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2025 這個數字有什麼特別之處，為什麼？

|答主：Archimon

省流版：

2025 是三階幻方中所有數字的：和平方、立方和。

在討論 2025 之前，我們先來玩一個經典的數學小遊戲：幻方。

現在給你一個 3*3 的方陣，依次填入 1-9 這九個一位數，要求每行每列的結果相同。這個比較簡單，我們可以直接注意到以下的一個結果：

這也就是所謂的「載九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中腹」，此時每一行的求和結果均為 15，每一列的結果也為 15。

這時，實際上我們便找到了我們藏起來的 2025：橫行之和與豎排之和的乘積恰為

（15+15+15）（15+15+15）=2025

除此之外，我們如果對上述幻方中每個元素求 3 次方，再求和也將得到 2025，即：

即：

那麼，這個小遊戲哪裡算得上是一個小魔術呢？

難道是透過幻方把 2025 變出來的嗎？

不，其實是因為使用了一個 misleading 的小技巧，把本不必要的幻方包裝進來了，所以才是一個小魔術。

實際上，上述性質只利用到了 2025 的以下性質：

2025=45^2

我們從最基本的性質一點一點來：首先我們對 2025 分解質因數，可以得到 2025 是一個等位數，即分解質因數後把指數部分放下來後的位數和原數位數相同，但繼續迭代上述操作是發散的；所以我們可以注意到指數部分都是偶數，所以 2025 是個完全平方數，是 45 的平方。

此外，我們還可以注意到 45 也是 1-9 的求和結果，那麼我們還可以得到：

45 同樣又可以理解為 3 個 15 的累加，那麼我們自然可以聯想到「載九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五居中腹」的幻方：

則我們可以自然地得到：

對於 3 階的幻方而言，我們可以注意到橫行的求和結果恰為 15，再累加的結果為 45；對於豎列也是一樣的，這樣橫向和豎向累加的結果之積恰為 2025；同時，此幻方所有數的立方和也為 2025。

|答主：曾加

連續自然數的立方和及連續自然數和的平方

以上兩個性質能同時成立。下一個滿足條件的數是 3025，算千里挑一的數。

但並不是巧合，它算是中學數學的常見結論。

因為：

|答主：Richard Xu

作為一名 90 後，2025 年大概是我這輩子唯一一次可以表示為一個四次冪和一個立方之和的年份：

出生於 1956 年前且活到了今年的人們很幸運，因為他們一輩子可以經歷三次這樣的年份：

而明年（2026 年）才出生的孩子們就沒這個福氣了，因為下一次這樣的年份要等到：

當然，2025 年大概也是所有讀到這篇回答的讀者這輩子唯一一次可以表示為一個四次冪和一個六次冪之和的年份：

上一個這樣的年份要追溯到：

而下一個這樣的年份則要等到：

有一回，哈代去拜訪患病住院的拉馬努金。哈代向拉馬努金抱怨說，他來時乘坐的計程車車牌號 1729 是個無聊的數，讓他不禁懷疑這是個不好的兆頭；拉馬努金則反駁說，1729 是個非常有趣的數，因為它是最小的可以同時表示為兩個立方數之和的數（即 1729=1^3+12^3=9^3+10^3）。

據說物理學家朗道曾經對他的數學家朋友在哥德巴赫猜想上的工作做了如下評價：「質數是用來相乘的，不是用來相加的！」

同理我們也可以說：「冪是用來相乘的，不是用來相加的！」

|答主：蕭半楊

2025 年到了，恭喜大家成為人類歷史上少有的可以經歷雷劈數年的罕見幸運兒們。

所謂雷劈數，也叫 Kaprekar 數。印度數學家 Kaprekar 在一次狂風暴雨中發現了一塊被雷暴劈成兩半的路牌，上面的 3025 四個數字分為了兩半（30 和 25），Kaprekar 的數字嗅覺告訴他（30+25）^2＝3025，此後相似性質的數字都被稱為雷劈數。

聰明的你一定發現 1、100 或者 10000 都是雷劈數，但是他們是特殊的（1＝（0+1）^2、100＝（10+0）^2 等等），我們如果去掉這些特殊的雷劈數而只在乎平凡雷劈數的話，四位數中其實只有 2025、3025 和 9801 這三個。如果我們放寬一點，考慮四位數以內，平凡雷劈數也只有這三個加上 81。

所以至少目前為止，可以肯定的是，人類歷史上沒有任何人一生中經過兩個平凡雷劈數年（上一次在東漢，下一次是 1000 年後，再下一次就要 7000 多年後了）。

另一個可以肯定的結論是，人類歷史上的大多數人都沒有機會在自己的一生中接觸哪怕一次雷劈數年。

所以各位，2025 要開心，你們已經書寫了人類歷史，成為了人類歷史上的幸運兒們。