導，有沒有馬約拉納零能模，可不可做拓撲量子位元，這一連串對物理人的靈魂拷問，正屬於拓撲超導領域的核心問題。筆者個人認為：前三個問題有了一定的實驗基礎，第四個問題暫無從下手，只能將答案藏於時間。
坦率而言，很多時候，我們的研究並不能很好地扣住這靈魂四連問，真實情況更多如盲人摸象一般。我們首次觸探到的，可能是排列井然有序的“腳趾頭” (類比周期性有序態)。2023 年，我們利用掃描隧道顯微鏡，聯合約瑟夫森隧道掃描技術，在 UTe2 系統中發現自旋三態配對密度波 [Q. Gu (顧強強) et al, Detection of a pair density wave state in UTe2, Nature 618, 921 (2023), https://www.nature.com/articles/s41586-023-05919-7]，證實了配對密度波態並非自旋單態 (singlet) 超導體獨有、而是整個超導家族固有的一類奇異量子態。
3.2. 三維本徵拓撲超導的二維表面態
接下來的兩年時間裡，我們制定了一個冒險的計劃，試著去尋找”大象的長鼻”，向 p 波超導以及拓撲超導最核心的物理現象發起挑戰，即 UTe2 是否具有拓撲超導表面態。
我們可從兩個不同的角度理解拓撲超導表面態：
(1) 從微觀物理角度，p 波超導體的奇宇稱配對勢在超導介面處會引發普適的π 相位差，形成共振的 Andreev 束縛態；
(2) 從拓撲角度，UTe2 具有非平庸的 Z2 拓撲屬性，而真空為拓撲平庸態。根據“體 – 邊對應原理”，拓撲超導體的體態在向拓撲平庸的真空過渡時，必須經歷能隙閉合，從而在邊界處形成無能隙的表面態。
因此，如果系統是能隙完全開啟的 p 波配對，則表面態是 Majorana cone，零能態密度趨於零。如果系統是節點 p 波配對，投影到表面的節點將由 Majorana arc 連線，以形成 Majorana 零能平帶，會顯示出強烈的零能態密度峰。圖 2 展示了 Majorana 零能平帶和態密度計算的結果。其中，圖 2d 顯示的普通針尖的隧道譜實驗結果，並不能支援這一結論。
圖 2. Majorana 零能平態的理論考慮。
如同 Weyl 半金屬，表面態 Fermi arc 連線於不同手性的投影於二維表面的 Weyl node。對於有能隙節點的拓撲超導，表面態 Majorana arc 亦連線於投影在二維表面的能隙節點。以三維立方晶格和球形費米麵為例，兩個能隙節點出現在kx 軸上，(a) 在 (001) 表面的布里淵區內，在理論上我們獲得節點拓撲超導的表面態色散，連線“南北極”的 Majorana arc 貢獻零能平帶。(b) 將能量作為一個維度，零能平帶色散的三維示意圖。(c) 節點拓撲超導表面態的態密度計算出現強烈的零能峰。(d) 實驗上利用普通金屬針尖測得 UTe2 超導態典型的隧道譜，對應於樣品態密度。需要注意的是，這裡測得的樣品態密度可能包含了表面態和體能帶的總體貢獻，因此無法獲得理論上純粹的表面態零能峰的結果。
From Q. Gu (顧強強) et al, Science 388, 938 (2025).
實驗上，雖然單粒子隧道譜可以直接表徵樣品表面的態密度，但遇到了一個難以逾越的矛盾點：普通針尖測量的態密度，包含了表面態和體能帶的總體貢獻。而真實的系統中，由於有限溫度，雜質散射可能導致有限零能態密度的出現，使得實驗結果無法區別體態和表面態對零能態密度的貢獻。簡而言之，體態與表面態的隧穿訊號始終混合，難以透過傳統方法加以區分。
為破解這一難題，我們首創了掃描 Andreev 隧道譜學 (SATM) 技術，其核心原理如圖 3a 所示(亦如封面圖片所示)：在 p 波超導體與 s 波超導體形成的隧道結中，當兩者的耦合強度處於合適的範圍時，拓撲超導表面態可透過高效的、電荷為 2e 的 Andreev 隧穿形式輸運電流。而體態的單粒子態，無法隧穿至能隙完全開啟的 s 波超導體一側，從而在隧穿訊號中可精確區分兩者的貢獻。
圖 3b 展示了實驗測得的尖銳零能峰，源自拓撲超導表面態的 Andreev 隧穿貢獻。這一結果，直接說明 UTe2 的拓撲超導表面態來源於節點 p 波超導的 Majorana 零能平態。更加引人注目的是，當 s 波超導針尖逐漸靠近 UTe2 樣品時，零能峰逐漸劈開 (圖 3c)。這一實驗結果，直接證明了 UTe2 的序參量保留時間反演對稱性。從對稱性角度來看，當 s 波超導體與 p 波超導體接近時，系統的超導相位會被鎖定，破壞時間反演對稱性，導致拓撲超導表面態開啟能隙。因此，從這一觀測結果，可推匯出 UTe2 在原始狀態下保持了時間反演對稱性。
圖 3. Majorana 零能平態的精確表徵。
(a) Majorana 零能平態對於 s 波超導體的 Andreev 隧穿過程。(b) 微分電導測量中的尖銳零能峰來自拓撲超導表面態中 Majorana 零能平態的 Andreev 隧穿貢獻；(c)當 s 波超導針尖逐漸靠近樣品，零能峰逐漸劈裂，說明表面態開啟能隙，源於兩個超導體相位鎖定而導致時間反演對稱性的破缺。
From Q. Gu (顧強強) et al, Science 388, 938 (2025).
筆者依稀記得，這個實驗初始於 2022 年聖誕的第二天：當螢幕上首次浮現出零能態密度峰時，筆者十分興奮地在實驗室外的走廊上跑了幾圈。當時的自己，可能已完全地被量子世界的神奇所折服，感嘆於這聖誕老人給予的珍貴禮物。這篇文章最終順利發表於期刊 Science 上 (資訊如下)，其實過程還是十分曲折的。限於篇幅，筆者在這裡就按下不表了。
3.3. 拓撲超導表面態之動量空間
當然，需要指出，每個工作其背後還是會留下了些許伏筆。這裡，我們暫且默認了 UTe2 實空間有零能態密度峰的出現，但如何證明這確實是來自於 Majorana 零能平帶、而不屬於其他平庸 (或其他偶然物理機制) 的零能平帶？
要回答這一極具挑戰性的問題，可能需要追溯到最原始的表面態定義和物理起源。從動量空間出發，在 p 波奇宇稱配對下，準粒子 k 藉助表面散射至 k' 而產生 Andreev 共振態，這是導致拓撲超導表面態的直接原因。因此，可以理解的是，準粒子在表面的散射只能保留面內動量，正好對應於體帶費米麵投影於二維表面所獲得的動量點。而這些動量點，保留了超導能隙節點、可能的 Majorana 零能平帶，以及超導能隙內的動量 – 能量色散關係。至此，準粒子相干實驗，可以作為拓撲超導表面態之動量空間視覺化的有效選擇，詳情請參見我們即將發表的相關工作 [S. Wang et al, Odd-parity quasiparticle interference in the superconductive surface state of UTe2, Nat. Phys. (2025); arXiv:2503.17761]。
在此，我們可以總結：UTe2 是具有節點的 p 波超導體，也是首個本徵拓撲超導體。其表面態，具有 Majorana 零能平態，且系統保留了時間反演對稱性。
4. 本徵拓撲超導之展望
無須諱言，本徵拓撲超導的探索，必定是一條充滿荊棘的路途。回顧本文提出的四連問，特別是最後兩問：有沒有馬約拉納零能模？能不能做拓撲量子位元？前者有了初步的答案：UTe2 具有二維表面的馬約拉納零能平帶。然而，真正用於拓撲量子計算，仍需具備自旋極化的單個馬約拉納零能模。UTe2 系統是否能夠孵化出這一終極目標，還需時間的沉澱。
最後指出，本文描述多有不周之處，敬請讀者諒解。對詳細內容感興趣的讀者，可點選文尾的“閱讀原文”而御覽一二。
Pair wave function symmetry in UTe2 from zero-energy surface state visualization
Qiangqiang Gu (顧強強), Shuqiu Wang, Joseph P. Carroll, Kuanysh Zhussupbekov, Christopher Broyles, Sheng Ran, Nicholas P. Butch, Jarryd A. Horn, Shanta Saha, Johnpierre Paglione, Xiaolong Liu, J. C. Séamus Davis, and Dung-Hai Lee (李東海)
Science 388 (6750), 938 – 944 (2025)
https://www.science.org/doi/10.1126/science.adk7219
備註：
(1) 筆者顧強強博士，目前供職於 Cornell University，不久將加盟上海交通大學李政道研究所工作。
(2) 小文標題“無處躲藏的馬約拉納準粒子”乃宣傳式的言辭，不是物理上嚴謹的說法。這裡只是表達在三重態本徵拓撲超導體 UTe2 中尋找馬約拉納準粒子的場景。
(3) 文底圖片乃筆者自行繪製，展示了運用 STM 探測兩度空間 (實空間與波矢空間) 的馬約拉納準粒子蹤跡。小詞乃編者 Ising 所寫 (20250509)，原本為表達編者旅行時看到的山水夏色，這裡展示了那超導單態和超導三態的形貌，就如仙人谷一般。這裡，也致敬顧強強博士他們多年的拓撲超導和馬約拉納之旅。
(4) 封面圖片來自 Andriy H. Nevidomskyy 為筆者這篇 Science 文章撰寫的相關評述展望，展示了 STM 精確探測拓撲超導表面態和超導能隙對稱性的原理，是對筆者發展的探測技術之很好說明 [A. H. Nevidomskyy, Sleuthing out the symmetry of a superconductor, Science 388, 916 (2025), https://www.science.org/doi/10.1126/science.ady3202]。
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