職業數學家在民間
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一，
DeepSeek這兩天非常非常火，很多人都在使用，也有不少人非常看好，甚至有人開始宣稱這是國運級別的科技成果。
那麼，DeepSeek究竟達到什麼樣的智慧水平呢?
驗證一款人工智慧模型最有效的辦法就是測試它的數學推理水平，也就是數學證明的能力，這方面，我是很有發言權的，兩年前GPT-4.0橫空出世，轟動全球的時候，我就設定了七道數學證明關卡測試它的數學證明水平，發現它的數學證明水平還非常一般，屬於非常初級的階段。測試文章連結：我為ChatGPT4.0設定了七道數學證明關卡，猜猜它會闖過第幾關？？
今天，我也打算用同樣的方式測試DeepSeek的水平，在介紹這七道數學證明關卡前，先要簡單介紹一下素數的概念。素數是指大於1，且不能分解成兩個更小的正整數乘積的正整數。例如：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 和 31 都是素數。但是 4，6，8，15，21和 24就不是素數，因為，4=2×2；6=2×3；8=2×4；15=3×5；21=3×7；24=3×8。
二，
好了。我們的第一個關卡是
第1關，證明存在無限多個素數！
這大概是數學中最有名的證明的，用的是反證法，證明過程很簡單，甚至連不少數學愛好者都會證明。所以我想這個應該不會難到DeepSeek。
第2關，4n+3型素數是指被4除餘數為3的素數，比如7，11，19，23。證明存在無限多個4n+3型素數！
這個證明和第一個證明的方法幾乎是一樣的，但需要一點點更靈活的運用，所以這個證明也會難一些。
第3關，4n+1型素數是指被4除餘數為1的素數，比如5，13，17，29。證明存在無限多個4n+1型素數！
和第一個第二個證明一樣，這第三個證明也是用反證法，構造矛盾的方式也有些類似，但是更復雜，需要用到二次剩餘理論。所以這第三個證明的難度已經明顯加大了。
第4關，令k是一個大於2的整數。證明存在無限多個kn+1型素數！
和前三個證明相比，這第四個證明的難度又明顯加大了。因為這個結論比較一般，而且還要用到分圓多項式的構造及其性質。這個漂亮的證明最早出現在E. Wendt, 1895年發表在 J. Reine Angew. Math. 上的論文中，在華羅庚的《數論導引》中也有這個證明。
第5關，令k是一個大於2的整數。證明存在無限多個kn-1型素數！
這第五個證明和第四個證明難度大致相當，不過還是會難一些，因為涉及到了比分圓多項式更復雜的一類多項式的構造及其性質。這是第二個證明結論的推廣。關於這第五個證明，可以參考T. Nagell的《Introduction to Number Theory》或者我本人釋出在美國數學月刊的文章《Infinitely Many Primes in the Arithmetic Progression kn − 1》
第6關，令a和b是兩個互素的正整數，證明在等差數列{an+b}中存在無限多個素數！
這就是大名鼎鼎的Dirichlet定理，這個定理的標準證明需要用到解析數論中的Dirichlet函式。Dirichlet定理是前面五個證明結論的推廣，所以運用Dirichlet定理就可以直接推匯出前五個結論。
第7關，n^2+1型素數是指能寫成平方數加1的形式的素數，比如5=2^2+1，17=4^2+1，37=6^2+1都是n^2+1型素數。證明存在無限多個n^2+1型素數！
這是數論中一個非常困難的猜想，目前的人類數學水平根本無法撼動，如果現有的最新人工智慧模型能證明這個猜想，那整個數學界將被徹底顛覆。
三，、
DeepSeek能闖過第幾關呢？？？
讓我們拭目以待！！
至此，第一關，順利透過！
至此，第二關，順利透過！！
第三關DeepSeek通關失敗了！
注意兩年前GPT4也是敗在第三關，也是和DeepSeek一樣試圖照搬第二個證明，到後面無法自圓其說了。
前面說過，這個證明是不能照搬前面的證明的，需要用到二次剩餘理論，當年GPT4的整個證明過程中都沒提及二次剩餘理論，而DeepSeek一開始就講了二次剩餘理論，還給出了相關的預備知識，但是後面的證明居然不懂得使用這些預備知識，還是和GPT4一樣照搬第二個證明。
不過，當我點選DeepSeek左下的深度思考之後，再問這個問題，DeepSeek經過深度思考之後，居然給出了正確的證明，順利透過第三關！
第四關，哪怕是經過漫長的深度思考，DeepSeek還是通關失敗了！給出了一個有明顯漏洞的錯誤證明：
這個證明其實需要用到分圓多項式，在漫長的深度思考中，DeepSeek也多次提到了分圓多項式，但是最終的證明卻沒用到分圓多項式。我讓DeepSeek自己指出證明中的錯誤，令人驚訝的是，它居然能細緻檢查每一步，然後真的找出證明的錯誤之處，就是整除結論的不當使用！最後DeepSeek還給出了一個修正的證明，就是直接運用狄利克雷定理推導。
接下來，我讓
DeepSeek
給出一個不依賴於
狄利克雷定理，令我震驚的是，DeepSeek真的給出了一個正確的證明，不過它自己也指出，這個證明僅僅適用於k為素數的情況
接下來，我要求它給出一般情況的證明，經過深度思考後，DeepSeek真的給出了正確的證明梗概：
但這個證明只是一個梗概，裡面分圓多項式的性質還需要詳細說明，但是多次提問之後，我發現DeepSeek根本無法嚴謹說明這些性質，所以，我認為這裡已經觸及DeepSeek數學證明水平的天花板了！
也就是說，這第四道關卡，正是DeepSeek目前數學證明水平的天花板！！
總之，相比較兩年前的GPT4，DeepSeek的數學證明水平確實有了實質性的提升，尤其令我讚歎的是，DeepSeek的深度思考過程都可以展示出來，透過觀察DeepSeek的深度思考過程，我感覺它確實有一定的數學證明推導思考能力，但是面對有專業門檻的數學證明還是顯得非常吃力，它的數學證明水平還是處在比較初級的階段。
另外，GPT4是國外兩年前就公佈的人工智慧模型，國外目前最新的人工智慧模型到底達到什麼水平，真是非常令人好奇！
也許不少成年讀者離開學校已經多年，對數學已經非常陌生了，所以看不懂這篇文章中的數學內容，不過任何時候都可以重新開始學數學，有這個打算的成年讀者我推薦下面兩本書自學數學，其中《中小學數學要義》是講初等數學體系，《數學學習沒有捷徑》是講學習方法。讀過這兩本書就可以自學高等數學了，《數學學習沒有捷徑》中專門有一章內容講高等數學自學指南：
最後，給大家拜年，祝大家新年快樂！