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臨江仙 · 三月霞曲
每年五月，是國家自然科學基金的評審季節。那種灼熱、燒腦般的忙碌及長時間與案臺親密接觸的煎熬，能夠讓人發瘋而近於崩潰。此時，寫《量子材料》科普文，就變成沒有時間去完成的任務。由此，Ising 也可以給五月份這個寫作淡季尋找一個好的理由！
其實，寫基金專案書和寫科普文章，還是有很多類似之處的。當基金的同行評審人必須在很短時間內看明白一份基金申請要幹什麼、為什麼要幹、怎麼幹時，申請人就不能指望那洋洋灑灑數萬言的申請書能夠被從頭到尾仔細閱讀。既然這種指望必定是徒勞的，申請人就需要在一刻鐘、半小時的瀏覽過程一開始就抓住評審人的眼球、打動其內心。這樣的基金申請，才是好的申請。科普文也是如此：如果行文一上來就是很學術的“味同嚼蠟”，則這樣的文章就可能被長久放置於案頭上承接灰塵，很難被人讀下去。古今上下，文言之道，皆同此理。問題是，許多申請人似乎未能做好這個開場，因此也就將洋洋數萬言變成了沒有下文的“千古文章”。
既然如此，Ising 準備如何在這裡開場呢？自覺也很難！
姑且遵循物理人那種自負和“目空一切”的模樣，從宇宙中基本粒子開始，如圖1 所示。目前對宇宙中基本粒子的認知是：存在兩大類基本粒子，即費米子(fermions) 和玻色子 (bosons)。宇宙中幾種最輕的基本粒子，似乎都是費米子，包括我們熟知的電子。它們是構成我們原子物質世界的基本元素。量子力學認為，費米子滿足費米– 狄拉克統計，它一般有半整數自旋，其佔據態由泡利不相容原理規定：一個量子態上不能有兩個或以上的費米子。
另一層面，所謂玻色子，則是承擔完全不同功能的基本粒子，如光子、W 玻色子、Z 玻色子和最近發現的希格斯玻色子 (Higgs boson) 等。它們傳遞所謂力的相互作用，遵循玻色– 愛因斯坦統計，一般有整數自旋，不受泡利不相容原理的限制。多個玻色子可以處於同一量子態上，並可能發生我們熟悉的玻色– 愛因斯坦凝聚 BEC。
圖1. 宇宙中已知的一些基本粒子歸納(Ising 對此也知之甚少)。
(A) https://studiouslyyours.com/standard-model-of-particle-physics。(B) https://www.publicdomainpictures.net/en/view-image.php?image=35142&picture=fundamental-particles-3。
這兩段文字寫下來，對物理和量子感興趣的人們，應能體會到物理學最重要的問題是何方神聖。果若能預言和發現某種基本粒子，哪怕是“虛擬”的準粒子(quasi-particle)，必定是最受關注和追蹤的領域和問題。遺憾的是，Ising 於此道純屬外行，最多就知道一點固體中常見的費米子⸺電子的集體行為。凝聚態物理和量子材料人討論費米子，基本上就是在討論電子集體運動的某些性質和相關效應。
就物理學目前的基本認知，宇宙中的費米子也大約有兩大亞類。一個亞類是狄拉克費米子，即其反粒子與自身不同的費米子。例如，電子的反粒子是“正電子”，它們不是一回事，且已被實驗看到和若干應用用到，正在為人類文明服務。與狄拉克費米子對應的，是反粒子與自身相同的費米子，也即最近很吸引眼球的馬約拉納 (Ettore Majorana) 費米子。這種反粒子即它自己的所謂“天使粒子”，到底是何模樣，在凝聚態物理體系中經歷了一些正反實驗爭論之後，目前似乎處在塵埃落定之前的某個階段：天使的面目，不是那麼好顯山露水的！目前所知的、區別於狄拉克費米子的另一個性質是：這位天使是二重簡併的(twofold degeneracy)。
更進一步，即便是狄拉克費米子，也還有一些更高層次的亞類劃分，體現了精彩而令人深感歷史滄桑的故事脈絡。量子力學用狄拉克方程去描繪費米子，意味著此類費米子滿足狄拉克方程的四重簡併 (fourfold degeneracy)，也就是說狄拉克費米子的激發模式是四重簡併或對稱的。如此這般，似乎形成了費米子對稱性的認知定式。用對稱性正規化去描繪或分類費米子，據說早就被理論物理學家們熟練運用，並在群論層面上形成了費米子對稱性分類的規範，雖然實驗物理學對此依然還有些“未知未覺”。最著名的一個例子是，大約一百年前，德國大數學和物理學家外爾(Hermann Weyl) 透過對稱性破缺操作，將四重對稱的狄拉克費米子分解為一對具有相反手性的二重簡併之新型費米子⸺外爾費米子(Weyl fermion)，展示了與狄拉克費米子不同的性質。
當然，與馬約拉納費米子命運相似，外爾費米子作為被預言的基本粒子，到目前為止亦無蹤跡顯現，因此也算是一種天使粒子。Ising 小人之心，覺得這樣的天使粒子如果多了，多少會給基本粒子物理和高能物理學科帶來挑戰，畢竟沒有實驗證實的粒子依然是天使粒子。楊振寧先生說高能物理“盛宴已過”，或許言語有些武斷，但亦是率直之言。正因為如此，果若世間某處有這些粒子的蛛絲馬跡，哪怕是“形似”而未必神似(即準粒子)，亦是大事。
這樣的夢想期待，實際上在凝聚態物理中已然成真，並且出現反哺。凝聚態物理，透過引入晶格對稱性操作，能夠形成諸多在基本粒子和高能物理範疇內難以實現的新效應，因此可能遇到一些新的基本粒子的準粒子對應，亦可能提供一些反哺視角給高能物理以發現新的粒子。例如，那個被南部(南部陽一郎) 和安德森 (菲利普•安德森) 助力推動的、對稱性破缺導致的Higgs 粒子，其預言與發現(Higgs 乃希格斯名諱)，就是這種反哺最powerful 的例證。
具體到狄拉克費米子，在凝聚態中的確時有預言和發現。例如，石墨烯在費米麵處的能帶色散特徵，就展現出狄拉克費米子(準粒子) 行為。例如，萬賢綱他們預言和中國科學院物理所發現的外爾半金屬，亦是外爾費米子(準粒子) 的一種表現。當下，在各種凝聚態中尋找馬約拉納費米子和外爾費米子的準粒子對應，已然是量子科技和量子材料的主題和前沿課題，彰顯了物理人尋找各種基本粒子的強大驅動力，哪怕找到的是準粒子！圖2 乃是 Ising 外行擺熱鬧組裝起來的一些凝聚態準粒子物理認知。
誠然，在凝聚態中尋找這些準粒子之驅動力，亦包括許多已知與未知的物理效應及應用前景。馬約拉納費米子之於量子計算和通訊，早就有理論呈現。如果能實驗實現，則可能是天大的成就。至於外爾半金屬這一準粒子態，在凝聚態中就更有價值了：(1) 首先，看到她，是這一高能物理中未能露面的基本粒子的映象；(2) 其次，這一準粒子態獨特的費米弧特徵，給了動量空間探測外爾費米子的指標；(3) 再次，這一準粒子態，可被視為是一對贗磁單極，並展示出巨大的貝里曲率，在效能上展示出很高的載流子遷移率、很大的反常霍爾效應、手性反常誘匯出的奇特負磁電阻及3D 量子霍爾效應等。這些效應，對半導體應用和自旋電子學應用都有潛在應用意義。目前，從四重簡併破缺而來的二重簡併外爾半金屬、二重簡併馬約拉納零能模，等等，正在成為拓撲量子物理和量子科技的前沿領域而風生水起。
圖2. 量子拓撲材料中一些與低能激發準粒子有關的物理影像(詳情可見連結文獻)。
(A) 量子材料中一些常見的量子態，都包含了準粒子的物理，如新的拓撲態、手性、贗磁單極等。(B) 最直觀的狄拉克費米子能帶色散關係和四重對稱性。(C) 一些典型的拓撲半金屬及其中的準粒子激發。
(A) https://www.weizmann.ac.il/condmat/Huecker/research-activities/quantum-materials。(B) M. Baudisch et al, Ultrafast nonlinear optical response of Dirac fermions in graphene, NC 9, 1018 (2018), https://www.nature.com/articles/s41467-018-03413-7。(C) B. Singh et al, Topology and Symmetry in Quantum Materials, AM 35, 2201058 (2023), https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adma.202201058。
這些成就，給了物理人以諸多啟示。這裡再說一遍：不僅僅是從高能物理，其實從凝聚態物理中尋找不同形式的費米子態，一樣也是物理人感興趣的課題。事實上，宇宙中針對基本粒子約束的對稱性限制，與凝聚態系統可能存在很大不同。例如，宇宙中時空是連續的，其勢函式結構對稱性不會那麼低。但凝聚態不同，凝聚態可以透過施加額外的晶格對稱性，鉗制於狄拉克方程之上，可能別出新奇產生一些宇宙中並不存在的低能激發準粒子態。這樣的啟示，正在催生新的結果，物理學正在從高能和基本粒子物理中尋求新的費米子 / 玻色子之類基本粒子的努力，走向在凝聚態中尋求宇宙中不存在的那些費米子(準粒子)。這樣的探索，還可以讓物理人認識更多的量子物態、發現新效應，從而尋求新的應用以為人類文明服務。
行文到此，擺在我們面前的前景一下子就明朗起來：既然凝聚態中能夠實現從四重簡變的狄拉克費米子到二重簡併的外爾半金屬態(外爾費米子) 和馬約拉納零能模(馬約拉納費米子)，那麼出現三重、六重和八重及至更高重簡併的費米準粒子也許亦是可能的。這樣的疑問，在七八年前似乎是很受關注的重大科學問題，在量子凝聚態和量子材料領域被高度關注。來自米國普林斯頓大學的那位少年成名的B. Andrei Bernevig (他是張守晟老師的學生)，領導其團隊，於 2016 年在《Science》發表了那篇著名的理論預測文章。他們從所謂的Poincaré symmetry 群論層面，以窮盡之勢討論計算了凝聚態的230 個空間群中蘊含的、超越狄拉克費米子和外爾費米子的各種非常規準粒子[B. Bradlyn et al, Beyond Dirac and Weyl fermions: Unconventional quasiparticles in conventional crystals, Science 353, 558 (2016), https://www.science.org/doi/10.1126/science.aaf5037]。其中，三重、六重和八重低能費米準粒子態，都被囊括殆盡。文章也依照空間群分類，預言了若干實現這些準粒子態的可能材料體系。
不過，計算預言是一回事，實驗中能不能實現可能是另外一回事。目前來看，鑑定這些體系中是否存在理論預言的準粒子，不是一件容易的事情。從圖2 和下面的圖3 均可看出，要觀測和區分佈裡淵區特定點處發生kiss 的能帶有多少，以及描繪其低能激發行為，角分辨光電子能譜 ARPES 是最直接和優先的實驗手段。從時間線上看(不涉及學術之間的競爭與聯絡)，沿著這一思路最讓人感覺“很棒”的工作，應是來自當時在中國科學院物理研究所工作的丁洪老師領導的合作團隊。他們於2017 年在《Nature》上釋出了基於ARPES 測量的實驗發現，展示在拓撲半金屬磷化鉬晶體中觀測到一類三重簡併的費米子(three-component fermions) [B. Q. Lv et al, Observation of three-component fermions in the topological semimetal molybdenum phosphide, Nature 546, 627 (2017), https://www.nature.com/articles/nature22390]。2020 年，來自德國馬普固態化學物理研究所的著名學者Claudia Felser 領銜其合作團隊，釋出了超導金屬PdSb2 中發現六重簡併費米子的實驗報告[N. Kumar et al, Signatures of sixfold degenerate exotic fermions in a superconducting metal PdSb2, Adv. Mater. 32, 1906046 (2020), https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/adma.201906046]。她們的實驗手段，同樣是ARPES。
本文寫到這裡，基本上就可以收尾了。而收尾的段落，即是筆者的讀書筆記。所讀之文章，乃由任職於南方科技大學和俞大鵬老師創辦的那個“深圳量子科學與工程研究院”的陳朝宇老師所領銜的、由六家科研機構 (南科大、香港科大、北理工、日本廣島大學、中大、中科大) 參與的合作團隊所釋出。他們在所謂的滿足nonsymmorphic symmetry (非簡單空間群對稱性) 的化合物TaCo2Te2 中清晰觀測到八重簡併的準粒子激發和四重簡併的範霍夫奇異性，令人印象深刻。他們去年將相關結果整理成文，刊登在《npj QM》上，引起同行關注！
朝宇老師他們的文章簡潔明快，對科學問題和存在的挑戰把握得很準確。因此，感興趣的讀者，如其在此御覽Ising 粗淺文筆，還不如直接移步去御覽論文詳細。這裡，需要提及的是，在二重、四重、六重簡併的準粒子態被陸續觀測到後，八重態則一直延後到去年才釋出。其中一個難點在於合適的承載體系難於製備，能帶表徵上也很有難度。的確，即便朝宇他們的ARPES 有強大的動量和能量解析度，但要清晰展示能帶於某一點處的八重簡併，也是極富挑戰性的。反過來，這些不斷湧現的準粒子態，再一次昭示了凝聚態量子材料中各種新的費米子就如“星星之火、可以燎原”的。
圖3. 陳朝宇老師他們對化合物TaCo2Te2 的晶體結構表徵及能帶結構的 ARPES 觀測結果(詳細解讀參見他們的論文)。
按照Ising 粗淺理解，朝宇老師他們的工作脈絡大約如下，而部分原始資料展示於圖3 中：
(1) 首先，按照費米準粒子激發的能帶簡併度(band degeneracy g) 和能帶色散階數(order of dispersion n, 線性色散n = 1，平方色散n = 2) 不同，他們梳理分析了各種化合物中的能帶譜學特徵。目前來看，n = 3 的外爾和狄拉克費米子還未能被觀測到，n = 2 的六重簡併費米子已有實驗報道。但是，最易於觀測到這些新奇費米子態的載體，應該還是那些n = 1 的體系，即能帶呈現線性色散的體系。
(2) 承載八重簡併的化合物是nonsymmorphic symmetry 晶體TaCo2Te2，歸屬62 號空間群。這一體系沒有長程自旋序，自旋– 軌道耦合 SOC 也很弱。這些特性，與磁性 Co 離子的特定性質有關。
(3) 理論計算已預言，在布里淵區的–X 點處，存在雙狄拉克錐結構(double Dirac cone, DDC)。Ising 想當然認為就是存在 4 × 2 = 8 重簡併的節點(node)，它受時間反演和晶體對稱性保護。因為體系的 SOC 很弱，節點處不會有 SOC 導致的能隙出現。
(4) 更棒的是，朝宇老師他們還觀測到費米麵附近 Z 點處同樣有受到如上對稱性保護的四重範霍夫奇異性(fourfold van Hove singularity, VHS)，而VHS 本身又有其特別的效應。這些獨特的磁性和電子結構，使得化合物TaCo2Te2 成為一個極富擴張張力的拓撲量子平臺體系，方便去研究量子材料中豐富的磁性、拓撲和非平庸量子態。
當然，簡併度超越狄拉克費米子而走向高處(六重、八重) 的那些量子材料體系，與走向低處(二重、三重) 的那些體系比較，是否一定有新穎而可被應用的物理，還需要更多工作去探索。即便ARPES 直接觀測到了八重能帶簡併度，這一量子態本身有什麼價值，也還值得探索和討論。的確，朝宇他們在文章中，對一些潛在的可能性和前景進行了簡單討論，雖然未來的實驗探索和驗證之難度不小。
雷打不動的結尾：Ising 乃屬外行，描述不到之處，敬請諒解。各位有興趣，還請前往御覽原文。原文連結資訊如下：
Realization of practical eightfold fermions and fourfold van Hove singularity in TaCo2Te2
Hongtao Rong, Zhenqiao Huang, Xin Zhang, Shiv Kumar, Fayuang Zhang, Chengcheng Zhang, Yuan Wang, Zhanyang Hao, Yongqing Cai, Le Wang, Cai Liu, Xiaoming Ma, Shu Guo, Bing Shen, Yi Liu, Shengtao Cui, Kenya Shimada, Quansheng Wu, Junhao Lin, Yugui Yao, Zhiwei Wang, Hu Xu & Chaoyu Chen
npj Quantum Materials 8, Article number: 29 (2023)
https://www.nature.com/articles/s41535-023-00565-8
備註：
(1) 筆者 Ising，任職南京大學物理學院，兼職《npj Quantum Materials》編輯。感謝萬賢綱教授和唐峰博士指點迷津。
(2) 小文標題“量子材料中費米子之星火燎原”乃感性言辭，不是物理上嚴謹的說法。這裡只是引起讀者關注的一種意象，即凝聚態中低能激發的費米準粒子可以有很多可實驗實現的類別。就像星星之火可以燎原，乃是一種雙關說辭！
(3) 文底圖片拍攝於玄武湖東岸，宛如這 ARPES 能譜的模樣(20240509)。小詞 (20240423) 原本描寫玄武湖東岸的景色。一眼望去，竟然是孟夏如澄秋，有些像那 ARPES 的形態。解讀其中滋味，可能就是“三月霞曲、孕育物華”的樣子。
(4) 封面圖片來自陳朝宇他們的文章原文，展示了 TaCo2Te2 中的四重範霍夫奇異性(VHS) 和TaIr2Te2 中沙漏型費米子激發。
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