高斯：離群索居的數學王子

高斯（Carl Friedrich Gauss，1777年4月30日—1855年2月23日）畫像，Christian Albrecht Jensen創作。圖源：維基百科

導讀：

歷史上間或出現神童，神童常常出現在數學、音樂、棋藝等方面。卡爾·弗雷德里希·高斯, 一位數學神童，是各式各樣的天才裡最出色的一個。就像獅子號稱萬獸之王，高斯在數學家之林中稱王，他有一個美號——數學王子。

高斯不僅被公認為是19世紀最偉大的數學家，並且與阿基米德、牛頓並稱為歷史上三個最偉大的數學家。現在阿基米德和牛頓的名字早已進入了中學的教科書, 他們的工作或多或少成為大眾的常識, 而高斯和他的數學仍遙不可及, 甚至於在大學的基礎課程中也很少出現。但高斯的肖像畫卻赫然印在10馬克——流通最廣泛的德國紙幣[1]上，直到2002年馬克被歐元取代。

今天是高斯去世170週年，《賽先生》舊文重發，介紹這位數學王子。

蔡天新｜撰文

上帝創造了整數，其餘一切都是人造的。

——利奧波德·克羅內克

數是各類藝術最終的抽象表現。

——瓦西里·康定斯基

SAIXIANSHENG

一、與自然數的“情誼”‍‍‍‍‍

1777年4月30日，高斯出生在漢諾威公國（今下薩克森州）的不倫瑞克市郊外（現屬市區）。其時德意志民族遠未統一，除了漢諾威，尚有奧地利、普魯士、巴伐利亞等邦國。在高斯的祖先裡，沒有一個人可以說明為什麼會產生高斯這樣偉大的天才。他的父親是個普通的勞動者，做過石匠、縴夫、花農，母親是他父親的第二個妻子，做過女僕，沒受過什麼教育。她甚至忘了高斯的生日，只記得是星期三，耶穌升天節前八天，高斯後來自己把它算出。但母親聰明善良，有幽默感，並且個性很強。她以九十七歲高壽仙逝，高斯是她的獨養兒子。

高斯在不倫瑞克的出生地，此建築於1944年10月遭到空襲。圖源：維基百科

據說高斯二歲時就發現父親賬簿上的一處錯誤。九歲那年，他在公立小學唸書，一次老師為了讓學生們有事幹，讓他們把從1到 100這些整數加起來，高斯幾乎立刻就把寫好結果的石板面朝下放在自己的課桌上。當所有的石板都被翻過時，這位老師驚訝地發現只有高斯得出了正確的答案: 5050，但是沒有演算過程。事實上，高斯已經在腦子裡對這個算術級數求了和，他注意到了 1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101，等等50對數，從而答案是50×101 或5050。高斯在晚年常幽默地宣稱，在他會說話之前就會計算，還說他問了大人字母如何發音，就自己學著讀起書來。

德國馬克上的高斯。圖源：作者

高斯的早熟引起了不倫瑞克公爵費迪南的注意，這位公爵的名字也叫卡爾，是個熱心腸且始終如一的贊助人。高斯十四歲進卡洛琳學院（現不倫瑞克技術大學），十八歲入哥廷根大學。當時的哥廷根大學仍默默無聞，事實上，它創辦不到六十年。由於高斯的到來，才使得這所日後享譽世界的大學變得重要起來。起初，高斯在做個語言學家抑或數學家之間猶豫不決，他決心獻身數學是1796年3月30日的事了。當他差一個月滿十九歲時，他對正多邊形的歐幾里德作圖理論（只用圓規和沒有刻度的直尺）做出了驚人的貢獻，發現了它與費爾馬素數之間的秘密關係。特別地，他給出了作正十七邊形的方法，這是一個有著二千多年曆史的數學懸案。

短街上的高斯故居。本圖由作者拍攝。

那一年可謂是高斯奇蹟年，就在他發現正十七邊形作圖理論九天以後，即4月8日，他發展了同餘理論，首次證明了二次互反律，這樣就徹底解決了二次同餘方程的可解性判斷問題。5月31日，高斯提出了後人稱為素數定理的猜想，也即不超過x的素數個數為x/log x，這個猜想直到一百年後才被證明；又過了五十年，兩個用初等方法證明它的人中的一個因此獲得了菲爾茲獎。7月10日，高斯證明了費爾馬提出的三角形數猜想。10月1日，他發表了有限域裡一個多項式方程解數問題的研究，導致一個半世紀後法國數學家韋伊提出了他的著名猜想。

高斯初出茅廬，就已經爐火純青了，而且以後的50年間他一直保持這樣的水準。不過，高斯取得博士學位是在同屬下薩克森州的黑爾姆斯泰特大學，那裡不僅離他的故鄉更近，還有一位當時德國最好的數學家普法夫。值得一提的是，這所創辦於1576年的古老大學在1810年併入了哥廷根大學，可是普法夫卻去了哈雷大學。高斯所處的時代，正是德國浪漫主義盛行的時代。高斯受時尚的影響，在其私函和講述中，充滿了美麗的詞藻。高斯說過:“數學是科學的皇后，而數論是數學的女王。”那個時代的人們也開始稱高斯為“數學王子”。事實上，綜觀高斯整個一生的工作，似乎也帶有浪漫主義的色彩。

數論是最古老的數學分支之一，主要研究自然數的性質和相互關係。從古希臘的畢達哥拉斯時代起人們就沉湎於發現數的神秘關係，優美、簡潔、智慧是這門科學的特點。俄國畫家瓦西里·康定斯基甚至認為：“數是各類藝術最終的抽象表現。”就像其他數學神童一樣，高斯首先迷戀上的也是自然數。高斯在1808年談到:“任何一個花過一點功夫研習數論的人，必然會感受到一種特別的激情與狂熱。”現代數學最後一個“百事通”希爾伯特是19世紀後期重新崛起的哥廷根數學學派的領軍人物，其傳記作者在談到大師放下代數不變數理論轉向數論研究時指出：

數學中沒有一個領域能夠像數論那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量，吸引著數學家中的精華。

另一方面，我也注意到一些不曾研究過數論的偉大數學家，如帕斯卡爾、笛卡爾、牛頓和萊布尼茲，他們都把後半生的精力奉獻給了哲學或宗教，惟獨費爾馬、尤拉、拉格朗日、勒讓德、高斯、狄裡克雷這幾位對數論有著傑出貢獻的數學家，卻終其一生都不需要任何哲學和宗教。或許，這是因為他們心中已經有了最純粹、最本質的藝術——數論。值得一提的是，對一些優美的數學定理或公式，高斯經常一而再、再而三地給出新的證明。例如被他稱為“皇冠上的寶石”的二次互反律，高斯一共給出了六種證明方法。即便在今天，這個定律仍與中國剩餘定理一樣，出現在每一本基礎數論教程中。

這裡我想引用印度數學天才拉曼紐揚的故事說明數論學者與自然數的“情誼”，這位來自印度最南端泰米爾納德邦的辦事員具有快速且深刻地看出數的複雜關係的驚人才華。著名的英國數論學家G·H·哈代在1913年“發現”了他，並於次年邀他來劍橋大學。哈代有一次去探望病中的拉曼紐揚時告訴他，自己剛才乘坐的出租汽車車號是1729。拉曼紐揚立即回答：“這是一個很有意思的數，1729是可以用兩種方式表示成兩個自然數立方和的最小的數。”（既等於1的三次方加上12的三次方, 又等於 9的三次方加上10的三次方。）哈代又問，那麼對於四次方來說，這個最小數是多少呢? 拉曼扭揚想了想，回答說：“這個數很大，答案是635318657。” (既等於59的四次方加上 158的四次方, 又等於 133的四次方加上 134的四次方。)

SAIXIANSHENG

二、現代數論的新紀元‍‍‍‍‍‍‍‍

1801年，年僅24歲的高斯出版了《算術研究》，從而開創了現代數論研究的新紀元。書中出現了有關正多邊形的作圖，方便的同餘記號、二次型理論、類數問題以及優美的二次互反律的首次證明，他還把複數引入數論，即後人所稱的高斯整數環。除了第7章（最後一章）給出代數基本定理的首次嚴格證明（他的博士論文結果）以外，其餘各章講的都是數論。在這部著作出版以前，數論只有若干零散的定理和猜想，高斯把前人的結果和自己的原創性工作結合起來，使其成為有機的整體和一門嚴格的數學分支。

《算數研究》出版扉頁

值得一提的是，這部偉大的著作在他21歲時即已完稿，高斯曾把他寄到法國科學院，卻遭到拒絕，但他自己將它出版了（費迪南公爵支付了印刷費）。與高斯的前期論文一樣，它是用拉丁文寫成的，這是當時科學界的世界語，然而由於受19世紀初盛行的國家主義的影響，高斯後來改用德文寫作。此書當年極少有人讀懂，可是，年長的拉格朗日在巴黎看到後即致函高斯祝賀，“您的《算術研究》已立刻使您成為第一流的數學家。”晚輩同胞、直覺主義先驅克羅內克則讚歎其為“眾書之王”。在那個世紀的末端，德國數學史家莫里茨·康托爾這樣評價道，

‍‍‍《算術研究》是數論的憲章。高斯總是遲遲不肯發表他的著作，這給科學帶來的好處是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版時一樣正確和重要。他的出版物就是法典，比人類其它法典更高明，因為不論何時何地從未發覺出其中有任何一處毛病，這就可以理解高斯暮年談到他青年時代第一部鉅著時說的話：“《算術研究》是歷史的財富。”他當時的得意心情是頗有道理的。

在《算術研究》出版的第二年，高斯就當選為聖彼得堡科學院外籍院士，同時俄羅斯方面也向他提供了教授職位，但被他婉言謝絕了，那座城市是18世紀大數學家尤拉鍾愛的第二故鄉。直到四年以後，為了不使德意志失去這位最偉大的天才，包括洪堡在內的多位學者和政要聯名推薦，高斯被破格聘任為哥廷根大學數學教授兼天文臺臺長，全家一起搬入新落成的天文臺，他擔任這個職位直到去世。

關於《算術研究》，流傳著這樣一個故事。1849年7月16日，哥廷根大學為高斯獲得博士學位五十週年舉行慶祝會。當進行到某一程式，高斯準備用《算術研究》的一張原稿點菸，當時在場的柏林大學教授狄裡克雷像見到犯了瀆聖罪一樣吃了一驚。他立刻冒失地上前從高斯手中搶下這一頁紙，並一生珍藏它，他的遺著編輯者在他死後從其文稿中間找到了這張原稿。

匈牙利郵票上的高斯整數

狄裡克雷比高斯小二十七歲，他上大學那會兒，整個德意志民族只有高斯一個有名望的數學家，卻不怎麼喜歡教學。狄裡克雷只好遠赴巴黎留學，師從法國數學家傅立葉和泊松，但他始終攜帶著高斯的《算術研究》，可以說是第一個真正讀懂這本書的人。留學巴黎期間，狄裡克雷證明了費爾馬大定理在指數為5和14時成立。這個結果當年曾轟動一時，因為3和4的情形分別是由尤拉和費爾馬本人解決的。狄利克雷後來娶了同胞作曲家門德爾松的妹妹為妻，在高斯去世以後，他被哥廷根聘請繼任了高斯的職位。

與藝術家一樣，高斯希望他留下的都是十全十美的藝術珍品，任何絲毫的改變都將破壞其內部的均衡。他常說：“當一幢建築物完成時，應該把腳手架拆除乾淨。”高斯對於嚴密性的要求也非常苛刻，使得一個定理從直覺的形式到完整的證明，中間有一段漫長的過程。此外，高斯十分講究邏輯結構，他希望在每一個領域中，都能樹立起一致而普遍的理論，從而將不同的定理聯絡起來。鑑於上述原因，高斯很不樂意公開發表他的東西。他的著名警句是: 寧肯少些, 但要成熟。為此，高斯付出了高昂的代價，包括把非歐幾何學和最小二乘法的發明權與羅巴切夫斯基、鮑耶和勒讓德共同分享，就如同費爾馬把解析幾何和微積分的發明權讓給了笛卡爾和牛頓、萊布尼茲。

高斯的一張原始手稿

說到鮑耶，他是匈牙利歷史上最偉大的數學家，其父親老鮑耶也攻數學，是高斯在哥廷根唸書時最要好的朋友。1797年，他曾陪同高斯徒步到不倫瑞克探望高斯雙親。等到高斯走出房間，他的母親迫不及待地詢問鮑約自己兒子的前途如何。當聽到回答“他是全歐洲最偉大的數學家時”，老人家已經老淚縱橫，那年高斯才二十歲。老鮑耶畢業後回到匈牙利娶妻生子，但在隨後的半個世紀裡仍與高斯保持書信往來。當他把兒子發明非歐幾何學的訊息和結果告訴老同學，並沒有得到足夠的鼓勵和任何幫助。小鮑耶後來鬱鬱寡歡，默默無聞地度過一生，晚年專心於文學創作。

匈牙利郵票上的鮑耶

從做出有關正多邊形發現的那天起，高斯便開始了著名的數學日記，他以密碼式的文字記載下許多偉大的數學發現，共持續了十八年。有意思的是，高斯的這本日記直到1898年才被找到，它包括一百多條很短的註記，其中有數值計算結果，也有簡單的數學定理。例如，關於正多邊形作圖問題，高斯在日記中含蓄地寫到,

圓的分割定律，如何以幾何方法將圓十七等分。

值得一提的是，這項結果在兩個月後出版的《新知文獻》雜誌上就發表出來了，而當時的漢諾威科學並不發達。又如1796年7月10日的記載,

num = △ + △ + △

意指“每個自然數均可表為不超過三個三角形數之和”。此處三角形數是指按點排列可以構成正三角形狀的數，例如1、3、6、10、15……這是17世紀法國數學家費爾馬猜想的一個特例，後者說的是，當n大於2時，每個自然數均可表成不超過n個n角形數之和。高斯還在這條日記旁邊寫上Eureka！即“我發現了！”這是阿基米德在浴桶裡悟出浮體定律時說的話。就像莫扎特一樣，高斯年輕時候風起雲湧的奇思妙想使他來不及做完一件事，另一件又出現了。

SAIXIANSHENG

三、多才多藝的天才

高斯不僅是數學家，還是那個時代最偉大的物理學家和天文學家之一。在《算術研究》問世的同一年，即1801年的元旦，義大利天文學家皮亞齊在西西里島觀察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移動，這顆現在被稱作穀神星（Ceres）的小行星質量只有月球的五十分之一。它在天空出現了四十一天，掃過八度角之後，就在太陽的光芒下沒了蹤影。當時天文學家無法確定這顆新星是彗星還是行星，這個問題很快成了學術界關注的焦點，甚至成了哲學問題。

比高斯年長七歲的哲學家黑格爾那時正任教於離哥廷根不遠的耶拿大學，還只是個無薪講師。他寫文章嘲諷天文學家說，不必那麼熱衷去找尋第八顆行星，他認為用他的邏輯方法可以證明太陽系的行星，不多不少正好是七顆。幾個月過去了，這場爭論仍未見分曉。年輕的高斯也對此產生了興趣，他想既然天文學家透過觀察找不到穀神星，那麼可否利用數學方法找到它呢？高斯相信，天文學是離不開數學的，開普勒正是憑藉著自己的數學才能，發現了行星運動三大定律；牛頓也是憑著淵博的數學知識，發現了萬有引力定律。

哲學家黑格爾。圖源：維基百科

果然，高斯在尤拉工作的基礎上，用自己發明的最小二乘法簡易地計算出了行星軌道。他根據皮亞齊的觀測資料，只用一個小時便算出了穀神星的軌道形狀，並預測了它的下一次出現。不管黑格爾有多麼不高興，那年的最後一個夜晚和次年的第一個夜晚，兩位天文愛好者在德國的兩座城市把望遠鏡對準天空。果然，這顆最早被發現迄今仍是最大的小行星準時出現在高斯指定的位置上，這應該是他後來得以出任哥廷根天文臺臺長的重要原因。自那以後，小行星、大行星（海王星）和矮行星（冥王星）接二連三地被人發現了。

哥廷根天文臺。本圖由作者攝

在物理學方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學家韋伯發明了有線電報。韋伯只比狄利克雷年長一歲，他在洪堡召開的一次學術會議上做了一個報告，臺下的高斯聽了十分欣賞，隨後不久便將其引薦延聘到哥廷根。兩人各自善長理論和實踐，加上韋伯性格溫和謙讓，可謂是一對黃金搭檔，開始了愉快而卓有成效的合作。次年高斯曾在給鮑耶的信中情意綿綿地提到，“我的生活因為他的出現而變得更加精彩，他的性格非常親切而又富有天賦”。

可是，四年以後，哥廷根發生了反對廢除自由憲法的“七君子事件”，韋伯與6位文科教授（包括高斯的女婿和童話作家格林兄弟）失去了教職。在這場政治較量中，高斯作為哥廷根最有威望的教授並沒有挺身而出，而是選擇了明哲保身。韋伯被迫去了萊比錫任教（格林兄弟到了卡塞爾），直到十二年後才重返哥廷根，接替高斯擔任天文臺臺長，但沒有再擔任教職。

高斯與韋伯塑像。

高斯和韋伯的電報術利用了丹麥人奧斯特的電磁轉向與電流方向垂直原理（1820）和蘇格蘭人法拉利的電磁感應原理（1831）。這項發明使得高斯的聲望首次超出學術圈進入公眾，但他們的商業意識不太強，一直使用那臺電報機，直到1845年被一次閃電打壞為止。其時，在英國和美國，電報產業早已如火如荼地開展起來了。有趣的是，作為一名科學家, 高斯是韋伯的恩師；而作為磁場感應的單位, 一高斯只有一萬分之一韋伯。

對於天文臺臺長高斯來說，望遠鏡是不可或缺的工具，除了用來觀察天空以外，他還用自制的望遠鏡推動了光學研究。1843年，高斯的光學鉅著《光折射研究》出版，書中首次提出了光的焦距、焦面和焦點等概念。他利用幾何學的方法，證明了不論透鏡有多厚，光的折射均可以用薄透鏡或單折射面的簡單公式來研究推導。在此以前，尤拉、拉格朗日和莫比烏斯都只考慮薄透鏡的折射，而實際面臨的應用問題並非如此。

在流體靜力學方面，高斯寫過一篇重要論文《關於力學的一個新的普遍原理》（1829），提出了後人所稱的高斯最少約束原理，即任何一組相互影響並受外界影響的質點，在任何時刻其運動的方式必儘可能地接近自由運動，也就是最少約束運動。此處的約束是以每個質點離開自由運動軌跡的距離的平方乘上質量後，對所有質點求和來決定的。高斯曾感嘆說，“自然對於一個物理運動方式的修正，與數學家對他的觀察資料修正一樣，都是採用最小二乘法進行的。”

除此以外，高斯在測地學、水工學、電動學等方面也有傑出的貢獻。即使是數學領域，我們談到的也只是他年輕時在數論領域裡所做的部分工作，在其漫長的一生中，他幾乎在數學的每個領域都有開創性的工作。例如，前文提及的最小二乘法便是一種數學最佳化技巧，透過平面上的一組座標值來確定一條直線的方程。這是高斯當年用以找尋穀神星的數學工具，後來他把它寫進著作《天體運動論》（1809）。最小二乘法如今在測繪學中有著廣泛的應用，可是因為法國數學家勒讓德獨立發現並發表在先（1806），曾有過不太愉快的優先權之爭。1829年，高斯還給出了最小二乘法的最佳化效果強於其他方法的證明。

又如，在高斯發表了《曲面論上的一般研究》之後大約一個世紀，愛因斯坦評論說：“高斯對於近代物理學的發展，尤其是對於相對論的數學基礎所做的貢獻（指曲面論），其重要性是超越一切，無與倫比的。”而他對橢圓函式的先驅性發現和非歐幾何學方面的劃時代工作，都沒有在生前發表。說到橢圓函式，它是一種雙週期的亞純函式，最初是從求橢圓弧長時匯出來的，直到今天仍是數學的研究熱點。正是由於高斯在《算術研究》裡暗示了這片未開採的處女地，引導後來阿貝爾和雅可比開展了一場著名的數學競賽。

至於非歐幾何學，堪稱現代數學史上最偉大的發現。高斯是最早懷疑歐氏幾何是自然界和人類思想所固有的人之一（擁護的人中有牛頓和康德）。歐幾里德是建立系統性幾何學的第一人，他的著作中的部分思想被稱為公理，它們是透過邏輯構建整個系統的出發點。在這些公理中，平行公理顯得尤為突出。依照這條公理，透過給定直線外的任意一個點只能作一條直線與該直線平行。許多人試圖從其他公理推出這一公理，但沒有一個證明都是正確的，高斯是最早意識到可能存在平行公理不適用的幾何學的人之一，後來他自己證實了這一點，且新的幾何學內部是相容的。

1830年前後，當俄國的羅巴切夫斯基和鮑耶先後發表他們的非歐幾何學時，高斯才宣稱早在三十年前他就得出了同樣的結果。事實上，在1799年9月的一則日記裡，高斯這樣記載，“在幾何基礎的問題上，我們得到了很好的結果。”同年底他在給老鮑耶的信中寫道，“面積任意大三角形的存在性與歐氏平行公理是等價的。而在非歐幾何學裡，所有三角形的面積都不能超過一個界限。”1824年，高斯在給一位業餘數學家的信中寫道，“由三角形內角和小於一百八十度的假設中可以匯出一種奇異的幾何，這種幾何與歐氏幾何大不相同，但其本質卻是相合的。”對此老鮑耶十分理解，他說“很多事物彷彿都有那麼一個時期，屆時它們在許多地方同時被人們發現了，正如在春季看到紫羅蘭處處開放一樣。”

SAIXIANSHENG

四、離群索居的王子‍‍‍‍‍‍‍‍

在高斯的時代，幾乎沒有什麼人能夠分享他的想法或向他提供新的觀念。每當他發現新的理論時，找不到人可以討論。這種孤獨的感覺，經年累月積存下來，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。這種智慧上的孤獨，在歷史上只有很少幾個偉人感受過。高斯從不參加公開爭論，他對辯論一向深惡痛絕，認為那很容易演變成愚蠢的喊叫，這或許是他從小對粗暴專制的父親一種心理上的反抗。高斯成名後很少離開哥廷根，可能只在1828年去過柏林（普魯士王國首都）參加過一次學術會議（即發現韋伯那次）。

高斯甚至厭惡教學，也不熱衷於培養和發現年輕人，自然就談不上創立什麼學派，這主要是由於高斯天賦之優異，因而心靈上離群索居。可這不等於說高斯沒有出類拔萃的學生，黎曼堪稱史上最偉大的數學家之一（在讀哥廷根期間有兩年到柏林師從雅可比和狄裡克雷），戴特金和艾森斯坦也對數學做出了傑出貢獻。但是由於高斯的登峰造極，在這三個人中，也只有黎曼（在狄裡克雷死後繼承了高斯的數學教授職位）被認為和高斯比較親近。雖說黎曼生前只發表十篇論文，卻是複變函式論、解析數論、幾何學、常微分方程、實分析、數學物理和物理學等領域的開拓者。黎曼猜想已成為數學史上的不朽謎語，被公認為是最偉大的數學猜想。韋伯記得晚年的高斯談起黎曼的工作時十分激動，給予了罕見的高度讚揚。對年長黎曼三歲的艾森斯坦，高斯也曾寄予厚望, 如果不是他二十九歲英年早逝, 很可能成為黎曼強有力的競爭者。

比高斯晚一輩的大數學家雅可比和阿貝爾都抱怨高斯漠視了他們的成就。雅可比是個很有思想的人，他有一句流傳至今的名言：“科學的惟一目的是為人類的精神增光。” 同時雅可比也是位了不起的教育家, 為了鼓勵學生早些獨立做研究工作, 他作了一個著名的比喻: “如果你主張, 在與一個女子結婚之前先要認識世界上所有未婚女子的話, 你父親就一輩子不會結婚,那樣的話也不會有你了。”

雅可比比狄裡克雷大一個多月，兩人都是柏林最頂尖的數學家，也都在數論領域做出過重要貢獻。雅可比給出了費爾馬四角形數（平方數）猜想的一個漂亮證明，用的是自守形式的方法；而狄裡克雷任職柏林期間證明了算術級數上存在無窮多個素數，把兩千多年前歐幾里德的結果做了推廣。但雅可比一直沒能和高斯攀上親密的友情，在1849年哥廷根那次慶祝會上，遠道而來的雅可比坐在高斯身旁的榮譽席上。當他想找話題談數學時，高斯不予理睬，這可能是時機不對，當時高斯幾杯甜酒下肚，有點不能自制；但即使換個場合，結果恐怕也是一樣。

在給他兄弟論及那場宴會的一封信中，雅可比寫到，“你要知道，在這20年裡，他（高斯）從未提及我和狄裡克雷……”一年以後，雅可比因患天花去世，年僅47歲。不過，狄裡克雷做上佈雷斯勞大學教授（隸屬普魯士，今波蘭弗羅茨瓦夫大學）可是高斯（還有洪堡）寫的推薦信。.需要提及的是，狄裡克雷雖然數學天賦優異，但因為拉丁文不及格，未能獲得巴黎大學的博士學位。回國以後，他向波恩大學申請，同樣沒有成功，倒是給了他榮譽博士學位。

阿貝爾的命運很慘，他與後來的同胞易卜生、格里格、蒙克和阿蒙森一樣，是最早在自己領域裡取得世界性成就的挪威人。他是一個偉大的天才，卻過著貧窮的生活，毫無同時代人的瞭解。阿貝爾二十歲時，解決了數學史上的一個大問題，即證明了用根式解一般五次方程的不可能性，他將短短六頁“不可解”的證明寄給歐洲一些著名的數學家，高斯自然也收到了一份。阿貝爾在引言中滿懷信心，以為數學家們會親切地接受這篇論文。

不久，鄉村牧師的兒子阿貝爾獲得政府的資助，開始他一生惟一的一次遠足，當時他想以這篇文章作敲門磚。阿貝爾此行最大的願望就是拜訪高斯，但高斯高不可攀，只是將論文瞄了幾行，便把它丟在一旁，仍然專心於自己的研究工作。阿貝爾只得在從巴黎去往柏林的旅途中，以漸增的痛苦繞過哥廷根。二十六歲那年，阿貝爾死於肺病和營養不良,他去世後的第三天, 一封遲來的信件才送到, 在這封信裡, 柏林大學向他提供了一個教職。

高斯雖然孤傲，但令人驚奇的是，他春風得意地度過了中產階級的一生，而沒有遭受到冷酷現實的打擊；這種打擊常無情地加諸於每個脫離現實環境生活的人。或許高斯講求實效和追求完美的性格，有助於讓他抓住生活中的簡單現實。高斯二十二歲獲博士學位，二十五歲當選聖彼德堡科學院外籍院士，三十歲任哥廷根大學數學教授兼天文臺臺長。雖說高斯不喜歡浮華榮耀，但在他成名後的五十年間，這些東西就像雨點似的落在他身上，幾乎整個歐洲都捲入了這場授獎的風潮，他一生共獲得七十五種形形色色的榮譽，包括1818年英王喬治三世[2]賜封的“參議員”，1845年又被賜封為“首席參議員”。

高斯的兩次婚姻也都非常幸福，第一個妻子死於難產後，不到十個月，高斯又娶了第二個妻子。心理學和生理學上有一個常見的現象，婚姻生活過得幸福的人，常在喪偶之後很快再婚，一生赤貧的音樂家約翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是這樣。高斯始終沒有忘記費迪南公爵的恩情，他一直對他的贊助人在1806年慘死在拿破崙手下這件事耿耿於懷，因而拒不接受法國大革命的信條和由此引發的民主思潮的影響，他的學生都稱他為保守派。從這點來看，高斯可以說是貴族專制社會體系中最後的也是最偉大的文化結晶。

費迪南公爵紀念碑。作者攝於不倫瑞克

高斯很喜歡文學，他把歌德的作品遍覽無遺，卻不怎麼推崇。由於與生俱來的語言特長，使高斯閱讀外文得心應手。他精通英語、法語、俄語、丹麥語，對義大利語、西班牙語和瑞典語也略知一二，他的私人日記是用拉丁文寫的。高斯五十歲時，又開始學習俄語，部分原因是為了閱讀年輕的詩人普希金的原作。不過,高斯的語言天賦在數學家中並不算最突出的, 使愛爾蘭人在數學領域享有盛譽的神童哈密爾頓, 他在十三歲的時候就能夠流利地講十三種外語。高斯愛看蒙田、盧梭等人的作品，卻不怎麼喜歡莎士比亞的悲劇，但他選擇了《李爾王》中的兩行詩作為自己的座右銘,

大自然啊，我的女神，

我願為你獻身，終身不渝。

高斯最欽佩的英語作家是蘇格蘭人司各特，幾乎閱讀了他所有的作品。有一次,高斯在司各特爵士有關自然景觀的描述中找到了一個錯誤（滿月是從西北方向升起來的），因而狂喜不已。他不僅在自己那本書上把它糾正過來，還跑到哥廷根書店把其它未售出的書都改了。

和所有偉大的數學家一樣，抽象符號對高斯來說並非虛幻而不真實的。有一次他談到：“靈魂的滿足是一種更高的境界，物質的滿足是多餘的。至於我把數學應用到幾塊泥巴組成的星球，或應用到純粹數學的問題上，這一點並不重要。但後者常常帶給我更大的滿足。”高斯的身體一直不錯，而他的第二任妻子早他二十四年便已離世，在他晚年受到病魔襲擊之前，他一直沒有在宗教或精神上花時間。心臟病不斷摧毀他的意志，1848年，高斯寫信給他最親密的朋友說：

我經歷的生活，雖然像一條綵帶飛舞過整個世界，但也有其痛苦的一面。這種感受到了年邁的時候更是不能自持，我樂於承認，如果換一個人來過我的生活的話，也許會快樂得多。另一方面，這更使我體會到生命的空虛，每一個接近生命盡頭的人，都一定會有這種感覺……

高斯還說過：“有些問題，如果能解答的話，我認為比解答數學問題更有超然的價值，比如有關人類和神的關係，我們的歸宿，我們的將來等等。這些問題的解答，遠超出我們能力之所及，也非科學的範圍內能夠做到。”

高斯之墓。作者攝於哥廷根

1855年2月23日清晨，高斯在睡夢中平靜地與世長辭，享年77歲。他曾經要求在他的墓碑上刻一個正十七邊形, 但事與願違，因為雕刻工堅持認為正十七邊形刻出來後幾乎與圓一模一樣。作為一種彌補，在其故鄉不倫瑞克的高斯紀念碑的基座上刻下了一顆有十七個尖角的星。

高斯紀念碑基座上的正十七角星。作者攝於不倫瑞克

高斯曾被形容為：“能從九霄雲外的高度按照某種觀點掌握星空和深奧數學的天才。”他將自己的數種天賦——有創造力的直覺、卓越的計算能力、嚴密的邏輯推理、十全十美的實驗——和諧地組合在一起，這種能力的組合使得高斯出類拔萃，在人類歷史上找不到幾個對手。習慣上只有阿基米德和牛頓與他相提並論（最多加上尤拉），他們都非常多才多藝。當然，愛因斯坦也屬於同一水準，但他有所限制，因為他所依賴的數學工具不是自己創造的；另外，愛因斯坦也不是實驗家，他的理論需要別的科學家檢驗。