摘
要
在金融市場中，時間序列分析建模的目標是進行預測，並基於預測做 informed decisions。本文介紹常見模型的多步預測。
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Conditional Expectation
條件期望（conditional expectation）是預測中的一個重要工具。在 model specification 正確的前提下，條件期望代表了在已知 的條件下 的最佳預測器，能有效最小化均方誤差（MSE）。這種特性使得條件期望成為理解和應用預測模型的基石。
從直覺上說，如果模型能夠準確反映變數間的真實關係、沒有模型設定偏誤問題，那麼透過條件期望得出的預測將不僅是無偏的，也是效率最高的。這意味著任何預測誤差都僅來源於隨機噪聲，而非模型結構的不足。因此，為了介紹不同時間序列模型的預測，讓我們先從條件期望說起。
假設我們透過變數 形成關於變數 的預測，記為 。可以證明，能夠最小化 的預測為條件期望，即 。為了這一點，下面先來討論條件期望的一些性質。
為此，將 分解為 ，其中 為誤差。對兩邊取期望可知 的條件期望為零：
此外，利用 law of total expectation 可知， 的非條件期望也是零，即 。除此之外，還可以證明 ：
事實上，對於的任何函式均有：
上式對於後續證明 能夠最小化 MSE 很重要。它的直覺解釋是，條件期望具有“正交”性質，即誤差 與 的任何函式不相關，即 。這確保沒有任何資訊被遺漏，即預測誤差 中不包含關於 的任何系統成分。
基於上述性質，可以進一步證明 ，即在所有的 中， 的 MSE 最低。為了說明這一點，對 進行分解：
利用之前探討的 和 的關係，上式中右側的第二項為零：
所以 進一步化簡為：
由於 ，所以
。
利用條件期望，我們就可以使用各種時間序列模型進行預測。
2
AR Model Forecast考慮時間序列 。假設我們現在在time index ，我們要預測 time step ahead，其中 又被稱為預測起點， 被稱為預測期限。令 表示截至 時刻的所有歷史資訊，而 則表示預測量。則根據第一節的討論可知，最佳的預測量為：
下面我們考慮 AR(p) 模型。首先從最簡單的 1-step ahead forecast 說起。使用條件期望並利用 AR(p) 模型的定義，該預測為：
顯然，在上式中，截至 時刻，所有的歷史序列都是已知的，因此期望就是歷史已實現值本身。進一步考察 2-step ahead forecast。由模型可知，
對兩邊同時取條件期望可得：
在上式中，除了 時刻的取值均是已發生的歷史值；而 時刻的條件期望 則恰恰就是 1-step ahead forecast ，只需把它帶入即可。這個例子也說明，為了預測 ，首先要得到 的預測。
最終，我們可以將其拓展到 -step ahead forecast：
其中有一點 notation 需要注意的是，如果時刻 已經發生（即 ），那麼 ；反之， 表示該時刻模型的預測結果。換句話說，為了得到 的預測，我們需要先求出前 步預測；而如果 AR(p) 模型的階數超過 ，那麼還會額外用到一些歷史資料。
3
MA Model Forecast
對於 MA 模型，我們如法炮製。
以最簡單的 MA(1) 模型為例，即 ，它的 1-step ahead forecast 為：
上式中，在計算條件期望時，用到了 。類似的，2-step ahead forecast 為：
值得一提的是，對於 MA(1) 而言，從 2-step ahead 開始，預測值就退化為該模型的非條件均值了。我們可以把上述結論拓展到 MA(q) 模型：對於 ，預測值為非條件均值。另外，將 AR 和 MA 合併，可以類似的推導 ARMA 的預測，本文不再贅述。
4
ARCH Model Forecast
我們再將目光轉向方差模型，即 ARCH/GARCH。以 ARCH 為例，它的預測和 AR 模型非常類似。例如，ARCH(p) 模型的 1-step ahead forecast 預測為：
再看 2-step ahead forecast。利用 可得到：
最終，將上述過程拓展到 -step ahead forecast：
和 AR 模型一樣，這裡需要注意的是當 時，表明 已經發生，因此 ；反之則使用之前的預測值 。
5
結語
Again, and again and again，本文是對《寫給你的時間序列分析》系列的一個必要補充（這個系列原本只有 4 篇文章，到今天又補充了 3 次）。
本文首先討論了條件期望的性質，然後基於條件期望給出了不同時間序列模型的預測公式。在迴歸分析中，無論是線性模型還是非線性模型，條件期望都代表了在給定 條件下 的最佳預測器，能夠最小化均方誤差。然而，要使這個估計可靠，至關重要的是 model specification 正確。
當然，forecast 的核心是在 OOS 能夠發揮作用。由於金融市場的信噪比極低，我們能夠預測的部分和 本身的波動相比微乎其微（想想低的可憐的R-squared）。下圖就直觀的說明了這一點。
若想要 forecast 真正發揮作用，需要對待分析的問題有深刻的理解，並密切關注模型在樣本外的表現。透過持續的驗證和調整，確保預測結果的穩健性和可靠性，讓理論模型更具實際應用價值。
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