一水 發自 凹非寺
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中國女數學家首個菲爾茲獎要來了？？
就在最近，數學大佬陶哲軒激動宣佈：
困擾數學家上百年的經典難題——掛谷猜想（Kakeya猜想），被北大校友王虹及哥大數學副教授Joshua Zahl在三維空間中證明了。
根據陶哲軒的科普，三維Kakeya猜想斷言：
一個包含每個方向上單位長度線段的集合（Kakeya集），在三維空間中必須具有Minkowski和Hausdorff維度等於三。（具體下文再詳細展開）
雖然看起來只有一句話，但這個問題卻與調和分析、數論等多個數學分支有著緊密聯絡，因此一直以來吸引了無數數學家競相攻克。
現在，北大校友王虹和Joshua Zahl用127頁論文證明了這一說法。
這事兒馬上在國內引發諸多熱議。
有人表示，一旦上述arXiv預印本透過審稿，憑藉這一突破，王虹成為了2026年菲爾茲獎的熱門人選。
要知道，菲爾茲獎是國際數學界最負盛名的獎項之一，被稱為數學界的“諾貝爾獎”。
它旨在表彰那些在數學領域做出傑出貢獻的年輕數學家（40歲以下）。該獎項每四年頒發一次，通常在國際數學大會（International Congress of Mathematicians, ICM）上宣佈獲獎者。
根據平樂縣宣傳部的一則報道，王虹出生於1991年，如今只有34歲。如果她能夠獲獎，將實現“首位中國籍女性數學家獲菲爾茲獎的成就”。
Kakeya猜想：數學領域的經典難題
首先，Kakeya猜想由日本數學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）於1917年提出，也被稱為掛谷猜想。
這個問題的原型是：
一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊，需要將短棒旋轉一週360°（支點可以變化）。但廁所很小，應當使短棒掃過的面積儘可能小。面積可以小到多少？
轉換成數學表達即為：
當一根無限細的針向所有可能的方向旋轉時，可以掃過的最小面積是多少？
△圖源：Merrill Sherman|Quanta
數學家將這些排列稱為Kakeya集，在三維空間中，Kakeya集包含了從所有方向都能看到的一根短線（單位長度的線段），而三維Kakeya猜想斷言：
即使Kakeya集（R3）可能看起來非常稀疏，因為它們是由一系列的線段軌跡組成的，但其Minkowski維度和Hausdorff維度都等於3。
其中Minkowski維度也被稱為“盒子維度”，透過不斷縮小覆蓋Kakeya集的結構（如使用盒子或球體），可以計算出在不同尺度下覆蓋集合所需的數量與尺度大小的關係。
而Hausdorff維度則更精細，它考慮了更細緻的覆蓋方式，允許使用不同大小和形狀的集合來覆蓋Kakeya集，並透過這些覆蓋的最小化程度來定義維度。
當這兩個維度均為3，從數學的角度來看，這些集合在幾何上與整個三維空間相同，它們在某種意義上填滿了空間的大部分。
換句話說，儘管這些集合的外觀可能非常稀疏，但它們實際上在幾何上具有與整個空間相同的 “體積” 或 “大小”。
以上說法轉換成數學表示式如下：
使用小尺度引數（0<𝛿<1），考慮一個由𝛿x𝛿x1的管子組成的集合𝕋。
這裡的管子可以看作是一種細長的三維幾何體，其橫截面是邊長為𝛿的正方形，長度為1。集合𝕋中的管子數量大致為≈𝛿-2，並且這些管子的指向是在一個𝛿-分離的集合方向上。
所謂𝛿-分離，意味著任意兩個管子的方向之間的夾角至少為𝛿。透過這樣的方式，將連續的、複雜的Kakeya集問題，轉化為對這些離散的、具有特定尺度和方向分佈的管子集合的研究。
而猜想在這種離散化情況下，這些管子的並集U𝑇∊𝕋𝑇的體積應該大約為1。
為了簡化證明過程，論文引入了幾種簡化假設。例如，假設管集合是“粘性的”，即它們在多個尺度上保持相似的結構。
基於此，該領域先前研究集中於形式為下界的研究（集合的最小可能維數）：
具體而言，在三維空間中，對於各種介於 (0 < d < 3) 之間的維數，人們期望d儘可能大。
早期研究中，人們陸續證明了d=1（僅考慮單管）、d=2（結合L2論證與線相交性質）、d=2.5（1995年Wolff梳子論證）的情況。
對維度引數d進行歸納
直到最近，王虹、Joshua Zahl二人證明了d=3的情況。
概括而言，他們採用的證明策略十分複雜，透過引入非聚集條件、Wolff公理、多尺度分析等技術來進行了一系列論證。
這裡我們直接看陶哲軒幫忙總結的關鍵技術環節：
他們證明的總體思路是對維度引數d進行歸納。
他們先定義了一種情況K(d)，目標是透過數學推導，證明對於處於一定範圍的維度引數d，存在一種能從K(d)推匯出K(d+𝛼)的關係，其中𝛼是一個大於0且和d有關的數。
PS：K(d)是指對於所有尺寸為𝛿x𝛿x1、方向為𝛿分隔的約𝛿-2個管子的配置，不等式（1）成立。
透過不斷重複這個推導過程，讓維度引數d逐漸接近3。
具體來說，他們核心使用多尺度分析技術，對於管子的集合及其組織結構進行了深入研究。
他們對粗細管進行了分組，並將細管組合成粗管。因為細管的方向具有特定的分佈性質，所以每個粗管能容納的細管數量是有限的，相應地，要覆蓋所有細管就需要一定數量的粗管。
然後，基於K(d)定義下的不等式，他們計算出了粗管的總體積下限，再結合之前計算粗管總體積的方法和結果，進一步分析出了粗管的一個特殊屬性—— “多重性”。
這是指在粗管佔據的空間裡，管子分佈的一種密集程度或重疊程度。
接下來，透過對粗管裡的細管進行縮放，並再次結合K(d)定義下的不等式，他們得出了縮放之後細管的多重性。
綜合上述粗管和細管多重性的資訊，理論上就能得出所有細管集合的多重性範圍。
結果是，在一種叫做 “粘性”（sticky）的特殊情況下，他們發現得到的結果和一開始想要證明的不等式相符。
這裡補充一下，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此緊密貼合，形成了所謂的 “髮際”（hairbrush）結構。
另外，在處理非粘性情況時，他們引入了 “粒狀化”（graininess）理論，這是對集合內部結構的一種描述，它可以幫助理解集合如何在不同尺度上組織。
由於在 “非粘性” 情況下，粗管和細管的配置出現了不平衡，沒辦法直接使用前面的K(d)，於是他們考慮了一個特殊集合（加厚的Kakeya集）和一個球的相交情況。
如果K(d)成立，那麼這個特殊集合可能會表現得像某種維度的分形；要是這個特殊集合在某個尺度下比預期的更密集，結合這個特殊集合的鄰域體積和球的體積進行分析，就能得到一個新的結論。
而這個結論就是他們期望證明的K(d+𝛼)，這個特殊的密集情況也被看作是一種“Frostman測度違反”。
除此之外，研究還涉及到了對 “Katz-Tao Convex Wolff axioms” 的應用，這是一組描述管子集合行為的假設，它們在證明中作為歸納假設使用。
更多細節可檢視原論文。
16歲考入北大，轉專業來到數學系
這項研究的作者一共只有兩位：王虹和Joshua Zahl。
其中北大校友王虹目前是紐約大學數學系副教授。
她1991年出生於廣西桂林平樂縣，小學期間連跳兩級，16歲時以653分考入北京大學地球與空間物理系，後轉入數學系，2011年獲得學士學位。
2014年獲得巴黎綜合理工學院工程師學位和巴黎第十一大學碩士學位。2019年博士畢業於麻省理工大學，師從Larry Guth。
2019-2021年是普林斯頓高等研究院的博士後成員；2021-2023年在加州大學洛杉磯分校擔任助理教授。
主要的研究方向為傅立葉變換相關問題。
例如，如果我們知道一個函式的傅立葉變換在某些曲線物體上有定義，比如球面，或者在一些“彎曲”的離散點集合上有定義，那我們可以對這個函式做出什麼樣的判斷？如何以一種有意義的方式將這個函式分解成若干部分（這與解耦理論有關）？事實證明，這類問題還與Falconer距離問題和交點幾何學有關，我對這些關聯也很感興趣。
另一位作者為Joshua Zahl。他現在是不列顛哥倫比亞大學數學系副教授。
主要研究方向為古典傅立葉分析和組合學。對交點幾何學、限制問題和Kakeya問題非常感興趣。
論文：
https://arxiv.org/abs/2502.17655參考連結：
[1]
https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631[2]https://sites.google.com/view/hongwang/home
[3]https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/
[4]https://www.zhongkao.com/e/20070917/4b8bc922657ab.shtml
— 完 —
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