提問！「抽象代數」是什麼？
你的腦海裡也許會蹦出一堆枯燥的公式和符號。其實，數學也可以像藝術一樣，充滿美感與智慧。這門「高冷」的學科，在數學話題優秀答主@雜然賦流形的回答下變得生動有趣，一起來看看吧！
怎麼讓不懂數學的人體會到抽象代數的魅力？
|答主：雜然賦流形
音樂。
音樂和數學看上去是截然不同的兩個領域，但它們之間有千絲萬縷的關係。早在古希臘時的畢達哥拉斯學派就已經研究了音程與數字比例的關係，提出了「 五度相生律 」。而在 1739 年尤拉還曾撰寫過一本書《新音樂理論的嘗試》（Tentamen novae theoriae musicae），試圖把音樂和數學結合在一起。在 2006 年 Science 上也有一篇利用非歐幾何來研究和絃轉換的文章 [1] 。
關於音樂和數學的關係在知乎上有很多討論了，但可能讓人出乎意料的是，音樂和抽象代數之間也有聯絡（我認為是同時瞭解基礎樂理和抽象代數的人太少了），這一點在巴赫和勳伯格的作品裡都有一點體現，例如巴赫的螃蟹卡農裡也運用了逆向對稱性。
我們可以來看幾個更具體的例子[2]，你會發現「 抽象 」代數其實並不抽象。
一、十二平均律
對於一個樂音體系，一個八度中的七個音高都設有名稱，即音名。
最常用的是英國式音名 C D E F G A B，和大眾所熟知的義大利式音名 Do Re Mi Fa Sol La Si 是一一對應的，即 C = Do, D = Re, E = Mi, F = Fa, G = Sol, A = La, B = Si。
以鋼琴為例，這些音名在琴鍵上的位置如下圖所示：
鋼琴鍵盤上的五十二個白鍵，在相應的位置上迴圈使用這七個音名，每高或低八度則重複音名，即白鍵音名順序依次是：C D E F G A B C D E F G A B ……
而相鄰的兩個琴鍵（包括白鍵和黑鍵），都構成半音，如上圖中的 C 和 C♯ 。隔開一個琴鍵的兩個鍵，都構成全音，如上圖中的 F 和 G。這裡的 ♯ 是升號（一種變音記號），代表將基本音級升高半音。類似的還有降號、重升號、重降號、還原號，如下圖所示：
而十二平均律是現今最主流的音律系統 [3] ，其他常見的還有純律，以及前面提到過的五度相生律。它是把一個八度音程平均分成 12 個對數等距音高的律制，即相鄰音高之間的頻率比相同，等於 ¹²√2 ，即 2 的 12 次方根。
在鋼琴鍵盤上，十二個音級對應一組 12 個鍵（見上圖中的 7 個白鍵和 5 個黑鍵），每個半音的頻率比為 r = ¹²√2 ≈ 1.05946。這樣，一個八度的頻率關係是 r ¹² = 2 ，即每升高 12 個半音，頻率恰好翻倍。
一個八度音程裡的十二個音級分別為
接下來讓我們回到數學中。
從群論的視角來看，音級的名稱就可以視為一個迴圈群，因為升高 12 個半音後會回到相同的音名上（即八度關係）。因此，十二平均律的音名集合可以被描述為模 12 的整數加法群 Z12，即
其中不同元素表示不同音級（ 例如 C = 0 ，C ♯ = 1，D = 2,…, B = 11 ），加法表示音程疊加（例如，對應 C + 7 = G, 對應 7 半音），而模運算確保音名迴圈。
引入 Z12 的好處就是，它可以解釋很多音樂理論中的概念，例如：
1. 移調：構造對映 Tn：Z12→Z12，其中Tn（x）：=（x + n）mod12
2. 轉位：構造對映 In：Z12→Z12，其中In（x）：=（-x + n）mod12
3. 如果我們把十二個音名分別畫出來，放在正十二邊形的頂點上，構成一個音類圓周。那麼 Tn 實際上是讓音類圓周繞中心進行旋轉，而 I n 代表沿過音類圓周中心的對角線的反射。
顯然
Tn
，
I n
的操作集合保持此正十二邊形不變，因此它們構成了
二面體群D 12 。
4. 在 Z12 群中，我們可以將和絃視為一個子集，例如 C 大三和絃 { 0 , 4 , 7 } 以及 c 小三和絃 { 0 , 3 , 7 }。既然我們有了一個子集，就可以利用群作用的一些概念和性質來分析和絃以及和絃轉換。例如 I 0 作用到 C 大三和絃會得到 f 小三和絃，I0 { 0 , 4 , 7 } = { 0 , 8 , 5 } 。
5. 傳統大調（ C 大調：{ 0 , 2 , 4 , 5 , 7 , 9 , 11 } ) 可以透過模 12 加法迴圈產生不同的調式，例如 Dorian 調式、Phrygian 調式，這些變換操作可以視為是 群 Z12 的迴圈子群。
6. and so on……
二、五度圈
在十二平均律下，所有音程都由固定的半音數決定。例如，五度（純五度）對應於頻率比為 3 : 2 或非常接近 3 : 2 的一對音高的音程[4]，由於 r7≈ 1.4983, 那麼在十二平均律中，純五度 = 7 半音。
具體來說：
-
純一度 = 0 半音；
-
小二度 = 1 半音；
-
大二度 = 2 半音；
-
小三度 = 3 半音；
-
大三度 = 4 半音；
-
純四度 = 5 半音；
-
增四度 / 減五度 = 6 半音；
-
純五度 = 7 半音；
-
小六度 = 8 半音；
-
大六度 = 9 半音；
-
小七度 = 10 半音；
-
大七度 = 11 半音。
-
純八度 = 12 半音。
由七個基本音級（ C D E F G A B ）構成的調——C 調，叫做基本調。由基本調開始向上，按照純五度關係連續相生（ 即每個音級向上移動 7 個半音），依此可以得到 G 調、D 調、A 調、E 調……等新調。
我們把各大調按照純五度關係依次排列，順時針代表上行純五度，逆時針代表下行純五度，這樣我們就得到了著名的五度圈 [5]，如下圖所示
五度關係意味著每個音向上移動了 7 個半音，在我們第一節引入的模 12 的整數加法群 Z12中，這操作其實就代表著加 7 取模 12，即 T7 。由於五度圈裡覆蓋了所有的十二大調、十二小調，沒有遺漏，所以T7生成的群也是一個 12 階的迴圈群 C12 ，它和 Z12 是同構的。
這一點可以從群論角度理解，由於 7 和 12 互素，即 gcd（ 7，12 ）=1，它同樣可以生成整個十二階迴圈群。另一方面，由於 gcd（ 13，12 ）=3，gcd（ 4，12 ）= 4 ，於是由小三度關係和大三度關係不能生成所有的大調、小調，它們生成的實際上是 Z12 的迴圈子群。
三、新黎曼理論與 PLR 群
如果單單止步於此那也沒什麼值得稀奇的，畢竟迴圈群在我們生活中隨處可見。
但在調性音樂中，不同和絃之間的變換可以用數學方法來分析。一個重要的理論分支是新黎曼理論 [6]（Neo-Riemannian theory），其中最重要的內容是 PLR 轉換模型和音網。相比於傳統的調性分析，新裡曼理論更強調和絃之間的區域性關係。
在新黎曼理論中，三和絃之間有三種基本轉換方式，分別為：
-
P ( Parallel )：平行變換，將大三和絃的三音向下移動半音，或是將小三和絃的三音向上移動半音，例如
𝑃 ( 𝐶 − m a j o r ) = 𝑐 − m i n o r -
L ( Leading-tone exchange ) ：導音交換，將大三和絃的根音向下移動半音，或是將小三和絃的五音向上移動半音，例如
𝐿 ( 𝐶 − m a j o r ) = 𝑒 − m i n o r -
R ( Relative )：關係變換，將大三和絃的五音向上移動一個全音，或是將小三和絃的根音向下移動一個全音，例如
𝑅 ( 𝐶 − m a j o r ) = 𝑎 − m i n o r
注意 ，𝑃 , 𝐿 , 𝑅 變換的任意組合作用在大三和絃上的效果與作用在小三和線上的效果是相反的。具體用公式寫出來，它們實際定義了三和絃 𝑆 到三和絃 𝑆 的對映，即
這裡的
這些變換都基於音網的概念（最早是尤拉在 1739 年寫的那本書裡創造的）。在音網中，連線線將小三度、大三度或純五度音程關係連線起來，橫向音依據純五度音程相連，斜向音以小三度音程或大三度音程相連。
每三個角位置的音構成大或小三和絃，以其中兩個角的音不動為軸進行三角形的翻轉，就得到另外的小三和絃或大三和絃，從而完成了三和絃的轉換，這即是新裡曼主義理論的核心觀念 [7]。
和絃之間的變換就可以對應到音網裡的移動。例如，從一個三和絃出發，經過六次變換後，最終會回到起點和絃，形成一個正六邊形。
一個現代版本的音網例子如下圖所示，
注意在十二平均律體系中，音網並不是無限拓展的。
由於邊界兩端是相同音名的，我們可以在水平方向兩端連線相同音名，在豎直方向兩端也同樣連線相同音名，這樣我們就得到了一個環形音網，它的形狀和我們所熟知的甜甜圈是一樣的。
除了這些，音樂理論學家還提出了更復雜的幾何音網（例如嵌入到更高維空間），用於理解音樂和數學的深層聯絡，但這些不在我們今天討論的範圍裡，感興趣的讀者可以自行查詢相關資料學習。
繼續回到數學中來，
一個比較容易觀察到的事實是 P , L , R 操作的集合構成了一個群（因為它只會使得 24 個三和絃彼此互相轉化），我們稱它為 PLR 群。
如果我們從 C 大三和絃出發，交替使用 L , R 變換，可以得到以下三和絃序列：
這實際上就告訴我們 PLR 群至少有 24 個元素我們 PLR 群至少有 24 個元素 R , LR , RLR , … , R（ LR ）11，且（ LR ）12 = Ⅱ。另一方面，從 P ,L ,R的數學定義來看，我們很容易可以證明：
tst = L（LR）=RL = S-1
這些和二面體群 D12的生成元滿足的代數關係是一致的。所以 PLR 群實際上同構於D12。
回想一下我們在第一節裡已經證明了 Tn，In 的操作集合構成了二面體群D12 。如果我們考慮 T / I 群和 PLR 群作為置換群 S24 的子群，我們還可以發現更美妙的事情：
-
T / I 群的中心化子是PLR 群；
-
PLR 群的中心化子是T / I 群。
這說明 T / I 群和 PLR 群是對偶的！
如果我們考慮 24 個三和絃構成的集合S， T / I 群和 PLR 群 的對偶性實際上是在說明以下圖是交換的：
這些結論的證明都是相當容易的，但卻比較乏味，關於這部分內容的更多延展討論可以閱讀參考 [8] 。
類似的音樂理論還有 Hook 於 2002 年提出的 Uniform Triadic Transformations ( UTTs ）也是研究和絃變換的一種方法，同樣也可以從群論的角度進行分析 [9]。
到目前為止，本回答涉及到的都是一些非常粗淺的概念。
但音樂和數學的聯絡遠不止於此，也有許多研究人員努力將音樂和數學進行結合，它可以幫助音樂家理解旋律、和聲的結構，也能為計算機音樂、自動作曲等技術提供一定理論基礎。
國際上還有音樂數學與計算學會（Society for Mathematics and Computation in Music，SMCM），每兩年都會舉辦一次國際音樂數學與計算會議（MCM），會後會根據投稿的論文篩選並出版一本書籍。
如果有對音樂和數學感興趣的同學，可以瀏覽相關訊息。
以上
看完答主 @雜然賦流形 的回答，你是否get到「抽象代數」的魅力了呢？那麼，除此之外，還有哪些角度的回答呢？
答主@大老李 用抽象代數來玩解謎遊戲。
答主@Larry用置換群和消元法還原魔方。
……
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題圖來源：答主@雜然賦流形
參考
[1]. Dmitri Tymoczko, The Geometry of Musical Chords. Science 313,72-74 (2006).
[2]. 基礎樂理我只在幾年前看過一點點皮毛，如有錯誤歡迎指正。
[3]. 十二平均律最早由我國明代音樂家朱載堉於萬曆十二年（1584年）準確提出
[4]. 《一閃一閃亮晶晶》的開頭就是一個純五度音程
[5]. 五度圈最早在 17 世紀末期誕生，用來理論化巴洛克時期的變調。
[6]. 新黎曼理論以 Hugo Riemann 的名字命名，請注意，這不是提出黎曼猜想的那位黎曼
[7]. 鄭中. 轉換與抽象——新裡曼主義音樂分析的理論與方法. 音樂藝術(上海音樂學院學報) (03), 150-158. (2014).
[8]. Alissa S. Crans, Thomas M. Fiore, Ramon Satyendra. Musical Actions of Dihedral Groups. arXiv:0711.1873. (2007)
[9]. Hook, J. Uniform Triadic Transformations. Journal of Music Theory, 46(1/2), 57–126. (2002).