海歸學者發起的公益學術平臺
分享資訊，整合資源
交流學術，偶爾風月
蒼漭向東，西岸接天際
聖蓋博山陰、新堆砌
飛來海耳百年興，一幕幕、密立根春事
物工程、化生醫、巡星系
費曼風流生奈米
蓋曼三聲成粒子
莫道不奢華、方寸地
往來噴氣卡門街，似平常、更似珍稀異
書本上、論壇中、凡塵裡
詩詞註解：
(1) Caltech位於洛杉磯東北部聖蓋博山 (Mount. San Gabriel) 腳下小鎮帕薩迪納。
(2) 這裡是錢學森先生的故地，也是大科學家密立根 (基本電荷測定)、鮑林 (化學鍵)、安德遜 (正電子)、費曼、蓋曼 (亦翻譯為蓋爾曼，夸克)、馮·卡門 (航天火箭) 等人執教之處。當代著名物理學家阿列克謝·基塔耶夫 (Alexei Kitaev, 量子自旋液體Kitaev model) 在此任教。Caltech 全校學生 2000，教授 300，校友和教師中有 75 人次獲得諾獎。
(3) 海耳：將 Caltech 從 Throop 大學改造而來的天文學家 George Ellery Hale。他是 Caltech 的主要創立者。
(4) 密立根：為將 Caltech 建設成世界物理學研究中心做出了卓越貢獻。
(5) 物工程、化生醫、巡星系：Caltech以數理、工程、化學生物醫學、航空航天等理工學科為主體，以基礎科學和工程應用兩大方面蜚聲國際。
(6) 生奈米：學界一般認為費曼是奈米科學的始作俑者。
(7) 三聲：基本粒子“夸克”的命名乃蓋曼取自《芬尼根徹夜祭》“為馬克檢閱者王，三聲夸克”。
(8) 噴氣卡門街：航天航天和流體力學中的那個著名 (馮·卡門) 噴氣卡門渦街，也喻指校園雖普通卻無處不是珍奇豔異。
(9) 加州理工的聲名無需在此羅列佐證，以“書本上、論壇中、凡塵裡”即足夠流傳於世。
引子
當一個學科發展到可以用感性之“美”去度量時，其他學科基本就沒有了與之媲美競爭的地位。從筆者這比較 low 的審美水準看，自然科學各大分支學科中，還是物理學最具美感。這麼說，最根本的依據是，物理學的骨架，乃以簡潔優雅的數學去描述物理世界。這一點，讓物理學以無與倫比之清晰、簡潔著稱於世，非其他學科可平視而不仰望。
印證這一“狂妄”觀點的證據很多。其中之一是，對一個物理問題，或對一“虛空”物理觀念，物理人喜愛構建或提出一個模型，不管這模型是數學結構層面的表達，還是微觀物理層面的表述。它們多富於理想化，攝取了現實世界最主要的特徵，並能在複雜性和簡潔優美之間取得足夠好的平衡。隨後，如果這一模型可嚴格求解，則其中的物理世界就一目瞭然！這是不可方物之“美”！
筆者姑且“近水樓臺先得月”或“坐井觀天”，從自己最熟悉的模型開始：Ising 模型。從數學形式和結構看，Ising 模型抓住了物理最簡單的邏輯：兩態 (0 / 1) 問題！她自然簡潔優美，且在空間維度 d = 1 和 d = 2 的格子中可嚴格求解。由此，Ising 模型得以在描述物理世界的程序中攻城略地，一切都至善至美一般。
當然，這種攻城略地，依筆者這喜歡“調侃”的老毛病來看，乃因為兩態之分是人類智慧中能夠描述變化的最簡潔之分，而並非因為模型本身很貼近實際世界及其變化。因此，諸如 Ising 模型這種模型，乃“陽春白雪”有餘、“下里巴人”不足。為何如此說呢？一個模型描述的物理，距離現實世界之遠近，是可以被一些很簡單的邏輯來衡量表徵的：該模型有無更加微觀的、現實的物理機制來支撐？！如果有，則“距離”現實世界不會遠，有可能做到定量化，是好物理。如果無，則“距離”尚很遙遠，做不到定量化，雖然模型所揭示的物理影像可以是清晰合理的！
最近鄰互作用的 Ising 模型，與現實世界就有不小距離。以圖 1 所示的物理和相關事實出發：(1) 對一維格子 (d = 1)，最近鄰距離與次近鄰距離差一倍，意味著一維模型比較接近現實世界中那些 d ~ 1 的體系，模型有可定量化的意涵。當然，現實世界中 d = 1 的格子其實很少。(2) 在 d = 2 和 d = 3 的格子裡，最近鄰與次近鄰的距離就沒有那麼大差距，因此最近鄰 Ising 模型只是一種近似。(3) 果若讀者對電磁學稍有些瞭解，就能明白忽略次近鄰其實不那麼理所當然，因為電磁勢能與距離成反比，而不是與距離的幾次方成反比，衰減得沒有那麼快。
事實上，Ising 模型的定量意涵，在 d = 2 和 d = 3 格子裡從來就沒有明晰過。真的要定量於現實世界，就需要拓展到次近鄰之上。而一旦拓展，則模型的嚴格求解就變得難以為繼，雖然數學形式依然很優美！
所以，一個簡潔優美的模型，如果嚴格可解，那算得上是“簡潔優美”，但未必是真實世界的“簡潔優美”。這是簡潔優美的“第一重意涵”！
圖 1. 不同維度空間 Ising 模型及其有序化溫度 Tc和磁矩 m 的解。
(A) 一維自旋鏈 (d = 1)；(B) 二維正方晶格 (d = 2)；(C) 三維立方晶格 (d = 3)。(D) 三個維度中，d = 1 和 d = 2 模型都有嚴格解；d = 3 模型嚴格解至今還未得到，這裡給出的是數值解。注意，本文討論的 Ising 模型，都只考慮了最近鄰互作用 (nearest-neighbor interactions)，因此是對現實體系的一種近似描述。特別是 d = 2 和 d = 3 的體系，這種近似可能需要斟酌，定量意涵不足。
進一步，如果一簡潔優美模型，能超越“陽春白雪”而靠近實際，並依然嚴格可解，那就是“理中龍鳳、物之珍奇”了。這樣的模型，自然也有一些。很多年前，著名物理學者 Rodney J. Baxter 曾寫過一本名著“Exactly solved models in statistical mechanics”。其中就討論過既優美亦較接近實際的可解模型若干。
在這方面，筆者很熟悉的另外一個物理模型，也屬於此，雖然在普適性和重要性方面此模型要比 Ising 模型差很遠。呈現於此，無非是有一定典型意義而已。
在多鐵性物理中，磁電耦合的唯象理論是基於對稱性發展起來的。唯象理論說：如果磁性序參量 m 和鐵電序參量 p 之間能以某種同時滿足時間反演對稱與空間反演對稱的模式結合，則磁電耦合就存在。那位上世紀的物理聖人朗道，就提出過簡潔模型，簡潔得粗暴直接：寫一個磁電耦合自由能 FME ~ α·m2·p2就是了！其中 α 是磁電耦合係數。讀者可看到，時間和空間的座標反演操作，不改變自由能的形式。而 m 和 p 兩個序參量，可從簡單的熱力學中求解出來。很顯然，這一模型表達足夠優美簡潔，坐實了“第一重意涵”，也即這一唯象模型是簡潔優美的。
可能是朗道名聲太過顯赫的緣故，後來者似乎很少去懷疑這一耦合模型的效應是否彰顯。物理人圍繞這一唯象形式，洋洋灑灑提出過多達五類以上的微觀機制以支撐之，試圖使其更加接近現實世界，邁向“第二重意涵”。可惜的是，這些機制並未接受嚴格的實驗檢驗，甚至未曾有足夠定量的計算驗證。更進一步，這一模型考慮的是一個四階耦合項 (m2p2)，其磁電耦合 if any 實在太微弱。自 1950 年代後，磁電耦合研究有半個多世紀幾乎在原地踏步，與模型只停留在“第一重意涵”有關。
時光到了 2005 年前後，供職於荷蘭格羅寧根大學的知名理論學者 Maxim Mostovoy，依據 Tsuyoshi Kimura 的實驗發現，提出了那個新的、三階而非四階的磁電耦合項，催生了所謂的“第 II 類多鐵性”。相關物理影像展示於圖 2。這一唯象模型的嚴格解很容易得到，亦簡潔優美，顯著拓展了這一領域繞圈圈多年的物理人之思路，是本世紀初磁電耦合研究取得巨大進展的主要推手。更有甚者，在同一時段內，傑出理論學者 Naoto Nagaosa 領導的團隊完成了基於自旋 – 軌道耦合 (spin – orbital coupling, SOC) 的所謂“虛擬自旋極化電流”微觀理論，為 Mostovoy的優美模型奠定了微觀物理基礎。大概半年之後，橡樹嶺實驗室的 Elbio R. Dagotto 教授提出了更為直截了當、基於 DM 互作用 (Dzyaloshinskii – Moriya interaction, DMI) 的微觀機制，也使得 Mostovoy 唯象模型更加完備。
所以，一個簡潔優美的模型，如果嚴格可解，且還有現實世界的微觀機制作支撐，則此模型無疑是足夠“簡潔優美”的，具有超越“第一重意涵”的“第二重意涵”！
圖 2. 第 II 類多鐵性“簡潔優美”的唯象模型及其微觀機制支撐。
(A) Maxim Mostovoy 提出的唯象模型。對一非共線磁結構 m(x, y, z)，空間傳播波矢為 q、三個磁矩分量為 (m1, m2, m3)，自旋最近鄰互作用 J、次近鄰互作用 J'，滿足 J' > – J / 4。Mostovoy 的貢獻，在於提出這一唯象的磁電耦合三階表示式 (1)。藉助簡單的數學運算 (2) ~ (4)，即可得到磁致鐵電極化 p 的表示式，其方向與 e3和 q 組成的平面垂直。(B) Nagaosa 針對多鐵性稀土錳氧化物而提出的、基於 SOC 效應的微觀機制，為 Mostovoy 唯象模型奠定了微觀基礎。
From M. Mostovoy, PRL96, 067601 (2006)；Katsura et al, PRL 95, 057205 (2005)。
量子自旋液體 QSL
到此，筆者在本文希望兜售的物理研究之境界，就比較明晰了：最好的物理，是具有足夠“第二重意涵”的物理模型！做到這一點，就算做出了一些物理之“美”。任何物理人，如果能碰到這樣的“美”，就值得去解讀和學習。正是基於此，筆者寫就這篇讀書筆記。
事實上，物理研究，在今天這樣的鐵幕時代，具有“第二重意涵”的漂亮工作依然存在，雖然很是難能可貴。這裡，筆者想展示一個量子材料的故事，顯示物理人前赴後繼的精神。故事很好，但有筆者有意無意“編撰”的成分，讀者姑且讀之。
故事的主題，即量子自旋液體態 (quantum spin liquid, QSL)。在筆者之前撰寫的諸多文章中都有提及這一主題，如《自旋液體，深淺自知》。網際網路上也有大量相關文章，似乎都有點太“千篇累贅”了。有關這一物態的原委，讀者當然需要參閱專業著作或文獻。如果只是瞭解其中一些熱鬧，則看看這些短文也就夠了。
簡單地說，QSL，乃是一種絕對零度下依然完全無序的自旋液體態。但它與各態歷經 (滿足遍歷性 ergodicity) 的順磁態有區別。後者沒有空間關聯糾纏，而 QSL 則存在特定的量子關聯。作為一類量子基態，其低能激發可能是超導和量子計算所追逐的各種新物態。正因如此，物理人對其展開了高強度追逐。《npj QM》置身其中，刊登了很多相關文章。
過去若干年，追逐 QSL 之路有幾條：
(1) 實驗探索。在多年自旋阻挫研究基礎上，物理人獲得了若干 QSL 潛在材料體系。不過，雖說屢有斬獲，但確定性結論不多，皆源於這樣的事實：當前凝聚態物理研究，其物件都是可測量的序參量及其對外場的響應。QSL 很遺憾與此無緣，至少一階序參量中不包含 QSL 的特徵量，因此對 QSL 的可靠實驗鑑定變得極為困難。也就是說，實驗要確認一個體系是否為 QSL，不是很容易的事情，如果不是不可能的話。
(2) 理論構建。那些天才理論物理人從不同視角和起點出發，構建了不少描述 QSL 的理論，包括安德森那個著名的 RVB (resonating valence bond) 理論。這一理論認為空間的一對電子，會按照自旋單態而動態關聯，形成的疊加態就是一種 QSL 態。他聲稱這一 QSL 態就是高溫超導電子配對的母體。RVB 的低能激發，被認為是超導電子配對態的雛形，區別於 BCS 理論的電聲子配對機制。
(3) 可解模型。鑑於實驗探索的難度，也鑑於理論構建的諸多挑戰和看起來不夠 solid 的假設，物理人最喜愛和擅長的模型構建就後來居上，成為探索 QSL 的第三條道路。其中最著名、實際上是唯一被廣泛關注的模型，即 Kitaev 模型。
圖 3. 在二維蜂窩點陣中定義的 Kitaev model。
(A) Kitaev 定義於蜂窩點陣中各向異性的最近鄰耦合 S (or σ) = 1/2 量子自旋模型。每個六邊形的六個頂角算符之積，構成六自旋算符乘積 Wp = 1 or -1，其中 Wp = -1 代表了一種 Z2渦旋激發。(B) Kitaev 模型哈密頓，沿三個主軸 (x, y, z) 方向定義互作用 (Jx, Jy, Jz)。(C) 模型嚴格解得到的相圖。如果自旋各向異性耦合強度 (Jx, Jy, Jz) 之一佔主導時 (位於外三角形某個頂角附近)，體系就是有能隙的任意子 (anyons) 態。當 (Jx, Jy, Jz) 三項相當時 (位於綠色填充的中心三角區)，體系是無能隙的 Majorana 費米子激發態。
From https://quantum-cyborg.github.io/2022/12/24/Physics/Kitaev%20Honeycomb%20Model/；https://zhuanlan.zhihu.com/p/659329750。
Kitaev 模型和 Yao-Lee 模型
所謂 Kitaev 模型，乃是任教於加州理工的 Alexei Kitaev 教授針對 QSL 提出的一個理想化的、被認為只是“玩具”性質的量子自旋模型。模型定義在一個二維蜂窩點陣 (honeycomb lattice) 中，如圖 3 所示。它展現了三個主軸上自旋相互作用的高度各向異性。當然，Kitaev 展現了高的數學技巧，將這一自旋模型嚴格求解出來，預言了相圖中間區域存在一個很寬的無能隙 QSL 區域 (即那個深綠色區域)。
無論如何，QSL 總算有了一個可嚴格求解的模型港灣。Kitaev 模型於 QSL 的重要意義和研究概覽，筆者也寫過幾篇讀書筆記，如《Kitaev量子自旋液體的至親》、《Kitaev 物理的電極化調控》、《襲擾 Kitaev 規範場》。讀者閒暇時可點選御覽，以明瞭 Kitaev 模型的價值。需要特別指出，首先，這個模型的確是理想化的“玩具”模型。大部分拘泥於現實世界的物理人，很難會聯想到這樣奇特的Kitaev自旋互作用形式，即便是對 SOC物理十分熟悉的物理人，亦很難聯想到。其次，這一模型，必定來自於對物理有高度洞察力的學者之手。筆者甚至相信，Kitaev 應該是先洞察到這一 QSL 態的存在之後，才去構建滿足這個態的模型哈密頓。此乃大師風範，令人歎服！
無須諱言，到目前為止的探索，都展示 Kitaev 模型與現實物理之間存在不小的 gap。的確，模型引入的 Kitaev 互作用項 (K-term) 已被“證實”存在於世，典型載體就是 α-RuCl3。不過，南京大學李建新 / 溫錦生他們在基於 α-RuCl3所構建的 K – Γ 模型中，發現 K-term 不算是絕對主導項。此外，還有一些物理人在其它體系推演出 K-term，都相對偏弱，不是主導項。有些研究擬合得出的 K-term，明顯偏大而被後續工作矯正。也就是說，現實世界可能並不存在純粹的 Kitaev 模型體系，正如不存在純粹的 Ising 模型體系一般。
話說回來。Kitaev 模型雖是陽春白雪，但其卓越與偉大之處，卻是可以這樣表述的：如果說 Ising 模型是掌控有序物理的“如來”，那麼 Kitaev 模型就是掌控無序物理的“如來”。它們都很理想化，在現實世界中它們像“如來”一般，法力無邊卻鮮有出手，也即具備了足夠深度的“第一重意涵”。
從這一意義看，果若 Kitaev 模型是“如來”之手，如果要普照塵世、去普渡現實以造福萬物，就需要走向“第二重意涵”。事實上，有很多物理人在嘗試從這第一重走向第二重。其中一個嘗試，乃是姚宏與李東海兩位老師在加州伯克利大學時合作提出、並得到了嚴格解的 Yao-Lee 模型。
(1) Yao-Lee 模型，首先是二維 Kitaev 模型向準二維、甚至三維體系的拓展。米國亞利桑那州立大學理論學者 Onur Erten，曾經將 Yao-Lee 模型應用到以 CrI3這類 vdW 雙層體系為載體的魔角和 Moire 超晶格中，獲得了 Yao-Lee 模型框架下的 QSL 相圖，令人印象深刻。
(2) 從 Kitaev 模型即可看出，導致 K-term 出現的微觀機制，無非是那些關聯體系中過渡金屬離子具有較強的 SOC，從而將自旋與軌道自由度耦合起來。這一物理，看起來等價於蜂窩晶格中沿 (x, y, z) 三個主軸的化學鍵合，假借於 SOC 而表現為某種贗自旋 (pseudospin) 互作用 (bond – dependent spin – orbit entangled pseudospin interactions)。這就解釋了為何會出現圖 3 所示的那般奇特 K-term。
(3) Yao-Lee 模型當然有其深邃物理考量和演生效應 (在此不論)，但依筆者粗淺理解，這一模型實際上是將 Kitaev 模型中原本透過 SOC 繫結在一起的自旋自由度和作為贗自旋引入的軌道自由度 (spin – pseudospin bonded) 拆分開 (spin – pseudospin separated)，寫成兩個作用項之耦合，如圖 4(A) 和 4(B) 所示。這樣的拆分，使得物理人可以各自相對獨立地去調控 spin 和 pseudospin。調控的自由度一下子就多了起來。
(4) 這樣的拆分，也有可能使得 Yao-Lee 模型更靠近現實物理，畢竟這裡的自旋和基於軌道的贗自旋，都可以各自定義和操控了。重複一遍，spin – pseudospin separated 的 Yao-Lee 模型，也是可嚴格求解的。所以，相比於 Kitaev 模型只是處於“第一重意涵”層面，Yao-Lee 模型就實現了部分超越，只是這一超越距離“第二重意涵”還差一步：尚無來自現實世界的微觀物理機制去支撐 Yao-Lee 模型的拆分。
(5) 依據上述描繪，看起來物理人已可樂觀地靠近 Yao-Lee 模型了。如果物理就這麼簡單，那敢情好。其實不然，熟悉固體物理的讀者可能知曉，那個著名的 K-K 模型 (Kugel – Khomskii model) 就是將同一過渡金屬離子中的自旋和軌道自由度拆分來處理的，與這裡的 Yao-Lee 模型有數學形式上的相似性。或者說，Yao-Lee 模型是這個 K-K 模型的某種推廣拓展。在 K-K 模型中，軌道自由度被當成海森堡自旋自由度，與電子關聯 U 有關。在 Yao-Lee 模型或 Kitaev 模型中，軌道自由度是作為贗自旋呈現的，是 bond – dependent 的，需要鍵合兩端的離子透過電荷躍遷 (charge hopping) 來實現。這是 K-term 存在的物理本質。因此，SOC 在 Yao-Lee 模型中就變得特別重要、不可或缺。感興趣的讀者，可御覽圖 4 及圖題描述。
圖 4. 量子自旋液體 QSL 的 Kitaev 模型及推廣。
(A) Kitaev 模型的哈密頓，其中自旋算符 {Siγ} 沿圖 3(A) 所示的蜂窩點陣三個主軸方向 γ = (x, y, z) 定義。現實物理中，這樣的自旋算符似乎不大可能存在，所以需要額外物理機制來實現。一種可能，是來自強 SOC 的過渡金屬 d 離子本身：一方面，點陣中過渡金屬離子之間透過 d 軌道沿 (x, y, z) 三個方向形成鍵合 (spin – pseudospin bonded)；另一方面，每個離子的 SOC 又將軌道與自旋繫結在一起。這樣的物理，完全依賴過渡金屬離子本身，既要強 SOC，又要三個互成 120°的化學鍵都同時參與自旋耦合，所以 Kitaev 模型不得不寫成 (Siγ · Sjγ) 的形式。很顯然，一旦材料選定，自旋和軌道兩個自由度實際上就合併為一個自由度，調控空間很狹小。
(B) Yao-Lee 模型的哈密頓形式。雖然姚宏和李東海老師賦予模型以深刻的物理，但筆者膚淺粗暴認為這一模型實際上就是“唯象”地將自旋和軌道兩個自由度“強行”拆開 (spin – pseudospin separated)，再寫成 (Si· Sj) 和 (Tiγ· Tjγ) 兩項乘積 (即又將它們耦合起來 ^_^)。至於這麼拆分背後的微觀物理依據是什麼，他們似乎也沒有在文章中深入討論。
(C) 美女學者 Hae-Young Kee (HYK) 教授提出的新機制：體系中含有過渡金屬離子 M (含 d 軌道) 及與其近鄰鍵合在一起的陰離子 A (含 p 軌道)，而 p 軌道一般難以含有強 SOC。當然，透過合適選材，有些很重的 A 離子也可有較強 SOC (強度為 λ)，從而將體系劈裂出 j = 3/2 和 j = 1/2 兩個能級。後者 j = 1/2，可等效為 1/2 量子自旋，對應於 Yao-Lee 模型中的贗自旋項 (Tiγ· Tjγ)。過渡金屬離子 M 的自旋 (Si · Sj) 與陰離子 A 的贗自旋 (Tiγ· Tjγ) 的耦合，則透過在 M 之 eg能級與 A 之 p 軌道 j = 3/2 / j = 1/2 能級之間躍遷 (tpdσ) 來實現。至此，Yao-Lee 模型中的 (Si· Sj) 和 (Tiγ· Tjγ) 分別由 M 離子和 A 離子承擔，不再被繫結在一起，材料設計和調控自由度一下子就寬廣起來。
(D) HYK 她們提出的、實現 Yao-Lee 模型的微觀實現途徑。其中 M 離子的 d 軌道與 A 離子的 p 軌道的耦合，被紅色曲線標記出來。
構建 Yao-Lee 模型的微觀基石
如上物理影像，當然不是筆者描繪的，乃是來自加拿大多倫多大學那位知名的美女學者 Hae-Young Kee 團隊 (簡介可見：https://kee.physics.utoronto.ca/) 最近取得的一項成果。Hae-Young 在量子磁性、非常高超導和拓撲量子物理這些“量子材料”主流領域，都取得過突出成就，是一位十分活躍的理論物理人。
Hae-Young 與姚宏教授似乎師出同一門下，應該對 Yao-Lee 模型十分熟悉。她為這一模型構建了一類現實體系中可以存在的微觀機制，以作為 Yao-Lee 模型的微觀基石 (physical basis)，看起來順理成章。她們還真的完成了這一工作，文章刊登在最近的《npj QM》上，引起同行關注。
行文到此，筆者作為外行就不再有能力可將其中“簡潔優美”的物理展現出來。不過，可以推測，如果這一基石是紮實的，Yao-Lee 模型就從“第一重意涵”躍遷到“第二重意涵”了。筆者囫圇吞棗，將 Hae-Young 她們文章的學習體會梳理成幾點，呈現如下 (筆者對體會的錯誤和淺薄不負責任)：
(i) Yao-Lee 模型既要有高度阻挫的自旋互作用，又要有 bond – dependent 的 K-term，還要能對它們獨立操控。好吧，那就只好藉助新機制：假設有體系，包含過渡金屬離子 M 及與其鍵合在一起 (bond-dependent)、包含 p 軌道的陰離子 A。注意到，離子 A 的p 軌道有一定的 SOC。
(ii) 基於合適的體系選擇，A 離子藉助自身 SOC (強度為 λ) 劈裂出 j = 3/2 和 j = 1/2 兩個能級，其中 j = 1/2 就是等效量子自旋。至此，贗自旋 (Tiγ · Tjγ) 就被構建出來。過渡金屬離子 M 的自旋 (Si · Sj) 與陰離子 A 的贗自旋 (Tiγ · Tjγ)，則透過 M 之 eg能級與 A 之 p 軌道能級之間躍遷 (tpdσ) 來實現。注意到，這種躍遷，妥妥地貢獻了 K-term，致使 Kitaev 物理被引入進來。
(iii) 在這一基石中，(Si · Sj) 和 (Tiγ· Tjγ) 分別由 M 離子和 A 離子承擔，不再被強行繫結在一起。材料設計和調控自由度變得寬廣起來。
(iv) 透過細緻的經典和量子模擬計算，Hae-Young 她們建立了基於 K-K 模型的微觀理論，為 Yao-Lee 模型奠定了紮實的微觀物理基礎。而在選材方面，她們預言，那些包括有 d9 / d7、且能夠與重配體陰離子配位成鍵的過渡金屬量子磁性體系，很可能會展現較強的 Kitaev 物理。果若如此，當然是功德之事，也促成了 Yao-Lee 模型走向“第二重意涵”。事實上，2018 年前後，劉慧美博士與合作者完成的、對過渡金屬 Co基氧化物 (Co-d7) 體系的預測，似乎很好映射出這“第二重意涵”的影子。注意到，劉慧美也是一位年輕的女性理論物理人，與Hae-Young 相映成趣，似乎顯示女性學者在 handle 這些量子材料精細問題時有一些優勢？！
當然，筆者以為，這樣的一款 Yao-Lee 模型基石，最終未必真的容易建成。畢竟，具有較強 SOC 的 p 軌道陰離子，是稀有之物。只有那些很重的陰離子及其基團，才有可能觸及這些要求之一二。其次，這樣的體系，還要有很強的阻挫物理性質，對可選體系範圍施加了很大限制，不易實現。
雷打不動的結尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請諒解。各位有興趣，還請前往御覽原文。原文連結資訊如下：
Microscopic roadmap to a Kitaev-Yao-Lee spin-orbital liquid
Derek Churchill, Emily Z. Zhang & Hae-Young Kee
npj Quantum Materials 10, Article number: 26 (2025)
https://www.nature.com/articles/s41535-025-00744-9
備註：
(1) 筆者 Ising，任職南京大學物理學院，兼職《npj Quantum Materials》編輯。
(2) 小文標題“構造“姚–李”量子自旋液體”乃宣傳式的言辭，不是物理上嚴謹的說法。這裡只是略帶感性地呈現韓裔加拿大女理論學者 Hae-Young Kee 教授如何從現實的微觀世界出發，去構造姚宏和李東海老師提出的量子自旋液體模型 (Yao-Lee model) 的物理基礎。
(3) 小詞 (20250410) 原本描寫三月訪問加州“微型”知名高等學府加州理工學院 (California Institute of Technology, Caltech) 的感受，這裡用以致敬任教於 Caltech 的 Alexei Kitaev 教授。文底圖片來自筆者拍攝的 Caltech 風景 (20250320)。
(4) 封面圖片來自文獻 PRB 89, 235102 (2014) 和 PRB 97, 014407 (2018)。後者是年輕女性學者劉慧美博士的工作。
媒體轉載聯絡授權請看下方
![[Brookline]2室1廳，高階公寓！近BU，包水暖，無中介費，八月入住！](https://i.dignews.cc/apiv1/http%3A_%7C__%7C_mmbiz.qpic.cn_%7C_mmbiz_jpg_%7C_lnIH1BYwLP0Ssfib6n8Yd0dvkiaMicq9yonKEzLlic9EP81AUTWyciblwjG3gfGPZkk6M81rUyxJ3FMiax0JWVk7EQcw_%7C_0%3Fwx_fmt%3Djpeg.jpg)
