2023年7月，王虹在母校作學術報告 | 圖源：北京國際數學研究中心
百年前日本數學家掛谷宗一提出了一個趣味性的平面幾何謎題。當把題目中平面的條件推廣至一般的n維空間後，則由此發展出了名為“掛谷猜想”的重要命題。分析學家隨後意識到，掛谷猜想與當代數學領域裡最重大的未解決問題之一緊密相連，故而其成為幾何測度論的核心，為這一新興領域開闢了廣闊的研究空間。
然而，長久以來數學界僅解決了2維空間裡的掛谷猜想，3維空間就像是堅不可摧的堡壘，人類發展至今的數學武器均難竟全功——直到2025年2月末，王虹和約書亞·扎爾發表了一篇震動數學界的論文。
嘉偉 | 撰文
如廁時遭偷襲的日本武士與黎曼積分
——愛德華·卡斯納（Edward Kasner）和詹姆斯·紐曼（James Newman）
這就像是劇透，2025年第二個月份還餘下幾天未過完，數學界彷彿就看到了今年全年度最重要的數學成果：年僅34歲的紐約大學柯朗數學研究所副教授王虹與不列顛哥倫比亞大學的約書亞·扎爾（Joshua Zahl）合作，在預印本網站arXiv上提交了一篇長達127頁的論文，宣告證明了三維掛谷猜想（Kakeya Conjecture）。
王虹和約書亞·扎爾在arXiv釋出的論文預印本，宣稱證明了3維掛谷猜想|圖源：[2502.17655] Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions
掛谷猜想脫胎於著名的轉針趣題。1917年，日本數學家掛谷宗一 (Soichi Kakeya，1886-1947）提出了被後世以他的姓氏命名的著名問題：
在某些圖形中，長度為1個單位的線段（一根針）可以轉過180°，在這個過程中該線段總是保持在該圖形之內，在所有這樣圖形裡，哪種圖形具有最小面積？需要注意的是，沿著線段方向前後移動，此時線段並未掃過任何面積。
據說掛谷的靈感來自遭到偷襲的日本武士，他把武士刀抽象成理想的不佔空間的長針，同時為了方便，把問題限制在2維平面上。掛谷評註道：
日本武士有一把長刀用於自衛，他需要能夠在任何空間內自由地揮舞武士刀，無論空間大小如何一一即使是在茅房裡。
（注：關於掛谷轉針問題的原始表述和相關歷史，不同文獻給出的記錄稍有差異，這裡為了表述方便，採用上海科技教育出版社出版的“發現數學叢書”系列中朱利安·哈維爾（Julian Havil）所著的《不可思議:有悖直覺的難題及其令人驚歎的解答》一書的說法。 ）
掛谷宗一罕見的個人肖像照 | 圖源：東京大學研究生院數學科學研究科珍藏的影像資料
一個半徑為0.5的圓是最容易想到的可滿足條件的圖形，但它顯然不是所有滿足條件的圖形裡面積最小的。
掛谷和他的同事以及其他一些人最初就推測，一個高為1的等邊三角形就是能滿足題中條件、具有最小面積的凸圖形。極有才華和抱負的匈牙利裔數學家朱利爾斯·鮑爾（Julius Pál）從匈牙利波茲索尼（現斯洛伐克首都布拉迪斯拉發）遷居到了丹麥的哥本哈根，並在1921年發表了相關證明，確認高為1的等邊三角形就是滿足掛谷條件的面積最小的凸形。
等邊三角形就是滿足掛谷條件的面積最小的凸形。| 圖源：《不可思議:有悖直覺的難題及其令人驚歎的解答》，第13章
資助鮑爾定居哥本哈根的是數學家哈拉爾·玻爾（Harald Bohr）——物理學家、量子理論先驅尼爾斯·玻爾（Niels Bohr）之弟。極有可能正是這位數學家玻爾向鮑爾介紹了掛谷的轉針謎題。
另一方面，掛谷和早期研究者猜測，對於非凸的圖形，答案指向三尖瓣線。它是內擺線家族中的一個特殊成員。不過不久之後，人們就意識到還有面積更小的圖形。
三尖瓣線丨圖源：Kakeya set – Wikipedia
同樣在1917年，來自俄羅斯的數學家艾伯拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch）解決了一個看似不同的問題。頗具巧合意味的是，貝西科維奇同樣前往丹麥尋求研究職位，而他的主要資助者也是哈拉爾·玻爾。
又過了好幾年，貝西科維奇才聽說了掛谷那個“具有引人入勝的表述直觀性”的謎題，並且提供了一個完全不同尋常、完全出人意料的解答。
1917年，貝西科維奇當時在思考下面的黎曼積分問題：
貝西科維奇為了回答上述問題，構建了這樣一個集合：一個包含了指向所有方向的單位線段，但面積（嚴格來說是勒貝格測度）為0的圖形。
這個集合被命名為貝西科維奇集（Besicovitch set）。因為這種線段集合的存在，所以上述問題的答案是否定的。
今天站在後來人的視角，可以看出這個問題本質上是對實分析中的重要定理——Fubini定理的探索和挖掘。然而數學的魅力往往就在於它的出人意料，在貝西科維奇集上應用所謂的“鮑爾連線”（前文提過的那位鮑爾），竟然可以證明，掛谷轉針問題的答案是：不存在一個面積最小的圖形，因為針掃過的面積可以任意地接近於0。
如此一來，殊途同歸，分析學上的積分問題就和平面上的幾何問題建立起奇妙的聯絡，貝西科維奇集也因此被稱為掛谷集（Kakeya set）。
此外值得一提的是，網路上常見的科普文章，以及一些出版物會犯一個錯誤。很多人誤以為面積為0的貝西科維奇集的存在性本身，可以直接推出“針掃過的最小面積可以是0”這一結論。但是，把指向所有方向的針直接擺放到一起得到的圖形，和把一根針連續旋轉180°掃過的圖形是兩碼事。實際上，針無法從貝西科維奇集裡的一個位置連續地變到另一位置，且使掃過的面積是0。所以才需要“鮑爾連線”的技巧，同時，結論是針掃過的面積可以任意小，但並非為0。
掛谷猜想——從面積到維度
——約書亞·扎爾（不列顛哥倫比亞大學）
構造貝西科維奇集的方法有很多，最經典的是被稱為“佩龍樹”的技巧，它能夠簡化貝西科維奇的原始構造，以奧斯卡·佩龍（Oskar Perron）命名。
想象一個高為1的等邊三角形（還記得這種三角形是最小的滿足掛谷問題的凸形嗎），把它平分，再把兩個直角三角形稍微疊在一起，如下圖。這個新圖形面積比三角形小，但在其中，上面兩個尖角的每個角內都能找出長度≥1的線段。
現在重新開始，把三角形平均分為 8 個，把它們兩兩疊在一起，再兩兩疊在一起，這種圖形就叫作佩龍樹。如果重複這個步驟，把三角形分為 16 個，32 個，……， 2n 個，顯然整個圖形的面積可以越來越小，並且可以證明隨著步驟增長，圖形面積無限趨近於0。
佩龍樹的構造過程 | 圖源：Kakeya set – Wikipedia
這樣掛谷的轉針問題似乎得到了完全的解決。所以這又是一個非常有趣、非常有難度的娛樂性數學問題。但也就僅此而已了嗎？錯！
應用平面上的貝西科維奇集解決了轉針趣題之後，數學家開始關注這個集合本身的性質，尤其是它們的分形維度。
由於它包含任意方向的單位向量，直覺上，該集合的維度不應該小於2。這就是最初的掛谷猜想。事實上對於零測集來說，維數有不止一種定義。總的來說我們用得最多的還是豪斯道夫（Hausdorff）維數和閔可夫斯基（Minkowski）維數。我們這裡只介紹前者。
分形結構（Fractal Structure）
是一種自相似的幾何圖形，即無論放大或縮小多少倍，都能看到相同或類似的形狀。分形結構具有無限的複雜度和細節，常常出現在自然界中，比如雪花、樹葉、海岸線等。
有研究表明，當事物的形態出現某種自我重複的模式時，會在我們的大腦裡喚起輕鬆的感覺，從而降低壓力，讓我們感到舒緩放鬆。人類文明早在懵懂之中，就下意識地學會利用這一特徵：想一想家裡床單、牆紙和窗簾上的圖案。這被稱為“分形流暢性”。原理大概是重複的視覺元素可以降低大腦處理視覺資訊時所用到的運算資源，所以會令人感到輕鬆愉悅。
分形Gosper曲線的自身重複式構造 | 圖源：Fractal curve – Wikipedia
分形的存在維度不是一個整數。我們可以用豪斯道夫維數定義它。不管被測圖形多麼複雜，我們總能用一塊塊半徑為e的小圓形覆蓋（允許彼此部分重疊）住它（因為我們可以用小圓形覆蓋住全平面，所以當然可以覆蓋住平面上的任意圖形）。
演示分形維度的逼近計算方式 | 圖源：Hausdorff dimension – Wikipedia
我們考慮覆蓋住被測圖形的小圓的個數N（e），然後考慮對數運算[LogN(e)/Log(1/e)]，當e趨於0時的極限就是分形的豪斯道夫維數。容易驗證，當被測圖形足夠規整的時候，豪斯道夫維數就是通常意義的維數。
回到掛谷猜想，在經歷了半個世紀的探索後，1971年羅伊·戴維斯（Roy Davies）成功證明，平面上的貝西科維奇集的豪斯道夫維數和閔可夫斯基維數正好是2。由於1維的情況是平凡的，數學家進一步猜測，對於任意正整數n，
在n維歐幾里得空間中，包含所有方向的單位向量的集合，其閔可夫斯基維數和豪斯多夫維數是否都等於n？
這就是掛谷猜想的完整表述。對於3維以及更高維度的情形，它就像是難以攻略的碉堡，阻擋著一代又一代數學家的攻勢。因為n維空間本身肯定包含了所有方向的單位向量，所以這裡的難點其實是高維的貝西科維奇集（掛谷集）——佔據“體積”為0，但又包含了所有方向上單位向量的集合——的維度是否足夠“大”，能夠和空間本身相等。儘管包括托馬斯·沃爾夫（Thomas Wolff）、讓·布林甘（Jean Bourgain，1994年菲爾茲獎得主）、內茨·卡茨（Nets Katz）、陶哲軒等在內的數學家都曾在此領域取得重要的階段性成果，但即便對於n=3這一最簡單的特殊情況，仍是力有不逮。
化無限為有限，掛谷猜想的真正價值
如果你覺得這個簡單，那你就誤解了這個問題。 ——C++語言之父 本賈尼·斯特勞斯特盧普（Bjarne Stroustrup）
雖然對掛谷猜想的研究催生了幾何測度論這一現代數學分支學科，但直到1971年查理斯·費夫曼（Charles Fefferman，1978年菲爾茲獎得主）在論文“The Multiplier Problem for the Ball”中指出該猜想和現代調和分析領域的聯絡之前，數學界普遍把它視作是一個難度超高的趣味性問題——亦即嚴肅性和內涵不足，研究它單純是為了滿足學者的好奇心和欣賞數學純粹之美的審美目的。
其實，注意到1917年貝西科維奇思考的那個積分問題和掛谷轉針問題聯絡在一起，那麼，如果掛谷猜想和現代調和分析裡最重要的課題之間存在聯絡，也不至於讓我們大吃一驚。
按《10000個科學難題·數學卷》一書的說法，掛谷集（貝西科維奇集）與調和分析、數論、偏微分方程等多個分支產生了深刻的聯絡，例如在調和分析的振盪積分理論和Dirichlet級數的分佈中都發揮著重要作用，同時與波動方程解的區域性光滑性有密切聯絡。
實際上，貝西科維奇集的維數資訊將決定一系列數學猜想的生死。這些數學猜想鮮為人知，在公眾輿論中毫無名氣。但在數學家眼裡，它們的重要性絲毫不低於著名的黎曼猜想。可以說，貝西科維奇集的幾何形狀支撐起了偏微分方程、調和分析和其他領域的大量課題。其中最引人注目的是，該猜想是分析學中三大環環相套的中心猜想成立的必要條件。
具體來說，在傅立葉分析裡有所謂的限制猜想和Bochner-Riesz猜想，在更大的領域裡還有區域性平滑猜想。包含和難度遞進關係如下：
掛谷猜想⊂限制猜想⊂Bochner-Riesz猜想⊂區域性平滑猜想
這也意味著，一旦掛谷猜想不成立，則後續幾個猜想全不成立。現代分析學家就可以含淚休息了。
這組數學猜想的重要性本質上源於傅立葉變換的重要性。傅立葉變換可以將幾乎所有函式表示為正弦波的和。它是物理學家和工程師最強大的數學工具，可與其相提並論的或許只有矩陣理論；重要性還要高的，應該就只剩加減乘除四則運演算法則這一類基礎常識了。
傅立葉變換是求解微分方程最主要的工具，也是不確定性原理等量子力學思想背後的數學基礎，同時它在實際應用上也具有無與倫比的價值，在分析和處理訊號方面發揮了重要作用，使現代手機等事物成為可能。
從限制猜想到區域性平滑猜想，各在不同程度上制約了傅立葉變換的“誤差”，所以數學家和工程師肯定更願意生活在這些猜想為真的世界裡，因為在這樣的世界裡，傅立葉變換帶來的“誤差”總是可以“控制”的，起碼不會糟糕到超出預期。
此外，數學家們驚訝地發現，調和分析裡用於上述猜想的技術也可以用來證明看似不相關的數論領域的主要結果（可以推動黎曼猜想的證明）。
水漲船高，當掛谷猜想和分析學的中心課題建立起聯絡之後，也收穫了更多的關注。不過遺憾的是，它太難了。單說n=3時的特殊情況，直到1995年，托馬斯·沃爾夫僅能證明3維空間中的貝西科維奇集的豪斯道夫和閔可夫斯基維數必須至少為 2.5。這一下限很難提高。到1999 年，陶哲軒和合作者才突破了閔可夫斯基維數，得到新的下界：2.500000001。儘管僅僅改進了0.000000001，但它是從無到有的成就。因此他們的論文被《數學年刊》（Annals of Mathematics）刊發，這是數學領域裡四大頂級刊物之一。
在陶哲軒等人的這篇論文之後，再次取得突破的就是本文開頭提及的兩位學者——王虹和扎爾——他們於2022年沿用陶哲軒等人的框架，並創造性地引入投影理論，最終在一類特殊的貝西科維奇集上證明了3維空間裡的掛谷猜想！他們因此被認為是對貝西科維奇集理解最深刻的人。
理解最深刻的人
（選擇研究方向）還是看興趣吧，有興趣就讀，沒興趣也沒必要讀…… ——王虹，紐約大學柯朗數學研究所
2023年7月，王虹在母校作學術報告 | 圖源：北京國際數學研究中心
現年34歲的王虹在16歲時就以高考653分的成績順利地考入北京大學地球與空間科學系。後來出於對數學的濃厚興趣，她轉到了數學系。
在麻省理工學院讀博期間，她師從著名數學家拉里·古斯（Larry Guth，與前面提及的陶哲軒等人一樣，是幾何測度論和分析領域的頂級權威），開始深入研究調和分析領域。於2023年7月起，她在紐約大學柯朗數學研究所擔任副教授。
扎爾則是陶哲軒的學生，他於2013年拿到博士學位。兩人在各個大問題上都做出了極為重要的工作。他們的學術成就，得到了國際數學界的高度認可。
約書亞·扎爾丨圖源：personal.math.ubc.ca/~jzahl/
2020年王虹、古斯和歐雨濛合作推動了Falconer's distance set problem (Inventions)；2023年王虹和Kevin Ren完全解決了Furstenberg set conjecture。而在2020年左右，Furstenberg猜想，做分形幾何的學者還普遍認為這是一個難以解決或者說目前還沒有工具可以解決的問題。今天，王虹和扎爾又宣佈解決了3維掛谷問題；令人忍不住期待完全解答Falconer's distance set problem的一天！以至於去年上半年，就有提名王虹為菲爾茲獎候選人的呼聲。
Furstenberg set conjecture是分形幾何領域內的著名數學難題。具體來說，這個猜想與豪斯多夫維數相關，涉及集合的複雜度和大小。該猜想提出，對於一個集合上的特定幾何結構（如在平面中由直線組成的集合），其豪斯多夫維數必須滿足某種條件。從描述上也能看出來，它和掛谷猜想非常之像。具體而言，如果一個集合在不同方向的投影都具有某種結構，那麼該集合的整體維數應該有一個下限。這個猜想在數學界被廣泛研究，因為它不僅涉及集合論和幾何，還與動力系統和數論等領域有關。
在王虹的論文發表後，預測市場平臺認為其極有可能獲得明年數學界的最高獎項——菲爾茲獎丨圖源：https://manifold.markets/nathanwei/who-will-win-the-2026-fields-medals
王虹和扎爾的最新論文更是篇幅浩帙（127頁）。作者把他們2022年 (Sticky Kakeya sets and sticky Kakeya conjecture) 和2024年 (The Assouad dimension of Kakeya sets in R³) 兩篇文章與這篇一起稱為三部曲。在介紹部分，作者寫到他們的證明是基於並實現了在“Katz-Tao program”框架裡解決掛谷猜想的思路。
由於分析技術處理不了指向所有方向的單位向量，應用調和分析的工具，首先就要把問題離散化。基本思路就是，賦予單位向量一個“寬度”——不再把它們當成理想的無寬度的幾何線段，而是真實的實體針。同時他們計算出貝西科維奇集在集合的向量元素被賦予寬度後，獲得的體積。在比較了寬度與實體針的數值關係後，藉助反證法，可以得到一個矛盾，進而推出猜想是成立的。
實際證明過程中，難免出現一些例外情況，它們的結構是非常“醜陋”的，需要一點點分析。從文章篇幅也可以看出，這個過程並不輕鬆。
如果王虹和扎爾的論文最終透過同行評審，那麼其成果可以說是劃時代的，很多學者認為王虹或將成為首位榮獲數學界最高榮譽——菲爾茲獎的中國籍數學家。考慮到論文起碼需要一年的稽核時間，她在2030年獲獎（彼時尚不超過獲得該獎的40歲年齡限制），筆者認為這個可能性不是一般的大。
在不遠的未來，中國數學家將以其獨到的創新思維和嚴謹的研究方法迅速崛起，逐步在全球數學版圖上佔據舉足輕重的地位。同時，越來越多才華橫溢、勇於突破傳統侷限的女性數學家已經嶄露頭角，她們，如璀璨星辰，用非凡的智慧為世界數學的發展注入源源不斷的新能量。
致謝：感謝美國南密西西比大學丁玖教授和加州理工學院倪億教授對本文提出的若干修改意見。
宣告：原文首發於微信公眾號“返樸”，原標題為“王虹成菲爾茲獎熱門人選，掛谷猜想為何如此重要？”《賽先生》獲得授權轉載。
參考資料：
[1] Hong Wang, Joshua Zahl, The Assouad dimension of Kakeya sets in R³, arXiv:2401.12337
[2] Hong Wang, Shukun Wu, Restriction estimates using decoupling theorems and two-ends Furstenberg inequalities, arXiv:2411.08871
[3] Terry Tao, The three-dimensional Kakeya conjecture, after Wang and Zahl, What's new
[4] Kevin Ren, Hong Wang, Furstenberg sets estimate in the plane, arXiv:2308.08819
[5] 東雲博士不會PDE, 組合學的多項式方法：有限域Kakeya猜想, 知乎
[6] 5歲上學兩次跳級——花季少女16歲考上北大秘訣, 新浪網
[7] Fefferman, Charles. "The multiplier problem for the ball." Annals of mathematics 94.2 (1971): 330-336.
[8] Jordana Cepelewicz, A Tower of Conjectures That Rests Upon a Needle, Quanta Magazine
[9] Jordana Cepelewicz, New Proof Threads the Needle on a Sticky Geometry Problem, Quanta Magazine
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