他也許是有史以來最富有想象力的數學家

導讀：

黎曼並沒有滿足於一次幾何學變革，1854 年，他宣讀的令人震驚的特許任教資格論文《關於幾何基礎的假設》引發了第四次幾何學變革。黎曼在其中構建了整個現代微分幾何，提出了 60 年後被阿爾伯特·愛因斯坦用作廣義相對論框架的數學。

[美] 約翰·德比希爾 | 撰文

1893 年，希爾伯特給出了零點定理。從 19 世紀中期開始，幾何學又發生了三次變革。只有最近一次（即第五次）變革是由代數引發的，而第三次變革和第四次變革則在 20 世紀對代數學產生了深遠的影響。

第三次變革和第四次變革都是由伯恩哈德·黎曼引發的，他也許是有史以來最富有想象力的數學家。

1851 年，黎曼在哥廷根大學的博士畢業論文中提出了黎曼曲面，這是自相交曲面，在研究某些型別的函式時，它可以代替複平面。

當我們認為函式作用在複平面上時，黎曼曲面就出現了。例如，複數 – 2i 位於原點下方的負虛軸上。如果把它平方，我們就得到 – 4，這個數位於原點左側的負實軸上。我們可以這樣想象：平方函式把 – 2i 沿逆時針方向旋轉 270°，使其到達它的平方 – 4 處。

黎曼就是這樣想象平方函式的。取整個複平面，從原點出發向無窮沿一條直線割開，抓住開口的上半部分，把它以原點為中心沿逆時針方向旋轉，把它拉伸整整一圈。此時，你抓住的一端在拉伸面的上方，而開口的另一端在拉伸面的下方。讓開口一端穿過這個面（你得想象複平面不僅是可以無限拉伸的，而且要想象它可以像霧一樣穿過自身）與原來的開口重新連線。此時，你腦海中的影像有點兒像圖 13 – 4。這就是作用在 ℂ 上的平方函式的影像。

當我們從反函式的角度看黎曼曲面的時候，黎曼曲面的威力就顯示出來了。在數學上，處理反函式有點兒麻煩。取平方函式的反函式，即平方根函式。其中的問題是任意非零數都有兩個平方根。4 的平方根是多少？答案是 2 或者 – 2。2 和 – 2 的平方都是 4。我們沒有辦法迴避這個問題，但是，黎曼曲面提供了一個更精巧的方法來解決這個問題。

例如，- 1 的平方根是 i 或 – i。黎曼之前的數學家可能會用類似圖 13 – 5 的影像來描繪這種陳述。

然而，如圖 13 – 4 所示的黎曼曲面，把所有複數都成對地堆放，一個在上，一個在下。（沿著“摺痕”的複數除外，然而，摺痕的位置是任意的，而且如果允許使用確實需要的四維空間來畫這幅圖，我就可以讓摺痕消失。）

這表明圖 13 – 6 是另一種思考平方根函式的方式。我們透過考慮平方函式給出的黎曼曲面實際上是解釋平方函式的反函式（即平方根函式）的完美方法。- 1 有兩個平方根，它們是一條直線穿過黎曼曲面得到的兩個點。

黎曼引發的這次變革的重要性在於它為函式論（屬於分析學）與拓撲學（這是幾何的一個分支，當黎曼提出這一切的時候，它剛剛開始出現）之間搭建了一座橋樑。

我在這裡只想說，黎曼創造的分析 – 拓撲橋樑開創了使用 20 世紀發展起來的代數幾何和代數拓撲的精巧工具研究函式論的局面。其中一個核心定理是黎曼 – 羅赫定理，這個定理把一個函式的解析性質與對應的黎曼曲面的拓撲性質聯絡起來。理查德·戴德金和海因裡希·韋伯於 1882 年合作發表了一篇論文，在這篇論文中，他們把理想理論應用到黎曼曲面，發現了黎曼 – 羅赫定理的一個純代數證明。（事實上，在此前的 140 年裡，黎曼 – 羅赫定理很有可能以其更一般的形式為數學家帶來了比其他任何定理都多的研究。）

在研究黎曼曲面時，代數結果是間接的。黎曼的論文給出了20 世紀的關鍵概念流形的原型。流形是一個“區域性平坦”的任意維空間，也就是說，它在小範圍內可以被近似看成普通的歐幾里得空間，這就像在日常生活中，我們可以把地球的彎曲表面看成平面一樣（圖 13 – 7）。流形成為 20 世紀代數幾何中的關鍵概念。（流形的德文是“mannigfaltigkeit”，事實上這個詞是由黎曼創造的，但不是在這篇論文中提出的。）