一水 發自 凹非寺
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中國女數學家首個菲爾茲獎要來了??
就在最近,數學大佬陶哲軒激動宣佈:
困擾數學家上百年的經典難題——掛谷猜想(Kakeya猜想),被北大校友王虹及哥大數學副教授Joshua Zahl在三維空間中證明了。
根據陶哲軒的科普,三維Kakeya猜想斷言:
一個包含每個方向上單位長度線段的集合(Kakeya集),在三維空間中必須具有Minkowski和Hausdorff維度等於三。(具體下文再詳細展開)
雖然看起來只有一句話,但這個問題卻與調和分析、數論等多個數學分支有著緊密聯絡,因此一直以來吸引了無數數學家競相攻克。
現在,北大校友王虹和Joshua Zahl用127頁論文證明了這一說法。

這事兒馬上在國內引發諸多熱議。
有人表示,一旦上述arXiv預印本透過審稿,憑藉這一突破,王虹成為了2026年菲爾茲獎的熱門人選。
要知道,菲爾茲獎是國際數學界最負盛名的獎項之一,被稱為數學界的“諾貝爾獎”。
它旨在表彰那些在數學領域做出傑出貢獻的年輕數學家(40歲以下)。該獎項每四年頒發一次,通常在國際數學大會(International Congress of Mathematicians, ICM)上宣佈獲獎者。
根據平樂縣宣傳部的一則報道,王虹出生於1991年,如今只有34歲。如果她能夠獲獎,將實現“首位中國籍女性數學家獲菲爾茲獎的成就”。

Kakeya猜想:數學領域的經典難題
首先,Kakeya猜想由日本數學家掛谷宗一(Sōichi Kakeya)於1917年提出,也被稱為掛谷猜想。
這個問題的原型是:
一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊,矢石如雨,而他只有一根短棒,為了擋住射擊,需要將短棒旋轉一週360°(支點可以變化)。但廁所很小,應當使短棒掃過的面積儘可能小。面積可以小到多少?
轉換成數學表達即為:
當一根無限細的針向所有可能的方向旋轉時,可以掃過的最小面積是多少?

△圖源:Merrill Sherman|Quanta
數學家將這些排列稱為Kakeya集,在三維空間中,Kakeya集包含了從所有方向都能看到的一根短線(單位長度的線段),而三維Kakeya猜想斷言:
即使Kakeya集(R3)可能看起來非常稀疏,因為它們是由一系列的線段軌跡組成的,但其Minkowski維度和Hausdorff維度都等於3。
其中Minkowski維度也被稱為“盒子維度”,透過不斷縮小覆蓋Kakeya集的結構(如使用盒子或球體),可以計算出在不同尺度下覆蓋集合所需的數量與尺度大小的關係。
而Hausdorff維度則更精細,它考慮了更細緻的覆蓋方式,允許使用不同大小和形狀的集合來覆蓋Kakeya集,並透過這些覆蓋的最小化程度來定義維度。
當這兩個維度均為3,從數學的角度來看,這些集合在幾何上與整個三維空間相同,它們在某種意義上填滿了空間的大部分。
換句話說,儘管這些集合的外觀可能非常稀疏,但它們實際上在幾何上具有與整個空間相同的 “體積” 或 “大小”。
以上說法轉換成數學表示式如下:
使用小尺度引數(0<𝛿<1),考慮一個由𝛿x𝛿x1的管子組成的集合𝕋。
這裡的管子可以看作是一種細長的三維幾何體,其橫截面是邊長為𝛿的正方形,長度為1。集合𝕋中的管子數量大致為≈𝛿-2,並且這些管子的指向是在一個𝛿-分離的集合方向上。
所謂𝛿-分離,意味著任意兩個管子的方向之間的夾角至少為𝛿。透過這樣的方式,將連續的、複雜的Kakeya集問題,轉化為對這些離散的、具有特定尺度和方向分佈的管子集合的研究。
而猜想在這種離散化情況下,這些管子的並集U𝑇∊𝕋𝑇的體積應該大約為1。
為了簡化證明過程,論文引入了幾種簡化假設。例如,假設管集合是“粘性的”,即它們在多個尺度上保持相似的結構。
基於此,該領域先前研究集中於形式為下界的研究(集合的最小可能維數):

具體而言,在三維空間中,對於各種介於 (0 < d < 3) 之間的維數,人們期望d儘可能大。
早期研究中,人們陸續證明了d=1(僅考慮單管)、d=2(結合L2論證與線相交性質)、d=2.5(1995年Wolff梳子論證)的情況。
對維度引數d進行歸納
直到最近,王虹、Joshua Zahl二人證明了d=3的情況。
概括而言,他們採用的證明策略十分複雜,透過引入非聚集條件、Wolff公理、多尺度分析等技術來進行了一系列論證。
這裡我們直接看陶哲軒幫忙總結的關鍵技術環節:
他們證明的總體思路是對維度引數d進行歸納。
他們先定義了一種情況K(d),目標是透過數學推導,證明對於處於一定範圍的維度引數d,存在一種能從K(d)推匯出K(d+𝛼)的關係,其中𝛼是一個大於0且和d有關的數。
PS:K(d)是指對於所有尺寸為𝛿x𝛿x1、方向為𝛿分隔的約𝛿-2個管子的配置,不等式(1)成立。
透過不斷重複這個推導過程,讓維度引數d逐漸接近3。
具體來說,他們核心使用多尺度分析技術,對於管子的集合及其組織結構進行了深入研究。
他們對粗細管進行了分組,並將細管組合成粗管。因為細管的方向具有特定的分佈性質,所以每個粗管能容納的細管數量是有限的,相應地,要覆蓋所有細管就需要一定數量的粗管。
然後,基於K(d)定義下的不等式,他們計算出了粗管的總體積下限,再結合之前計算粗管總體積的方法和結果,進一步分析出了粗管的一個特殊屬性—— “多重性”。
這是指在粗管佔據的空間裡,管子分佈的一種密集程度或重疊程度。
接下來,透過對粗管裡的細管進行縮放,並再次結合K(d)定義下的不等式,他們得出了縮放之後細管的多重性。
綜合上述粗管和細管多重性的資訊,理論上就能得出所有細管集合的多重性範圍。
結果是,在一種叫做 “粘性”(sticky)的特殊情況下,他們發現得到的結果和一開始想要證明的不等式相符。
這裡補充一下,“粘性”是指在某些尺度下,管子彼此緊密貼合,形成了所謂的 “髮際”(hairbrush)結構。

另外,在處理非粘性情況時,他們引入了 “粒狀化”(graininess)理論,這是對集合內部結構的一種描述,它可以幫助理解集合如何在不同尺度上組織。
由於在 “非粘性” 情況下,粗管和細管的配置出現了不平衡,沒辦法直接使用前面的K(d),於是他們考慮了一個特殊集合(加厚的Kakeya集)和一個球的相交情況。
如果K(d)成立,那麼這個特殊集合可能會表現得像某種維度的分形;要是這個特殊集合在某個尺度下比預期的更密集,結合這個特殊集合的鄰域體積和球的體積進行分析,就能得到一個新的結論。
而這個結論就是他們期望證明的K(d+𝛼),這個特殊的密集情況也被看作是一種“Frostman測度違反”。
除此之外,研究還涉及到了對 “Katz-Tao Convex Wolff axioms” 的應用,這是一組描述管子集合行為的假設,它們在證明中作為歸納假設使用。
更多細節可檢視原論文。
16歲考入北大,轉專業來到數學系
這項研究的作者一共只有兩位:王虹和Joshua Zahl。
其中北大校友王虹目前是紐約大學數學系副教授。

她1991年出生於廣西桂林平樂縣,小學期間連跳兩級,16歲時以653分考入北京大學地球與空間物理系,後轉入數學系,2011年獲得學士學位。
2014年獲得巴黎綜合理工學院工程師學位和巴黎第十一大學碩士學位。2019年博士畢業於麻省理工大學,師從Larry Guth。
2019-2021年是普林斯頓高等研究院的博士後成員;2021-2023年在加州大學洛杉磯分校擔任助理教授。
主要的研究方向為傅立葉變換相關問題。
例如,如果我們知道一個函式的傅立葉變換在某些曲線物體上有定義,比如球面,或者在一些“彎曲”的離散點集合上有定義,那我們可以對這個函式做出什麼樣的判斷?如何以一種有意義的方式將這個函式分解成若干部分(這與解耦理論有關)?事實證明,這類問題還與Falconer距離問題和交點幾何學有關,我對這些關聯也很感興趣。
另一位作者為Joshua Zahl。他現在是不列顛哥倫比亞大學數學系副教授。
主要研究方向為古典傅立葉分析和組合學。對交點幾何學、限制問題和Kakeya問題非常感興趣。

論文:
https://arxiv.org/abs/2502.17655
參考連結:
[1]
https://mathstodon.xyz/@tao/114068378728816631
[2]https://sites.google.com/view/hongwang/home
[3]https://personal.math.ubc.ca/~jzahl/
[4]https://www.zhongkao.com/e/20070917/4b8bc922657ab.shtml
— 完 —
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