數學界不久前迎來一項重大突破：北京大學校友、現紐約大學數學副教授王虹與加拿大不列顛哥倫比亞大學的 Joshua Zahl 共同解決了困擾數學界數十年的三維掛谷（Kakeya）集合猜想。相關成果被數學界泰斗、菲爾茲獎得主陶哲軒在個人部落格上高度評價，並專文詳解，引發學界熱議。
圖丨相關推文（來源：Mathstodon）
一個簡單問題背後的深刻數學結構
Kakeya 集合猜想源於 1917 年日本數學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）提出的一個看似簡單的幾何問題：一根無限細的單位長度針在平面上移動，如果要使針指向每個可能的方向，最小掃過面積是多少？
如果簡單地繞其中心點旋轉，會形成一個圓。Kakeya 最初認為一個三角形狀的“三角洲形”（deltoid）是最優解，其面積是圓的一半。然而，這一猜想很快被推翻。
（來源：Quanta Magazine）
俄羅斯數學家 Besicovitch 在 1919 年證明，透過特殊的排列方式，理論上存在面積為零的集合，其中包含指向每個方向的單位線段。這種構造方法是將三角形沿其底邊分割成更細的三角形片段，然後重新排列這些片段，使它們儘可能重疊但在略微不同的方向上突出。透過無限重複這個過程——將三角形分割成越來越薄的片段，並在空間中仔細重新排列它們——可以使集合的面積任意小。在無限極限下，可以得到一個在數學上沒有面積，但仍然可以容納指向任何方向的針的集合。
這一發現延伸為更一般的猜想：在 空間中，任何包含所有方向單位線段的 Kakeya 集合，其 Minkowski 維數和 Hausdorff 維數均為 。雖然二維情況在 1971 年就被 Davies 證明，但三維及更高維的情況一直是未解之謎。
1971 年，美國普林斯頓大學的數學家 Charles Fefferman 在研究傅立葉變換時，發現了 Kakeya 集合與調和分析之間存在驚人的聯絡。Fefferman 證明，在高維空間中，依賴特定方式選擇頻率的傅立葉重構方法可能會失敗。他的證明依賴於修改 Besicovitch 的 Kakeya 集合構造。
這一發現啟發數學家們發展了一個關於高維空間中傅立葉變換行為的猜想層次結構。如今，這個層次結構甚至包括關於物理學中重要偏微分方程（如薛定諤方程）行為的猜想。掛谷猜想位於這個層次塔的最底層。
1995 年，Thomas Wolff 證明了三維空間中 Kakeya 集合的 Minkowski 維數至少為 2.5。隨後在 1999 年，數學家 Nets Katz、Izabella Łaba 和陶哲軒將這一下界提高到了 2.500000001。儘管改進看似微不足道，但它克服了一個巨大的理論障礙。
隨後，Katz 和陶哲軒提出了一種新的方法來解決三維掛谷猜想。他們假設任何反例（即維數小於 3 的 Kakeya 集合）必須具有三個特定屬性，這些屬性的共存必須導致矛盾。這三個屬性是：
-
“平面性”（planiness）：當線段在一點相交時，這些線段也幾乎位於同一平面上。 -
“粒狀性”（graininess）：鄰近交點的平面具有相似的方向。 -
“粘性”（stickiness）：指向幾乎相同方向的線段在空間中也必須靠近。
Katz 和陶哲軒能夠證明任何反例必須具有前兩個屬性，但無法證明第三個屬性。直覺上，“粘性”集合似乎是強制線段之間大量重疊的最佳方式，從而使集合儘可能小——這正是建立反例所需的條件。
在 2021 年，王虹和 Zahl 決定接手 Katz 和陶哲軒留下的工作。在 2022 年，他們證明了不存在“粘性”的 Kakeya 集合反例。具體來說，他們首先假設存在維數小於 3 的粘性反例，從先前的工作中已知，這樣的反例必須是平面性和粒狀性的。
圖丨Joshua Zahl（來源：Quanta Magazine）
為了獲得所需的矛盾，王虹和 Zahl 將注意力轉向了投影理論的領域。他們首先更詳細地分析了粘性反例的結構，證明隨著針變細，集合變得越來越平面。透過這一過程，他們能夠“提取一個更加病態的物件”。他們證明了這個病態物件必須符合兩種情況之一，這兩種情況都導致了矛盾：
• 要麼可以將其向下投影到二維空間，使其在許多方向上變得更小——這是王虹和她的同事剛剛證明不可能的事情。
• 要麼集合中的針會按照一種特定的函式進行組織，而這種函式 Zahl 和他的合作者已證明不可能存在。
這樣，王虹和 Zahl 獲得了他們需要的矛盾——這意味著不存在粘性反例，徹底排除了數學家們認為最有可能反駁猜想的型別集合。
2025 年的最終突破
首先，最核心的三維掛谷猜想可以表述為：每個三維空間中的 Kakeya 集合都具有 Minkowski 和 Hausdorff 維數為 3。
王虹和 Zahl 的證明首先將問題離散化：考慮一族 的細管（tubes），共有約 個，指向 -分離的方向。Kakeya 猜想等價於證明這些管的並集體積約為 1。
形式化地說，他們定義了兩個關鍵斷言：
斷言 D(, )：對任意 ，存在 使得對於所有 ，如果 是 稠密且滿足 Katz-Tao 凸 Wolff 公理和 Frostman 平板 Wolff 公理（誤差不超過 ），則：
斷言 E(, )：對任意 ，存在 使得對於所有 ，如果 是 稠密，則：
其中 ，分別表示 Katz-Tao 凸 Wolff 公理和 Frostman 平板 Wolff 公理的誤差。
證明的核心策略是實施一種精細的尺度歸納法。王虹和 Zahl 證明了兩個關鍵命題：
命題 1.6：對於 , ，斷言 E(, )等價於斷言 D(, )。
命題 1.7：存在函式 ，使得對於 , ，如果 E(, ) 成立，則 D(, ) 也成立。結合 Wolff 的已知結果（D(1/2, 0)成立），透過迭代這兩個命題，可以證明 D(0, 0) 成立，從而解決掛谷猜想。然後，證明區分了“粘性”和“非粘性”情況。
首先是粘性情況分析：當細管呈“粘性”分佈時，存在尺度 ，使得約 個 – 粗管中，每個粗管包含約 個細管。此時 中管的並集體積滿足：
其次是非粘性情況分析：在非粘性情況下，存在尺度 ，使得有 個 – 管（），每個粗管僅包含 個細管。這種情況下，王虹和 Zahl 引入了複雜的分解技術。
王虹和 Zahl 利用 Guth 的粒狀分解理論，將每個粗管 中的細管 分解成“粒”（grains）—維度為 的矩形稜柱，其中 。
這種分解允許他們定義兩個關鍵量： • ：每個粗管內細管的典型交叉重數
• ：每個點所屬的粗管數量
關鍵不等式：
• ：每個點所屬的粗管數量
關鍵不等式：
對於非粘性情況，他們證明：
-
滿足 Katz-Tao 凸 Wolff 公理，誤差 -
對於每個，集合滿足：a. b. 對於 內任何凸集 ，有
這一結構定理的應用導致了三種情況的分析：
情況 1：。應用斷言 D(, ) 可得：
情況 2：，且 中每個集合厚度 。此時存在尺度 ，使得對於典型點 ，球 與 的交集滿足：$
情況 3：，且 中每個集合厚度約為 。此時粒可被更大的稜柱替代，迭代應用上述分析。
透過上述分析，王虹和 Zahl 證明：若 是使斷言 D(, ) 估計緊的 – 管集合，則存在尺度 和 – 管集合 ，滿足 ，且 和每個（重標）集合 都滿足斷言 D(, ) 的假設，且 D(, ) 對所有這些管排列都是緊的。
迭代應用這一結論，可證明存在一系列緊密間隔的尺度 和覆蓋 的集合 ，滿足。最後，透過 Nikishin-Stein-Pisier 因子化技術，證明若 ，可構造一個新集合 ，由約 個 的隨機平移旋轉副本組成，使得 具有與 相似的多尺度結構，且基數約為 。應用粘性 Kakeya 定理得出： 時斷言 D(, ) 對 緊矛盾，證明了 D(0, 0) 成立，從而完成了 Kakeya 猜想的證明。
或將獲得 2026 年的菲爾茲獎？
透過徹底解決三維掛谷猜想，王虹和 Zahl 不僅解決了一個長期存在的數學問題，還為解決更高維度的 Kakeya 猜想和其他相關猜想提供了新的技術工具和思路。儘管這項工作尚未解決更強的“Kakeya 極大函式猜想”，但已足以證明三維 Kakeya 集合具有最大維數 3。他們的證明還解決了三維空間中的“管道加倍猜想”和 Keleti 的“線段延伸猜想”。而王虹或許也有望因這項成果而得到 2026 年菲爾茲獎。
王虹出生於 1991 年廣西桂林，16 歲考入北京大學，起初就讀地球與空間物理系，後轉入數學科學學院。2011 年獲得學士學位後，她前往法國深造，先後在法國巴黎綜合理工學院和法國巴黎第十一大學獲得工程師學位和碩士學位。2019 年，她在美國麻省理工學院獲得博士學位，隨後在普林斯頓高等研究院完成博士後研究。2021 年至 2023 年期間，她在美國加州大學洛杉磯分校擔任助理教授，目前在美國紐約大學柯朗數學研究所擔任副教授，已獲終身教職。
圖丨王虹（來源：世界華人數學家聯盟）
近年來，她的名字在數學圈內迅速嶄露頭角。年紀輕輕，已經在多個重要數學問題上取得突破性進展，包括 Falconer 距離集問題和 Furstenberg 集猜想，這些都是調和分析和幾何測度論領域的重量級難題。
2022 年，王虹因其傑出的數學貢獻獲得了瑪麗安·米爾扎哈尼新前沿獎，這是突破獎基金會頒發的備受矚目的獎項，之前中國新一代數學家惲之瑋、張偉、許晨陽、朱歆文等人也曾獲得突破獎的相關獎項。這是對她研究成果的重要肯定。
隨著 2026 年菲爾茲獎頒獎日期的臨近，已經有許多人預測王虹將是本年度的獲獎者之一。
圖丨外界對本次菲爾茲獎獲獎者的預測（來源：Manifold）
從歷史上看，解決長期未解決的重要猜想往往是獲得菲爾茲獎的重要依據。目前，王虹解決三維掛谷猜想的工作已經得到了包括菲爾茲獎得主陶哲軒在內的頂尖數學家的高度評價，陶哲軒甚至在自己的部落格上詳細分析了這一突破的重要性和技術創新。
當然，這篇長達 127 頁的論文還需經過嚴格的同行評審，才能最終確認其正確性。數學證明需要環環相扣，一絲疏忽都可能導致整個論證失效。歷史上，雄心勃勃的“證明”最終被證偽的例子並不少見。因此，數學界現在需要的是耐心等待專家們仔細審視這篇論文，確認其是否真正滴水不漏。
如果最終被證實無誤，這將是幾何測度論領域的里程碑式突破，不僅解決了三維掛谷猜想，更可能為更高維度問題提供新思路。更重要的是，它將推動調和分析、分形幾何等相關領域的發展，甚至可能在數論、物理等領域產生意想不到的影響。
在數學界，菲爾茲獎的評選標準除了成果的重要性外，還看重創新性、多樣性和對整個數學領域的推動作用。王虹的工作已經在多個方面展現出這些特質。如果她能在 2026 年獲得菲爾茲獎，將成為繼許晨陽之後又一位獲此殊榮的中國數學家，也將成為歷史上為數不多的女性菲爾茲獎得主，對促進數學領域的性別多樣性具有重要意義。
參考資料：
1. https://arxiv.org/abs/2502.17655
2. https://terrytao.wordpress.com/2025/02/25/the-three-dimensional-kakeya-conjecture-after-wang-and-zahl/
3. https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/
排版：劉雅坤、何晨龍