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印度詩人泰戈爾說：“世界上最遙遠的距離，不是生與死，而是我就站在你面前，你卻不知道我愛你”。這首詩，流傳於世、引起無數人共鳴，即便詩歌本身蘊涵的詩情夢意是違反物理的！的確，物理人是塵世上最精於算計(計算) 的一批人，他們可不這麼認可泰戈爾。他們的信念(當然也包括筆者的信念) 是：時空之間的距離，那就是距離。距離遠了，你我必定相忘於物理江湖，即便是量子糾纏態亦是如此(也有退相干)。
這是什麼意思呢？！先說時間間隔。物理學最有名的“鐵律”是，物理相干效應大多會隨時間而衰減。統計物理中的關聯耦合，隨時間衰減可能更快，甚至會按照e指數規律很快遺失殆盡！能量守恆是時間座標最牛的定律，任憑人少人老，它都是不變的。但是，這裡的能量是系統總能量，它的守恆跟一個單獨物理效應能不能遵從能量守恆是兩碼事！頑固地認為自己的物理世界隨時光流逝會維持能量守恆，本質上違反熱力學第二定律：熱耗散才是最終的能量去處。
再說空間距離。筆者最深切的體會，就是腦海裡對“單分子磁性”坐井觀天式的認識。眾所周知，電磁互作用，對空間距離很敏感。有機分子磁體中，最近鄰(nearest – neighbor, NN) 自旋間距，比起我們經常關注的、典型的無機磁體最近鄰自旋間距，也就不過約長 ~ 0.1 nm。這一差別並不巨大，但兩大類磁體展現出的磁性強弱和有序化溫度高低就很不同。箇中道理，無非是電磁作用對空間距離有很強依賴而已。這種依賴，對力學、熱學、電磁學效應有重要影響。很多時候，這種影響可決定一個系統或材料之“生死”。取一箇中學階段就學過的原子間互作用勢來說明之，如圖1(A) 所示，就足夠了。
圖1. 海森堡經典自旋模型的一些意象。
(A) 電磁互作用對空間距離的敏感依賴，即那個著名的蘭納– 瓊斯勢 (Lennard – Jones potential)。(B) 過渡金屬共價化合物中鐵磁– 反鐵磁互動作用之Goodenough – Kanamori (GK) 規則。(C) 海森堡交換模型中的一些互作用項：海森堡兩自旋互作用Hspin、著名的RKKY 互作用HRKKY、SOC 引發的多種互作用(也用Hspin 表述，包括各向異性、DM 互作用等)。這些互作用都是兩自旋間互作用。
(B) & (C) from X. Li et al (向紅軍課題組), Molecules 26, 803 (2021), https://www.mdpi.com/1420-3049/26/4/803。
正因為此番依賴性，考慮一個固體自旋系統時，物理人透過千錘百煉，達成了某種既定規範認知(關於這一問題，可以閱讀復旦大學向紅軍老師在《Molecules》上發表的一篇科普)：
(1) 作為主體，只要考慮最近鄰海森堡互作用 NN (兩兩自旋作用Si · Sj)，就能將箇中物理刻畫得七七八八！這一考慮，源於堅實的電磁學和量子力學基礎，總是佔據主導作用，圖1(B) 所示是一個例子。
(2) 剩下的二二三三互作用，就歸於那些個次近鄰(next – nearest neighbor, NNN) 互作用、或者最多將那些次次近鄰(second next – nearest neighbor, SNNN) 互作用也考慮進來。於此，如再考慮更遠的互作用，已於事無補或可忽略。注意到，這裡考慮的，也同樣是兩兩自旋作用Si · Sj。由此，一個自旋體系的物理框架就搭建起來。
(3) 如果體系存在很強的自旋– 軌道耦合 SOC，則會出現磁各向異性和 SOC 引發的各種等效互作用。它們依然是兩自旋互作用模式。圖1(C) 所示即為其中若干互作用項。最後，如果存在外磁場，就再加入塞曼能。
到此，一個磁學問題的海森堡哈密頓作用項就基本齊備。
描述磁性兩兩自旋互作用之海森堡模型，可能是最廣為人知的磁學模型。它不但在經典磁學問題中佔據主導，在量子磁性中也被廣泛認可、並行之有效。這種認可，也坐實了兩兩自旋互作用對空間距離的強烈依賴性：考慮最近鄰互作用，就敲定了體系主要的物理。NNN 和SNNN，只是定量含義上的修正與補充項，雖然如此說有粗暴之嫌。
漸漸地，物理人心目中就形成了一種自發式的觀念或習慣：一個自旋體系的物理，描述主體是“兩兩自旋互作用”、是“最近鄰互作用”。這樣的觀念，在有關磁學和經典體系的大量研究中被嫻熟運用、自成一家，被視為理所當然。事實證明，這樣的觀念，對絕大多數磁性體系而言的確是合理的、屢試不爽。不過，如果運用到一些量子材料和量子磁性越來越喜歡去把玩的磁性體系(如這裡要討論的kogome 晶格)，還是存在一些不確定性。那些在量子磁性領域閒逛的物理人，其實很早就意識到嚴峻問題正撲面而來：
(1) 量子磁性體系，其中多重海森堡互作用之相互競爭乃是常態，否則也就不叫量子磁性了，或者不叫阻挫磁性frustrated magnetism了。這種競爭，就如“三個和尚沒水喝”一般，導致所謂的海森堡“描述主體”盡數隱去，留下來供物理人觀測的，主要是一些“小能標”物理及效應。筆者曾多次用這個比喻：所謂小能標世界，就是“山中無老虎、猴子稱霸王”的世界。既然海森堡這大老虎偃旗息鼓，那些平時都悄無聲息的猴子都出來奔跑、演繹出很多通常不多見的物理效應。
(2) 在這些演繹中，放眼望當下量子材料前沿，被關注得最多的小能標物理，讀者一定贊同就是自旋 – 軌道耦合SOC 了。SOC，就是兩自旋問題，儼然已成為物理人去理解k 空間和實空間諸多拓撲量子態、反常霍爾效應、貝里曲率等相關物理不可缺少的元素，似乎正在形成“新物理就是 SOC 物理”的局面。這樣的一家獨大局面，其實不被物理人喜歡。幸虧，最近一些年出現了另一個被關注的物理：Kitaev 互作用及其對量子磁性(如自旋液體) 的操控。多家鼎立的局面，才讓物理人感受到變化及豐富的景觀。注意到， Kitaev 直接與超導電性和量子計算等前沿物理聯絡起來，其丰度若香飄四溢。事實上，量子材料有大量相關的理論與實驗，都從SOC 或Kitaev 視角去闡明各種效應背後之物理，讓人感受到它們的巨大成功。現在，物理人不得不對SOC 或Kitaev 物理之威風八面由衷佩服和認可^_^。
問題是，難道在那麼一大簇海森堡互作用已被很好隱匿起來的量子磁性體系中，就只有SOC 和Kitaev 這兩隻“猴子”了？！其實，物理人心裡明白：量子材料之所以能在當下凝聚態物理中承擔主角，就是因為其中小角色眾多、猴子眾多，“你方唱罷我登場”。針對不同體系，總能有一些原來海森堡互作用唱主角時無法嶄露頭角的配角出來站臺。這些配角已然早就存在，只是很少被關注。Ising 是外行，但也嘀咕幾句：
(1) 遙遠即在眼前：雖然自旋互作用對時空距離那麼依賴，但熟悉量子磁性的物理人都明白，存在很多體系，其NN 與NNN、SNNN 之間誰強誰弱難以區分。說得更直白一些，即不同空間對稱的晶格體系中，NN 互作用對可能遠不止一對，或者NNN、SNNN 互作用之間的間距非常接近。如果這樣的體系存在，預期會有新的物理效應出現。本文取標題“遙遠即在眼前”的第一層意涵，就在這裡：原本那些遙遠的次近鄰 NNN、次次近鄰互作用 SNNN，一下子就到了眼前。
(2) 高階即在眼前：自旋間海森堡互作用，不管是最近鄰 NNN，還是NNN 或SNNN，都是兩兩互作用、是初階互作用。這裡的自旋對，透過軌道交疊或雜化而交換耦合。它們足夠強大，主導了自旋體系的物理。不過，物理人也都知道，自旋系統之間除了兩兩互作用外，還存在高階的多自旋互作用 (higher order exchanges)，雖然它們一般比兩兩互作用要弱。在量子磁性中，當那些初階的、兩兩互作用透過阻挫而一定程度上互相抵消之後，高階自旋互作用就拋頭露面。本文取標題“遙遠即在眼前”的第二層意涵，即那些原本稀少“見到”的高階互作用，也一下子就到了眼前。
可以稍微詳細一些描述此兩重“遙遠即在眼前”。
所謂兩兩互作用中的 NN、NNN 和 SNNN，在不同對稱性晶格中有不同表述。以二維晶格為例，旋轉對稱性很高的六角晶格和平面kagome 晶格，具有最多的 NN、NNN 和SNNN，其中海森堡自旋阻挫程度最強烈。除了那些因強面外磁各向異性導致的面外鐵磁性體系外，面內磁結構就會是高度阻挫的結果，難以形成常見的長程共線鐵磁或反鐵磁序。一些罕見的、非共線(non – colinear)、甚至非共面(non – coplanar) 局域反鐵磁構型或clusters 會展現出來。此時，那些自旋漲落 (自旋波物理) 和低能激發態、SOC 互作用、電聲子耦合、手性物理等都可能露出猙獰。
圖2. 典型kagome 點陣 (A) 和拓撲量子化合物Mn3Sn 的 kogome 結構(B)。
(A) from S. Pal et al, arXiv:1810.03935v1。(B) from https://phys.org/news/2020-09-kondo-physics-antiferromagnetic-weyl-semimetal.html。
這裡，特別要提及的是 kagome 晶格，如圖2(A) 所示。它原本是基於三角晶格演化而來，即沿面內三個互成120o 夾角的主軸方向間隔去掉一個格點，由此構成三角晶格與六角蜂窩晶格 (honeycomb) 交替巢狀的奇特密排晶格結構kogome。沿三個主軸方向的晶格週期，變成了原三角晶格週期之兩倍。如果將其中的鍵合看成剛性連線，這一點陣依然與三角晶格類似，無法形成collective 晶格畸變，平移對稱性被嚴重限制。此時，海森堡長程交換耦合的可能性降低很多，雖然電子可能還是巡遊的。如此物理特徵，是kagome 點陣能出現豐富物理效應的根本原因。Ising 也曾經寫過科普文《Kagome 是黑白還是中庸》、《物理文章若染塵：又是kagome》，展示了其中萬千變化之一，有興趣讀者可御覽其中一二。的確，最近幾年圍繞這一主題展現出的諸多研究高潮，其中一個典型化合物就是本文要涉及的Mn3Sn，其結構如圖2(B) 所示。
如前提及，這些所謂高階互作用，不是新概念，只是之前較少被人關注！依仗不同的自旋結構，自旋互作用可不限於兩兩自旋對之間(即海森堡互作用)，電子在晶格間巡遊時波函式的交疊可覆蓋於多個自旋，因此會出現所謂的高階互作用。例如，早在1960 年代，前輩物理人就提出高階互作用的想法。到1970 年代，已發展出一些理論，如考慮不同近鄰(NN) 格點之間的三自旋、四自旋互作用，被統稱為高階互作用。圖3(A) 所示，即取自1979 年一篇文獻：可以看到，兩格點、三格點和四格點之間的高階四自旋互作用項，都是可能的。
圖3. 高階自旋互作用的幾種情況。
(A) 四自旋互作用，分別介於兩個格點(雖然是兩個自旋Si和Sj，但互作用項是四次方項)、三個格點(Si, Sj, Sk)、四個格點(Si,Sj, Sk, Sl) 之間。由此看出，海森堡兩自旋互作用的哈密頓中包含的所謂單粒子自旋各向異性(Si)2，實際上亦是兩自旋互作用項。(B) kagome 點陣中可能會很顯著的高階自旋互作用示意。看圖說話即可猜想到，因為存在多重最近鄰NN、次近鄰NNN 格點，這些兩兩自旋互作用會是簡併的(一重簡併有2 個自旋、二重簡併有4 個自旋、依次類推)，高階自旋互作用就可能變得很強。Ising 以為，不言自明的物理內涵是：如果晶格結構存在高對稱性(三角、六角、kagome 等)，簡併或近似簡併的 NN、NNN 或 SNNN 互作用就越多，高階自旋互作用就可能更顯著。圖中畫出來的互作用項是四自旋互作用的幾種形式：兩格點四自旋– B、三格點四自旋– Y、四格點四自旋– K。(C) 一個包括了海森堡自旋互作用和高階多自旋互作用的模型哈密頓：第一項是海森堡兩自旋互作用項，第二項是兩格點(ij)四自旋互作用項，第三項是三格點(ijk)四自旋互作用項，第四項是四格點(ijkl)四自旋互作用項。
(A) from J. Adler et al, J. Phys. C 12, 575 (2979), https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0022-3719/12/3/023。(B) & (C) from C. Singh et al, npj QM 9, 43 (2024), https://www.nature.com/articles/s41535-024-00657-z。
很顯然，這樣的高階互作用項進入到體系哈密頓中，一定會產生多重非共線非共面的局域或長程自旋構型，一定會導致非共線、非共面反鐵磁材料中經常出現的量子新效應，因此絕對值得探索。那些由此引發的巨大反常霍爾、巨大貝里曲率(Berry curvature)、渦旋(vortex)、手性(chirality)、非平庸拓撲準粒子(skyrmions)、鐵軸 (ferroaxial)、磁單極(monopole)、交錯磁性(altermagnetism) 等物理，都成為量子材料的前沿和亮點。從這個角度看，原來透過在海森堡哈密頓中加入 SOC 相互作用 (如 DM 兩自旋互作用) 或 Kitaev 兩自旋互作用項來解釋的、諸多量子磁性新現象和新效應，現在又有了一個兄弟(dual components)：物理人也許可用這些高階自旋互作用項的物理，來進行解釋或描述？！
果若如此，量子磁性、拓撲物理和量子材料也許會有另外一重天地和世界？誰知道呢！無論如何，這樣的可能性只要有，就值得探索。基於前面的討論，物理人至少會覺得，在諸如kagome 點陣和honeycomb 點陣這樣的2D 高對稱晶格體系中，高階自旋互作用正在變得重要。
不論Ising 這些胡亂猜想是否有道理，來自印度國立科學研究院(National Institute of Science Education and Research) 的Ajaya K. Nayak 博士領導其團隊，與日本東京大學固體物理研究所知名學者Masashi Tokunaga 教授(https://www.u-tokyo.ac.jp/focus/en/people/people002359.html)和澳大利亞核科院(Australian Nuclear Science and Technology Organisation) 的同行一起，對此問題進行了探索。他們研究的物件就是圖2(B) 所示的、知名的kagome 反鐵磁化合物 Mn3Sn，研究工作從幾個不同視角展開(製備、表徵、計算)，似乎較為充分地揭示出高階四自旋互作用在決定若干量子新效應中起到關鍵作用。他們將最近取得的結果刊登在《npj QM》上，引起關注。
對Mn3Sn 這一體系，物理人最近幾年開展了大量研究，形成了如下基本認知：
(1) 這是一個典型的、層狀kagome 晶格結構。面內Mn 自旋呈現120°非共線三角形反鐵磁構型，如圖 3(A) 所示。透過電子或空穴摻雜，有可能引入面外弱鐵磁性。確立這一體系磁結構基態，具有重要意義。
(2) 很容易看出，Mn3Sn 中三角形反鐵磁會形成所謂八極序(cluster octupole order)，從而打破時間反演對稱性，產生一系列讓物理人趨之若鶩的拓撲量子物理效應，包括：外爾半金屬節線態(Weyl nodes)、巨大反常霍爾效應(large anomalous Hall effect)、巨大自旋霍爾效應(large spin / inverse spin Hall effect)、電控霍爾態翻轉、Kondo 物理等。
(3) 正因為Mn3Sn 作為一個量子磁性體系有突出表現，物理人有要將其妝扮得更好的希望，是可以理解的。其中關鍵一招，就是進行載流子摻雜以提升其效能，特別是溫度特性：不管有什麼好效能，溫度低了就沒法應用。
過去幾年，物理人對這一體系進行了電子或空穴摻雜，包括不同格點替代、磁結構和電子能帶結構表徵。這是標準操作，取得了很多結果：磁結構對這種摻雜有很強響應，室溫以下出現了從螺旋磁結構、到弱鐵磁性、再到類玻璃態等物態的豐富磁相變。此外，還有一些更為豐富的局域磁結構(magnetic bubbles) 正在展現。
再一次強調，這些不同磁結構，會導致不同的量子凝聚態效應。因此，對這樣一個既高度變化而又頭緒複雜的體系，去理解其中磁性形成和演化的微觀機制就變得重要。放在過往，物理人自然而然會去討論 SOC 範疇下的各種互作用、甚至是 Kitaev 機制。但是，對 Mn3Sn，Nayak 博士他們認為情況有所不同。導致這些載流子摻雜引入的磁結構變化背後的機制，可能是高階自旋互作用所致。
他們透過分析 Mn3Sn中可能的高階互作用項，如圖3(B) 所示，構建了描述這一體系的哈密頓，如圖3(C) 所示。基於這一模型分析，他們合成了多晶和單晶樣品，用常規量子磁性(拓展到近60 T 的超高磁場)、熱力學表徵、中子散射表徵、霍爾輸運測量表徵和標量自旋手性(scalar spin chirality, SSC, χijk = Si ‧ (Sj × Sk)) 分析，對不同非共線、非共面磁結構及其對應的能帶結構進行了分析，並與系統的霍爾輸運測量結果比對，確立了高階自旋互作用項起到重要作用的claims！
圖4. Nayak 博士他們對摻雜Mn3Sn 體系霍爾效應的部分測量結果。
不妨將這一分析程序梳理總結成如下幾條：
(1) 如前所言，在實驗觀測到Mn3Sn 存在巨大反常霍爾效應的結果後，物理人都是基於兩自旋互作用物理去分析能帶拓撲結構。最常見的做法是分析面內DM 相互作用，看看它如何導致自旋非共線、如何匯入八極序。實驗觀測到，對所有不同電子摻雜的樣品，反常霍爾效應在很寬溫度範圍內都很顯著，意味著 DM 互作用的強弱與電子摻雜基本無關。事實上，在此寬溫度範圍內，不同載流子摻雜的磁結構卻發生了很大變化，包括磁相變。很顯然，這裡的磁結構演化，不是、或者不全是 DM 互作用導致。
(2) 更深入的磁結構分析顯示，若干電子摻雜樣品顯示的非共面磁結構是中心對稱的，也就是說這些體系的磁結構雖然是非共線、非共面的，但卻不存在層間 DM 互作用(no inter – plane DM interaction)，從而給高階自旋互作用誘發非共線、共面自旋結構提供了動機。
(3) 理論計算顯示：在Mn3Sn 中，高階四自旋和六自旋項會導致非共面磁結構，也是大貝里曲率 (包括實空間和 k 空間貝里曲率) 和大霍爾效應的來源。因此，在其中觀測到貝里曲率物理及量子效應並不奇怪。
(4) 特別值得指出：實驗資料分析顯示出，以Mn3Sn 為代表的非共線非共面反鐵磁體所展示的實空間貝里曲率，竟然是可操控的，並可透過標量自旋手性SSC [χijk = Si ‧ (Sj× Sk)] 來測度這種操控強弱，令人印象深刻。圖4 為部分資料展示。
作為讀書筆記，Ising 以為這一工作的定量細節和影像細節未必那麼重要。重要的是，這一工作提供了量子磁性“遙遠即在眼前”的另一類物理實現：超越SOC，反鐵磁量子磁性可在諸如三角、六角蜂窩和kagome 這樣的晶格中，透過形成非共線、非共面形態，由此引入強高階自旋互作用(higher order exchanges)。這一實現，在一定程度上堪比SOC 物理，讓量子磁性背後的“精彩紛呈”透過另外一種方式呈現給我們。
最後，插入兩句Ising 個人的妄評：作為讀者，我們對印度物理人撰寫的論文有一種印象，即他們發表的很多文章claims 會略勝實際結果，從而讓論文更為open。不過，這一工作卻顯得不大一樣：資料紮實系統、分析較為厚重，但作者們似乎並沒有致力於大量的claims。這樣的工作，是值得讚賞的。
雷打不動的結尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請諒解。各位有興趣，還請前往御覽原文。原文連結資訊如下：
Higher order exchange driven noncoplanar magnetic state and large anomalous Hall effects in electron doped kagome magnet Mn3Sn
Charanpreet Singh, Sk Jamaluddin, Subhadip Pradhan, Ashis K. Nandy, Masashi Tokunaga, Maxim Avdeev & Ajaya K. Nayak
npj Quantum Materials 9, Article number: 43 (2024)
https://www.nature.com/articles/s41535-024-00657-z
備註：
(1) 筆者 Ising，任職南京大學物理學院，兼職《npj Quantum Materials》編輯。
(2) 小文標題“Kagome磁性：遙遠即在眼前”乃感性言辭，不是物理上嚴謹的說法。這裡只是引起讀者關注：我們習慣上用最近鄰兩兩互作用物理去描述磁性，但高階磁性、次近鄰、次次近鄰耦合的物理也是很重要的。這裡的“遙遠即在眼前”，乃是一種雙關說辭，以向泰戈爾致敬！
(3) 文底圖片拍攝於春天：春之初(20240206)。小詞 (20240103) 原本描寫媽媽教小童讀書，而小童春心在外面的世界。這裡，類比於物理人對未知世界探索的童心，就如Ajaya K. Nayak 他們這般。
(4) 封面圖片來自Ajaya K. Nayak 他們的文章，展示了高階自旋互作用的意涵和世界，很直觀形象。
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