對數學界和物理界都產生了重要的影響。
時隔125年，著名的希爾伯特第六問題，終於被華人解決了！
這項研究共有三位作者，包括：
鄧煜，芝加哥大學教授，北大（07級）/MIT校友；
馬驍，密歇根大學助理教授，本科畢業於中科大少年班；
Zaher Hani：密歇根大學教授，師從陶哲軒。
希爾伯特第六問題，是David Hilbert在1900年提出的23個數學問題之一，要求透過公理化方法推導物理定律。
具體而言，就需要作者們從微觀的牛頓力學出發，透過玻爾茲曼（Boltzmann）動力學理論，推匯出流體力學中的基本方程。
而他們的這一成果不僅具有理論上的重要意義，也為流體力學的研究提供了新的數學工具。
可以說是對數學界和物理界都產生了重要的影響。
小紅書網友“數學五人組”（五位在德國、法國讀純數學博士生們的賬號）給出了這樣的評價：
是華人數學奇蹟年。
為狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號。
（若論文）正確的話，那絕對是（菲爾茲獎）候選人之一。
不僅如此，網友們結合之前北大校友王虹（1991年生，16歲考入北大，07級）破解了掛谷猜想，直呼“北大數學系不愧中華第一系”、“07級真的太牛了”。
那麼希爾伯特第六問題，到底是如何解的？我們一起來看下論文。
從牛頓經典力學到流體運動定律
1900年，在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會上，德國數學家大衛·希爾伯特提出了23道難題，被稱為“希爾伯特的23個問題”。
我們比較熟悉黎曼猜想、哥德巴赫猜想，以及孿生素數猜想，共同作為的第八個問題被列入了其中，而這次三人組合解決的是其中的第六個問題，也就是“公理化物理”。
略顯與眾不同的是，“公理化物理”不是一個具體的數學表示式，更像一種數學思想，它的核心內容是這樣的：
將數學方法嚴格應用於物理學，併為物理學建立數學公理體系。
具體來說，希爾伯特希望類比歐幾里得幾何的公理化過程，給物理學也構建一個基於數學邏輯的嚴格體系。
希爾伯特在後續討論中，將問題拆分為兩個關鍵目標：
一是機率論的公理化基礎，這一部分已經在20世紀上半葉被解決；
其二，就是從原子論到連續介質運動定律的數學極限過程。
再說簡單些，就是從牛頓運動定律（微觀）出發，用數學方法推匯出流體的運動方程（宏觀），而其中起到過渡作用的極限方法，就是玻爾茲曼方程（介觀）。
但牛頓運動定律是可逆的，玻爾茲曼方程卻是不可逆的，如何實現兩者之間的轉換，成了破解希爾伯特第六問題的關鍵。
包括希爾伯特本人在內，科學家們一直在嘗試透過將玻爾茲曼方程展開等方式來完成這一過程。
直到1975年，美國數學家Oscar Lanford證明了蘭福德定理，表明宏觀不可逆性和微觀可逆性之間的概念差距在原則上是可以克服的，為希爾伯特第六問題的解決奠定了基礎。
直到去年，鄧煜等三人聯手，用一篇164頁的論文，從稀薄氣體硬球系統嚴格推導了玻爾茲曼動力學方程，使得希爾伯特第六問題的解決之路又向前邁進了一大步。
在這篇論文當中，作者採用累積量解析方法，透過引入累積量假設來追蹤粒子碰撞的完整歷史。
其核心步驟是將硬球動力學的演化表示為一系列費曼圖結構，稱為碰撞歷史分子，並證明這些累積量在L1空間中的小性（smallness），即其對玻爾茲曼極限的漸近收斂性。
關鍵部分是透過一個複雜的“切割演算法”來控制這些分子的組合性質，確保其中的復碰撞數量受限，以消除導致發散的因素。
最終，研究者證明，在整個玻爾茲曼方程解的存在時間範圍內，累積量的貢獻是可控的，從而嚴格推匯出玻爾茲曼方程的長期有效性。
在此基礎之上，剛剛發表的新論文終於給狹義希爾伯特第六問題畫上了圓滿的句號，並在此基礎上推匯出了可壓縮流體的尤拉方程以及不可壓縮條件下的Navier-Stokes-Fourier方程。
作為此前工作的拓展，作者在2維和3維週期環面上推導了玻爾茲曼方程。
考慮一個由N個直徑為ε的粒子組成的硬球系統，假設粒子之間發生彈性碰撞，運動滿足牛頓定律。取Boltzmann-Grad極限，即N趨於無窮、ε趨於0，而Nεd-1保持為常數α。
在這個尺度下，作者證明了粒子系統的s粒子關聯函式收斂到玻爾茲曼方程的解，其中s遠小於總粒子數N，這一步將微觀的粒子系統與介觀的動理論方程玻爾茲曼方程聯絡了起來。
接下來考慮從玻爾茲曼方程到宏觀流體力學方程的極限過程。在碰撞率α趨於無窮時，物理上對應於稀薄氣體的平均自由程趨於0，宏觀上體現為流體的連續介質極限。
數學上已有結果表明，在一定條件下，玻爾茲曼方程的區域性Maxwellian形式的解會收斂到流體力學方程的解。
最後，將上述從粒子系統到玻爾茲曼方程、再從玻爾茲曼方程到流體力學方程的極限過程結合起來，取迭代極限，先固定α讓N趨於無窮、ε趨於0，再讓α趨於無窮，論文證明了粒子系統的物理量的極限滿足宏觀流體力學方程。
這就完成了Hilbert第六問題的方案，即從微觀粒子系統的牛頓定律出發，透過玻爾茲曼動力學理論，嚴格推匯出了宏觀流體力學偏微分方程。
作者簡介
如開頭介紹，這項研究由芝加哥大學教授鄧煜、密歇根大學的Zaher Hani教授和馬驍助理教授共同完成。
鄧煜畢業於深圳高階中學，之後進入北大，期間轉學到MIT，博士畢業於普林斯頓。
據鄧煜本人在知乎介紹，他轉到MIT的第二個學期，選了五六門數學課，同時讀著三本書，最多時每天工作8小時40分鐘，曾花一個星期讀完過85頁的論文並驗證每一個細節包括挑錯……
這則回答寫於2018年3月，當時鄧煜在貼文中稱自己快29歲了，由此推算，今年鄧煜的年齡大概是35歲。
有趣的是，關於前段時間剛被破解的掛谷猜想，鄧煜也在知乎寫過一篇科普文章。
密歇根大學教授Zaher Hani，年齡則要稍長一些。
Hani來自黎巴嫩，並在貝魯特美國大學完成了他的本科學業，碩士和博士均在UCLA就讀。
Hani讀博期間的導師，正是大名鼎鼎的數學家陶哲軒。
畢業後，Hani留校擔任研究和教學助理，2011年到紐約大學從事博後研究，然後到佐治亞理工學院工作。
2018年，Hani加入了現在任職的密歇根大學，並於2022年升任教授，研究興趣為“非線性偏微分方程的數學分析及其與統計物理和湍流理論的聯絡”。
另一名作者馬驍，2018年畢業於中科大少年班，2023年博士畢業於普林斯頓。
之後馬驍到密歇根大學從事博後研究，並同時擔任助理教授。
論文地址：https://arxiv.org/html/2503.01800v1
參考連結：
[1]https://www.zhihu.com/question/14073117334
[2]https://blog.sciencenet.cn/blog-2641489-1363512.html
本文轉載自：量子位，作者：克雷西、金磊。
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