丘成桐：陳省身的幾何貢獻

數學家陳省身（1911年10月26日-2004年12月3日）圖源：陳省身數學研究所

導讀：

陳省身有著驚人的為重要幾何結構創造不變數的才能，在我所認識的數學家中，無人能出其右。

丘成桐 | 撰文

我很榮幸師從一位偉大的數學家。陳省身對我的學術生涯，無論數學上還是個人修養方面，都有著深刻的影響。

回顧微分幾何的發展歷史，我認為嘉當（E. Cartan）是微分幾何的祖父，陳省身是現代微分幾何之父。他們合力創造了一門美妙而豐富的學科，影響遍及數學與物理的每個分支。

（左）埃利·嘉當（1869~1951）、（右）陳省身（1911~2004）

在去世前，陳省身說他就要去見古希臘那些偉大的幾何學家了。毫無疑問，他的成就堪與這些大幾何學家比肩。

我們現在來回顧幾何學發展史上的重要事件。從這些歷史事實，我們也可以看到這兩位偉大的幾何學家在數學史上的崇高地位。

古希臘早期的畢達哥拉斯學派（Pythagoras，約公元前580~前500），發現並證明了：直角三角形的兩條直邊的平方和等於斜邊的平方。西方稱這一命題為畢達哥拉斯定理。中國古代也有同樣的發現，因而在中國稱之為勾股定理。
古希臘幾何學家歐幾里得（Euclid，約公元前330~前275），寫出了著名的《幾何原本》，建立了公理化的歐幾里得幾何體系。
古希臘數學家阿基米德（Archimedes，約公元前287~前212），用類似於現代積分學的方法，計算物體的面積與體積。

自左至右依次為：畢達哥拉斯（約公元前580~前500）、歐幾里得（約公元前330~前275）、阿基米德（約公元前287~前212）

法國哲學家、數學家笛卡兒（René Descartes，1596~1650）

引入座標，解析幾何誕生，代數與幾何走向融合。
法國幾何學家德薩格（Gérard Desargues，1591~1661）創立了射影幾何。
法國數學家費馬（1601~1665）在研究光學時，發現了變分原理。

自左至右依次為：笛卡兒（1596~1650）、德薩格（1591~1661）、費馬（1601~1665）

英國數學家巴羅（I. Barrow，1630~1677）、牛頓（Isaac Newton，1642~1727）和德國哲學家、數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646~1716）將微分與積分融合起來。（微分與積分的思想在古希臘，古印度，古代中國，阿拉伯等國就已萌芽。不過，這些早期的發展未能將微分與積分聯絡起來。）

自左至右依次為：巴羅（1630~1677）、牛頓（1642~1727）、萊布尼茨（1646~1716）

瑞士數學家尤拉（Leonhard Euler，1707~1783）發明組合幾何並發展變分法。
德國數學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777~1855）開創了內蘊幾何。
德國數學家黎曼（Bernhard Riemann，1826~1866）1854年在為取得教師職位所做的演講中，提出了黎曼幾何的思想。

自左至右依次為：尤拉（1707~1783）、高斯（1777~1855）、黎曼（1826~1866）

挪威數學家索菲斯·李（Sophus Lie，1842~1899）建立了變換群理論，並發現了切觸幾何。
德國數學家克萊因（Felix Klein，1849~1925）在1872年宣佈了埃朗根綱領，把幾何定義為研究各種變換群作用下的空間。

（左）索菲斯·李（1842~1899）、（右）克萊因（1849~1925）

例如，射影變換群對應的幾何是射影幾何，主要的貢獻者包括龐斯萊（Jean-Victor Poncelet，1788~1867）、默比烏斯（August Ferdinand Möbius，1790~1868）、沙勒（Michel Chasles，1793~1880）和施泰納（Jakob Steiner，1796~1863）。
還有仿射幾何與共形幾何，它們分別對應於仿射群和共形群。

自左至右依次為：龐斯萊（1788~1899）、默比烏斯（1790~1868）、沙勒（1793~1880）、施泰納（1796~1863）

嘉當和陳省身繼承了這些偉大幾何學家的事業，憑著他們的幾何直覺創造了20世紀微分幾何的基礎。

法國數學家安德烈·韋伊（André Weil，1906~1998）在為《陳省身論文選集》撰寫的序言《我的朋友——幾何學家陳省身》一文中寫道：

真正的幾何直觀在心理上也許永遠說不清楚……無論如何，如果沒有嘉當、霍普夫、陳省身和另外幾個人的幾何直覺，本世紀的數學決不可能有如此驚人的進展。我深信，只要數學繼續發展，就永遠需要這樣的數學家。

SAIXIANSHENG

現代微分幾何的誕生

嘉當的工作 嘉當繼高斯、黎曼、李和克萊因之後完成了為現代微分幾何奠基的工作。透過把他關於李群和微分方程組不變數理論結合起來，他引入了現代規範理論。

嘉當定義了廣義空間，包括了克萊因的齊性空間與黎曼的區域性幾何。用現代術語來說，就是“纖維叢上的聯絡”。這推廣了列維-齊維塔平行性的概念。

一般而言，我們有一個纖維叢 π : E → M，其纖維 π-1(x )(x ∈ M ) 是有李群 G 作用的齊性空間。一個聯絡就是纖維上與群 G 作用相容的無窮小移動。

格拉斯曼引入了外形式，而嘉當引進了外微分運算。他的 Pfaff 方程組理論和延拓理論創造了可以用來解決幾何中等價問題的不變數。

嘉當用活動標架構造不變數的觀點對陳省身有很深的影響。陳非常欣賞活動標架法，甚至他九十歲時還在國內講授這個理論。

（左）韋伊（1906~1998）、（右）霍普夫（1894~1971）

霍普夫的工作 霍普夫（Heinz Hopf，1894—1971）最早開始研究微分拓撲，如流形上的向量場。他的學生斯蒂弗爾（E. Stiefel）推廣了霍普夫的定理，得到了斯蒂弗爾-惠特尼（Stiefel-Whitney）示性類。

1925年，霍普夫在他的論文中研究了超曲面情形的高斯-博內定理。1932年，霍普夫強調指出被積函式可以寫成關於黎曼曲率張量分量的多項式。

這些工作深刻影響了陳省身後來的工作。

霍奇（W. V. D. Hodge）、龐特里亞金（L. S. Pontryagin）和惠特尼（H. Whitney）的工作 他們都是偉大的微分拓撲學家，後兩位在示性類上的貢獻直接影響了陳氏類的產生。

SAIXIANSHENG

陳省身：整體內蘊幾何之父

陳省身說過，黎曼幾何及其在微分幾何中的推廣有區域性的特徵。讓我感覺很神秘的是，我們確實需要一個整體的空間把每片鄰域連線起來。這可以用拓撲來完成。

嘉當和陳省身都看到了纖維叢在微分幾何中的重要性。當然，許多大數學家都研究過整體微分幾何，如科恩-沃森（Cohn-Vossen）、閔可夫斯基（H. Minkowski）、希爾伯特（D. Hilbert）、外爾（H. Weyl），但是他們的工作主要侷限在三維歐氏空間中的曲面的整體性質。

陳省身在內蘊幾何與代數拓撲之間建立了橋樑。（嘉當在微分幾何上的工作在本質上更強調區域性，除了他在對稱空間方面的工作。）

陳省身接受的教育

（南開大學和清華大學）

他在天津南開大學讀大學本科，接著在北京清華大學讀研究生。在此期間，他學習了庫利奇（J.L. Coolidge）的《非歐幾何》和《圓周與球面的幾何》，薩蒙（W. Salmon）的《圓錐曲線》和《立體解析幾何》，卡斯泰爾諾沃（G. Castelnuovo）的《解析幾何與射影幾何》，以及斯坦德（Otto Stande）的《線構造》。

他的碩士生導師孫鎕研究射影微分幾何，該領域由維爾辛斯基（E.J. Wilczynski）於1901年創立，後來被富比尼（G. Fubini）和切赫（E. Cech）發展。

陳省身的碩士論文是關於射影線幾何，即研究三維射影空間中所有直線組成的空間的超曲面。他研究了線匯，即線的二維子流形以及它們的透過二次線體的密切。

陳省身接受的教育（布拉施克）

1932年，布拉施克訪問北京。他做了題為“微分幾何中的拓撲問題”的演講，主要討論了微分同胚偽群及其區域性不變數。陳省身開始考慮整體微分幾何，並且認識到代數拓撲的重要性。他讀了維布倫（O. Veblen）的書《位置分析》（Analysis Situs，1922）。

1934年，他去德國漢堡大學跟隨布拉施克學習。阿廷（E. Artin）、赫克（E. Hecke）和凱勒（E. Kähler）也在那裡。布拉施克那時主要研究網幾何與積分幾何。陳省身開始研讀賽弗特-特雷法爾（Seifert-Threlfall）的《拓撲學講義》（1934）和亞歷山德羅夫-霍普夫（Alexandroff-Hopf）的專著《拓撲學》（1935）。

陳省身接受的教育（凱勒、嘉當）

在漢堡大學時，凱勒在討論班上講解了他寫的小冊子《微分方程組理論導引》，就是現在所稱的凱勒-嘉當理論。陳省身是這個討論班的忠實學生。

1936~1937年，陳省身來到法國巴黎，跟隨嘉當研究活動標架法和等價方法，並且更深入研究了凱勒-嘉當理論。他在巴黎逗留了十個月，每兩週與嘉當會面一次。

陳省身於1937年夏回到中國。他用了幾年時間研究嘉當的工作。他曾說，嘉當一生中的論著超過三千頁，他至少讀過其中的百分之七八十。有一些文章他反覆研讀過好多次。在戰爭年代的孤立環境下，很容易做到全身心地閱讀和思考。

陳省身評價嘉當說：“他毫無疑問是本世紀最偉大的數學家之一，他的學術生涯體現出了一種罕見的睿智與謙遜的融合。1940年，我努力研讀嘉當的著作，意識到聯絡的概念將會發揮重要的作用，於是我寫了幾篇論文，對一個給定的幾何結構配上聯絡。”

陳省身幾乎是唯一的能夠很好掌握嘉當工作的幾何學家。甚至像外爾那樣的大師都認為嘉當的論著很難讀。外爾說：“嘉當無疑是微分幾何領域仍然健在的最偉大的人物……不得不承認的是，我發現嘉當的書和他的大多數論文一樣，艱深難讀……”

等價問題

陳省身的大多數工作與等價問題有關。1869年，克里斯托費爾（E. Christoffel）和利普希茨（R. Lipschitz）解決了黎曼幾何中的等價問題，這個有著基本重要性的問題被稱為“形式問題”：為了確定兩個 ds2 是否只相差一個座標變換，克里斯托費爾引入了現在被稱為列維-齊維塔聯絡的協變微分。

嘉當把這個問題推廣到更一般的情形，被稱為等價問題。

等價問題 給定分別在座標x^k,x^*l下的兩組線性無關的線性微分形式 θi, θ*j，其中 1≤i, j, k, l ≤n；給定一個李群

，要求找到合適的條件，使得存在函式

，並且 θ*j 在經過如上替換後，與相差 G 中的一個變換。

這個問題與區域性不變數有關，嘉當給出了生成這些不變數的具體步驟。陳的大部分工作都與這個問題有關。

陳省身（1932—1943）

在此期間，他研究了網幾何、射影線幾何，射影空間中子流形對的切觸不變數以及孤立子理論中的貝可隆（A.V. Bäcklund）變換有關的曲面變換。陳省身後來在與格里菲思（P. Griffiths）和滕楚蓮的合作中，繼續這方面的研究。

陳省身在他的博士論文中研究了射影微分幾何。簡單來說，這個學科的一個基本問題是：找到子流形在射影變換群下的一族完全的區域性不變數，並用與簡單幾何圖形的密切來給出幾何上的解釋。

射影幾何中的另一個典型問題是，用正規射影聯絡研究道路結構的幾何。例如，索菲斯·李的學生特雷斯（Tresse）用空間（x, y, y'）中的正規射影聯絡研究了由積分曲線 y'' = F（x, y, y'）定義的道路。

陳省身把上面的工作推廣到 n 維。給定滿足一組微分方程的 2( n－1)維曲線族，使得在每一點給定一個方向，正好有一條這樣的曲線和它相切。陳定義了正規射影聯絡，把結論推廣到子流形族。

1940~1942年期間，陳省身開始推廣由克羅夫頓（M.W. Crofton）和布拉施克發展起來的積分幾何。他注意到，這種幾何可以用具有相同李群 G 的兩個齊性空間來更好地加以理解。於是，有 G 的兩個子群 H 與 K，滿足

。

兩個陪集 aH 與 bK 稱為互相關聯，如果它們在 G 中相交。用這種方法，他推廣了克羅夫頓的許多重要公式。1952年，他推廣了龐加萊、桑塔洛（L.A. Santaló）和布拉施克的運動公式。

韋伊評價陳省身的一篇有關文章：它把布拉施克學派的工作一舉推進到更高的水平。文章所顯現的非凡才能和深刻見解給我留下了很深的印象。

陳省身對普林斯頓的訪問（1943）

1943年，陳受到維布倫和外爾的邀請，從昆明前往普林斯頓。外爾是陳心目中的英雄。纖維叢理論發端於嘉當和惠特尼的工作。斯蒂弗爾-惠特尼示性類只在模 2 同調上有定義。韋伊當時剛剛發表了他關於高斯-博內公式的論文，他把託德和埃格爾關於代數幾何中典則類的工作告訴了陳。這些工作秉承了義大利代數幾何學派的風格，用到了一些未經證明的結果。

陳省身所做的第一項基本重要性的工作就是給出了高斯-博內公式的內蘊證明。這個公式的簡約歷史可以敘述如下：

高斯在其開創性論文《關於曲面的一般研究》（Disquistiones Circa Superficies Curvas，1827）中，首先求出了關於測地三角形的公式：他考慮的是中的曲面，並且用了高斯對映。

博內（O. Bonnet）在1848年的一篇論文（Mémoire sur la théorie générale des surfaces, J. De l’Ecole Poly. Tome 19, Cahier 32 (1848) 1-146.）中，把高斯的公式推廣到以一條任意曲線為邊界的單連通區域。

戴克（W. Dyck）在1888年（Beiträgezur analysis situs, Math Annalen 32(1888) 457-512.），把高斯-博內公式推廣到任意虧格的曲面。

1925年，霍普夫把公式推廣到Rⁿ中的餘維數為 1 的超曲面。1940年，艾倫多弗（C.B. Allendoerfer）和費恩雪爾（W. Fenchel）研究了可以嵌入到歐氏空間中的可定向閉黎曼流形。1943年，艾倫多弗和韋伊把公式推廣到閉黎曼多面體，也即一般的閉黎曼流形。但證明仍然要用到流形到歐氏空間的等距嵌入。

韋伊把他們的工作和陳省身的工作做了比較：基於外爾和其他一些人的工作，我們的依賴於“管子”的證明雖然的確要用到（當時還不明瞭）球叢的構造，也就是一個給定浸入的橫截叢，但不是內蘊的。陳的證明第一次清楚地引入了內蘊叢，也就是單位長度的切向量叢上的運算，讓整個領域的面貌煥然一新。

一個世紀前，高斯建立了內蘊幾何的概念。陳的關於高斯-博內定理的證明開創了全新的領域。整體拓撲透過纖維叢以及切球叢上的超渡，與內蘊幾何建立了聯絡。我們看到了整體內蘊幾何揭開了嶄新的一頁。

以下我們來看，陳省身的證明甚至在二維情形都是全新的。

利用活動標架，曲面的結構方程可以寫為

這裡ω12是聯絡形式，K 是高斯曲率。如果單位向量 e1 由一個整體定義的向量場 V 按如下給出：

其中在 V ≠ 0 處有定義。應用斯托克斯公式可以得到

其中B(xi) 是一個以 xi 為圓心的小圓盤，並且

可以用向量場 V 在xi 處的指標來計算。根據霍普夫的一個定理，向量場的指標之和等於空間的尤拉數。這樣曲面上曲率的積分就給出了尤拉數。

在高維的情況下，陳省身的證明中用到的是單位切球叢。曲率形式 Ωij 是反對稱的，其 Pfaffian 形式是

相應的高斯-博內公式是

為了證明高斯-博內公式，必須找到單位球叢上的形式 Ⅱ，使得 Ⅱ 是 Pf 的提升。雖說陳省身的證明受到霍普夫向量場定理的啟發，但充分反映了陳省身過人的洞察力與精湛的運算技巧。霍普夫曾說過，陳的證明把微分幾何學帶入了一個嶄新的時代。特別是誕生了“超渡”的概念。這是現代數學史上最了不起的工作之一。

陳類

陳省身說：“我最早接觸示性類，是由於高斯-博內公式，這是每個學過曲面論的人熟知的公式。早在1943年，當我給出維高斯-博內公式的內蘊證明以後，我認識到，應用曲面論中的正交標架，那麼經典的高斯-博內公式不過是高斯絕妙定理的一個整體性的結果。這個證明的代數方面是後來被稱為‘超渡’的構造的第一個例項，超渡註定了會在纖維叢同調論和其他一些問題中扮演基本重要的角色。”

嘉當關於標架叢的工作，德·拉姆定理，它們始終隱藏在陳省身思想的背後。纖維叢是現代數學的核心概念，它把許多重要的數學和物理物件統一起來。以下我簡單描述一下纖維叢的歷史。

斯蒂弗爾（1936）和惠特尼（1937）引入了斯蒂弗爾-惠特尼示性類，但它只在模 2 的情形下有定義。

費爾德保（J. Feldbau）（1939）、艾瑞斯曼（C. Ehresmann）（1941，1942，1943）、陳省身（1944，1945）和斯廷羅德（N. Steenrod）（1944）系統研究了纖維叢的拓撲。

龐特里亞金（1942）引入了龐特里亞金示性類。他還在1944年把黎曼流形的曲率與拓撲不變數建立聯絡（發表在 Doklady 雜誌上）。這依賴於流形的嵌入，他開始並沒有意識到這些不變數就是龐特里亞金類。

在高斯-博內公式的證明中，我們可以找到 k 個一般位置的向量場 S1, …, Sk。它們線性無關的點構成了一個與 Si 的選取無關的（k－1）維閉鏈。這是斯蒂弗爾的工作（1936）。惠特尼（1937）考慮了更一般的球叢的截面，從阻礙理論的角度對它們加以理解。

惠特尼注意到Rⁿ中 q 平面組成的格拉斯曼流形 G( q, N ) 上的萬有叢的重要性。他在1937年證明，流形上的任意秩為 q 的叢都可以由 G( q, N ) 上的萬有叢經過對映 f : M → G( q, N ) 來誘導。

當 N 很大時，龐特里亞金（1942）和斯廷羅德（1944）注意到對映只相差一個同倫。叢的示性類按如下給出：

上同調 H*(Gr(q, N )) 由艾瑞斯曼（1936）做了研究，它們可以由舒伯特胞腔生成。

陳省身當時大概想證明龐氏的曲率不變數就是龐氏類，但在實的情形下，舒伯特的胞腔比較複雜。

陳省身說：“也許略帶幸運，我在1944年注意到了一個平凡的事實，復向量叢的情形要比實的情形簡單許多。因為大多數經典的復空間，如經典的復的格拉斯曼流形，復的斯蒂弗爾流形等都是無扭的。”

對復向量叢 E，陳省身因此引進了陳類。陳省身用三種不同的方法加以定義：阻礙理論、舒伯特胞腔以及叢上聯絡的曲率形式。他證明了這些方法的等價性。陳氏類成為近代數學最重要的不變數。

陳省身的基本論文（1946）

在文章《埃爾米特流形上的示性類》（Characteristicclasses of Hermitian manifolds）中，陳為複流形的埃爾米特幾何奠定了基礎。比如，他引入了埃爾米特聯絡的概念。如果 Ω 是向量叢的曲率形式，我們定義

。

用微分形式定義陳類，對幾何學與現代物理都有極為重要的意義。一個例子就是陳省身創造的超渡的概念。

超渡（Transgression）

令 φ 是在與向量叢相配的標價叢上定義的聯絡形式，那麼曲率形式為

所以

類似的

其中 CS(φ) 稱為陳-西蒙斯形式，在三維流形、反常消除問題、弦理論、固態物理中起著基本重要的作用。

在微分形式的層次上做超渡引出了同調群上的二級運算。比如，梅西乘積，這出現在陳國才關於迭代積分的工作中。

當流形是復的，我們記

。

在一篇重要的文章中，博特（R. Bott）-陳（1965）發現，存在一個典則構造的（i－1，i－1）形式

, 使得

。

陳省身應用這個定理推廣了高維複流形間全純映照值分佈的奈旺林納（R.H. Nevanlinna）理論。

微分形式

後來在阿萊克勒夫（S.J. Arakelov）理論中起了基本的作用。

唐納森（S.K. Donaldson）用的情形證明了關於代數曲面上埃爾米特-楊-米爾斯聯絡存在性的唐納森-烏倫貝克（K. Uhlenbeck）-丘定理。

當 i = 1 時，

其中

是埃爾米特度量，等式右邊是度量的裡奇張量。第一陳類是如此簡潔，這促使卡拉比（E. Calabi）提出了他的著名猜想。

陳類的曲率表示意味著陳數可以透過曲率的積分得到。這使得Hirzebruch可以用區域性對稱空間來推導比例性原理，即覆蓋空間與底空間的陳數之比正比於與體積之比。類似的，這也啟發我用凱勒-愛因斯坦度量給出了米姚卡-丘不等式的證明。所有這些定理都是以陳類的曲率表示為前提的。

正如陳省身所說的那樣，複數域上幾何的簡潔與美妙無論如何也不會被誇大。

陳省身（戰後回國）

陳省身在普林斯頓完成了兩項傑出的工作後，於1946年4月回到中國。國民政府聘請他到中央研究院數學研究所，協助他以前在南開的老師姜立夫。姜立夫擔任所長，但主要由陳省身負責數學研究所的日常事務。陳省身講授當時拓撲學研究的前沿課題。有許多學生和博士後參加他的討論班，包括陳國才、王憲忠、吳文俊、楊忠道、，嚴志達等。許多人後來成為中國數學的領軍人物。

陳省身（芝加哥的歲月）

1948年12月31日，在維布倫和外爾的邀請下，陳省身離開上海，前往普林斯頓高等研究院，並在那裡停留了一個冬天。我的印度朋友告訴我，塔塔研究所曾想聘請陳省身，但是沒有成功。陳到普林斯頓後，芝加哥大學的斯通（M. Stone）教授向陳省身提供了一個教授職位。陳的朋友韋伊在其中起了重要的作用。他很快在芝加哥安頓下來，並與韋伊一起開設討論班，參加者中有辛格（Singer）、斯特博格（Sternberg）、卡迪森（Kadison）。陳對美國幾何學影響深遠。辛格一直尊稱陳是他的老師。在這段時期，他培養了幾個傑出的學生，如廖山濤、沃爾夫（J. Wolf）和野水（Nomizu）。

在1946年發表了關於陳類的重要文章後，陳省身詳細研究了示性類的乘積結構。

1951年，他與斯帕尼爾（E. Spanier）合作了一篇關於纖維叢上吉森（W. Gysin）序列的文章。他們獨立於託姆（R. Thom）證明了託姆同構。

分裂原理

陳省身在1953年的文章《關於復球叢和代數簇的示性類》（On the characteristic classes of complex spherebundle and algebraic varieties）中，透過考慮以旗流形作為纖維的相配叢，證明了示性類可以用線叢來定義。作為一個推論，代數流形的示性類的對偶同調類包含一個代數閉鏈的表示。這篇文章提供了理論中的分裂原理，將其與託姆同構結合，就可以給出相配叢上陳類的定義，如同格羅登迪克（A. Grothendieck）後來所做的那樣。

霍奇曾經研究過用代數閉連結串列示同調類的問題。他考慮過上述陳省身的定理，但只能證明當流形是射影空間中非奇異超曲面的完全交時的情況。

陳省身的上述定理是最早的，而且是關於“霍奇猜想”的唯一已知的一般陳述。它還提供了全純K-理論和代數閉鏈之間的直接聯絡。

陳與拉蕭夫（R. Lashof）合作研究了歐氏空間超曲面緊貼嵌入（tight embedding）的概念。這項工作後來由柯伊伯（N. H. Kuiper）和班考夫（T. F. Banchoff）做了推廣和延拓。

伯克利的歲月和迴歸祖國

1961年，陳省身前往伯克利，直到1979年退休。他退休後還繼續留在數學系任教三年。陳省身和 Smale 來到伯克利的時候，正是伯克利大學數學系崛起成為世界數學中心的時期，在 Evens、Tarski、 Morrey、Kelly 等人的努力下，伯克利聘請了許多著名數學家。此後，陳省身聘請了許多傑出的幾何拓撲學家，使得伯克利迅速成為幾何與拓撲學的中心。

陳省身在伯克利期間培養了許多傑出的學生，包括 Garland、Do Carmo、Shiffman、Weinstein、Banchoff、Millson、鄭紹遠、李偉光、Webster、Donnelly 和 Wolfson 等。陳的學生們也受益於陳的朋友和他早期的學生。比如，Garland 得到王憲宗的指導，Millson 得到西蒙斯的指導。陳的個人魅力深刻影響著在伯克利 Campbell 大樓和 Evans 大樓工作的這些傑出幾何學家群體。伯克利的幾何討論班和研討會總是擠滿了學生、教員和訪問學者。眾所周知的是，每個伯克利的訪問學者都會被陳邀請到中餐館享用一頓難忘的晚宴，或者在他家中受到熱情款待。陳太太總是用中式美食歡迎每一個客人。伯克利的這段時光讓整整兩代幾何學家銘記。

在伯克利，陳省身與卡拉比和奧瑟曼（R. Osserman）合作研究極小曲面理論。他也嘗試推廣奈旺林納理論，從而發現了博特-陳形式與陳-萊維-尼倫伯格內蘊範數，這些工作在復幾何中發揮了意想不到的作用。他與西蒙斯的工作深刻影響了幾何學與物理，包括扭結理論。他與莫澤（Moser）關於復歐氏空間中實超曲面區域性不變數的理論在多複變函式論中具有基本的重要性。陳與格里菲思推廣了陳早期在網幾何上的工作。網幾何是陳的老師布拉施克，以及Thomsen創立的，他們注意到平面上的三族曲線纖維化具有區域性不變數。陳省身對網幾何鍾愛有加，這從他在1982年為美國數學會通報撰寫的文章就可以看出。

在20世紀80年代初期，陳省身與辛格（I.M. Singer）、莫爾（E.H. Moore）共同建立了伯克利數學研究所。他退休後返回中國，在南開大學創辦了陳省身數學研究所，對中國數學發展產生了深遠影響。

SAIXIANSHENG

結束語

陳省身有著驚人的為重要幾何結構創造不變數的才能，在我所認識的數學家中，無人能出其右。他在射影微分幾何、仿射幾何與擬凸域的陳-莫澤不變數的工作展示了他的能力。他與萊維、尼倫伯格定義的複流形上同調的內蘊範數還有待發掘。在他去世前，他的一個主要工作設想就是把嘉當-凱勒系統推廣到更一般的幾何情形。

陳省身曾經說：“幾何中複數的重要性對我而言充滿神秘。它是如此優美簡潔而又渾然一體。”他總是對古代的中國數學家從未發現複數抱憾不已。令人欣慰的是，陳省身在復幾何上影響深遠的工作足以彌補過去兩千年中國數學的缺憾。