哥廷根數學傳統的締造者、被譽為數學王子的高斯（1777-1855）

導讀：

哥廷根數學學派的興起堪稱是數學史上最為璀璨的篇章之一，在20世紀的前30年裡，哥廷根這座不起眼的小城絕對是世界數學的中心，被譽為數學聖地，有數學的“麥加”之稱。偉大的數學傳統、濃厚的學術氛圍使每一個數學人陶醉，而哥廷根數學的人和事更是一道靚麗的風景線。

王濤 | 撰文

數學文化 | 來源

哥廷根數學的偉大傳統，為高斯（C.F. Gauss,1777-1855）首創。其繼任者都是德國最有聲望的數學家，如狄利克雷（P.G.L. Dirichlet,1805-1859）和黎曼（G.F.B. Riemann,1826-1866）。雖然他們推進了高斯的事業，但和高斯一樣，他們都未能給哥廷根帶來黃金歲月。不僅如此，1866年，隨著19世紀最富獨創性的數學家黎曼的去世，哥廷根大學的數學進入了一段相對比較困難的時期。而與此同時，德國幾乎所有的大學——萊比錫、哥尼斯堡、埃爾朗根、波恩——都有知名的數學教授。在克萊因（F. Klein,1849-1925）1886年到達哥廷根大學之前，哥廷根大學並不具有優勢，數學教授席位一度空缺甚至找不到合適的替代者，這與當時柏林大學數學人才濟濟、興旺發達的局面形成了鮮明的對比。

高斯的繼任者——狄利克雷（1805-1859），他曾先後在柏林大學和哥廷根大學任教授

狄利克雷的繼任者、高斯的得意弟子黎曼（1826-1866），曾跟隨狄利克雷在柏林學習過一段時間

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柏林大學數學的興起

19世紀中葉的德意志遠不是一個統一的國家，而是分為大大小小的邦國。哥廷根位於漢諾威王國內，柏林位於普魯士王國內。其中普魯士柏林大學的興起絕對值得一提。

1806年第四次反法同盟失敗，作為同盟國之一的普魯士幾乎全軍覆沒，不久，柏林也陷落。拿破崙殘忍地對待了普魯士，這使得普魯士發誓要報仇。施泰因、哈登堡、洪堡從政治、經濟、軍事和教育各個方面對普魯士進行了改革，其中教育改革是重中之重。1809年，出生于波茨坦貴族家庭的威廉•馮•洪堡（Wilhelm von Humboldt,1767-1835）出任普魯士教育文化部部長，掌管普魯士所有的教育文化事務，在短暫的任期內，洪堡改革了普魯士引以為傲的教育制度。洪堡建立了新的教育制度，設初等教育、中等教育和高等教育三個層次；採用新的教學法，規定只有受過訓練的合格教師才能任教。不少德國頂級數學家都曾在中學任教，包括晚年被視為德意志民族英雄的魏爾斯特拉斯（K. Weierstrass,1815-1897），當時很多成果都需要他拍板才能獲得認可，比如1882年林德曼（C.L.F. Lindemann,1852-1939）證明的超越性。

亞歷山大·馮·洪堡（1769-1859）

洪堡的教育改革得到了普魯士國王威廉三世的支援，威廉三世不僅接受了洪堡的建議，甚至不惜將豪華的王宮——海因利希宮貢獻出來作校舍，籌建一所重點大學。就這樣，一所以國王的名字——弗里德里希•威廉命名的大學成立了，這就是現在著名的柏林大學。國王威廉三世甚至用自己的家底每年為柏林大學撥款15萬塔勒。當時他給教授們說道：“這個國家必須用它精神上的力量來彌補它物質上的損失，……，教育不僅不會使國家貧窮，相反教育是擺脫貧困的最好手段！”

由於洪堡巨大的貢獻，柏林大學也被稱為“洪堡大學”。

在柏林大學的創辦和發展過程中，亞歷山大•馮•洪堡(Alexander von Humboldt,1769-1859)發揮了重要的作用。亞歷山大•馮•洪堡是威廉•馮•洪堡的弟弟，著名的自然科學家和探險家。他是世界上第一個大學地理系——柏林大學地理系的首任系主任。亞歷山大•馮•洪堡非常喜歡數學，對德國數學界的影響很大。比如，1826年他曾給年輕的狄利克雷寫過推薦信，推薦他到柏林大學任職；幫助雅克比（C.G.J. Jacobi,1804-1851）爭取過津貼，還與克羅內克（L. Kronecker,1823-1891）熟識；此外，他還幫助過高斯、史坦納（Steinner,1796-1863）和庫默爾（E.E. Kummer,1810-1893）任教授等職位。為了紀念這位偉大的科學家，柏林大學於1860年設立了著名的洪堡基金。得到資助的學者一般被稱為洪堡學者，我國有不少學者都曾得到過洪堡基金的資助。

這所比哥廷根大學創辦晚75年的柏林大學賦予了大學以新的含義——學術研究。大學的意義不僅在於教學，還在於科學研究，探求真理，這就是柏林大學的理念，這一理念代表著新型大學的發展方向。與純粹由普魯士人建立的新型研究型大學相比，由英國人建立的哥廷根大學似乎更注重紳士教育，這點在高斯身上體現得淋漓盡致。但不管怎麼說，19世紀30年代柏林大學正式有了數學系，狄利克雷被聘為柏林大學的教授。

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哥廷根數學的陣痛

柏林大學的興起是普魯士整個國家興旺發達的一個縮影。普魯士逐漸地強大起來並試圖完成時代賦予它的使命——結束德國分裂的局面。從哥廷根大學畢業的普魯士首相俾斯麥開始了德意志鐵與血的統一。1866年，也就是黎曼去世的那一年，普奧戰爭爆發並以《布拉格和約》而告終，戰時協助奧地利的漢諾威被普魯士吞併，哥廷根大學的地位一落千丈。而與之相反，柏林則從普魯士這個邦國的首都一躍成為北德意志聯邦的首都，5年之後，柏林又成為整個德意志聯邦的首都，柏林大學的地位得到了極大的提升。有一件事能反映出柏林對於哥廷根的數學優勢，黎曼去世後哥廷根曾試圖聘請柏林大學的克羅內克，但克羅內克婉言謝絕了，原因是柏林的學習、工作、生活環境使克羅內克感到滿意。其實不僅如此，柏林大學的數學在魏爾斯特拉斯、庫默爾和克羅內克的領導下已經發展到一個相當的層次，在函式論、數論、幾何基礎方向都有很強的實力，並且形成了一個學派，這就是數學史上著名的柏林學派。

但陣痛過後哥廷根終於迎來了自己的輝煌，這一輝煌締造出一個新的學派——哥廷根學派。到19世紀末期，隨著柏林三巨頭的去世，柏林大學的優勢逐漸喪失，到20世紀初，局勢已經完全逆轉過來了。1902年，隨著富克斯（I.L. Fuchs,1833-1902）的去世，柏林大學試圖聘請哥廷根的希爾伯特（D. Hilbert,1862-1943）來繼任這個位置，希爾伯特不僅拒絕了這一任命，相反他還建議克萊因要求德意志教育文化部部長阿爾道夫（F. Althoff,1839-1908）在哥廷根增設一個數學教授席位，並且聘請他的好友閔科夫斯基（H. Minkowski,1864-1909）來擔任這個位置，這一建議也被阿爾道夫採納。克萊因與阿爾道夫相識於普法戰爭（1870-1871年），他們彼此非常尊重對方。由於這層關係的存在，阿爾道夫非常支援哥廷根數學的發展，這樣到了1902年，哥廷根在數學教授的數量上也趕上和超過了柏林大學，由此哥廷根數學開始了真正意義上的黃金時代。

柏林三巨頭。從左至右：魏爾斯特拉斯（1815-1897）是柏林學派的領袖，在德國享有巨大的威望；克羅內克的老師庫默爾（1810-1893）；直覺主義的先驅——克羅內克（1823-1891）

哥廷根輝煌的締造者——希爾伯特（1862-1943）

在多數描寫哥廷根數學的資料中，過多的筆墨留在了高斯、狄利克雷、黎曼、克萊因和希爾伯特那裡。然而黎曼1866年去世之後的繼任者是誰？在克萊因1886年到哥廷根任教授之前，哥廷根的數學又是如何發展的呢？

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黎曼的繼任者：克萊布什

克萊布什（A. Clebsch,1833-1872）生於東普魯士的哥尼斯堡，1850年入哥尼斯堡大學，深受兩位老師黑塞（Hesse）和裡奇勞特（F. Richelot）的影響，他們都是雅克比的學生。實際上，克萊布什從未與雅克比謀面，因為雅克比在他入學後第二年（1851年）就去世了，但克萊布什透過收集雅克比的全集而受到了雅克比的影響。1854年克萊布什到柏林深造。1858年到1863年在卡爾斯魯厄（Karlsruhe）任理論力學教授，其後又在吉森（Giessen）任數學教授。1868年克萊布什移居哥廷根，成為黎曼的繼任者。同年，他與紐曼（C.G. Neumann,1832-1925）一起創辦了一份重要的數學雜誌《數學年刊》（Mathematische Annalen），這是一份非常有影響的雜誌，希爾伯特從1902年起一直擔任該刊的主編。

克萊布什（1833-1872）

克萊布什早期工作的興趣在數學物理方面，他對變分法和微分方程也有研究，但克萊布什最主要的工作是代數幾何。代數幾何是19世紀最偉大的數學創造之一，100多年來已發展成為數學的核心部分，它與所有數學分支都有著密不可分的聯絡並推動著它們的發展。代數幾何學的研究物件是由多項式方程或方程組所定義的代數簇。代數簇的特殊情形是代數曲線和代數曲面。

克萊布什研究的主要是複數域上的代數曲線和代數曲面。代數幾何的中心問題是分類，19世紀中葉代數曲線的分類由黎曼所奠定，並由克萊布什繼承。為了對曲線進行分類，克萊布什首次引入連通、虧格等概念，證明了一系列有關定理。克萊布什明確指出，代數幾何學研究雙有理變換及其不變數，而他本人正是以這種觀點研究代數曲線和代數曲面的。

克萊布什開創了德國的代數幾何學派，他和黎曼被稱為是經典代數幾何的奠基人。他的學生布瑞爾（A.W.V. Brill,1842-1935）和M. 諾特（M. Nother,1844-1921）繼承發展了克萊布什的思想，他們都是當時著名的代數幾何學家。而M. 諾特正是數學史上最偉大的女數學家E. 諾特（E. Nother,1855-1935）的父親，後來E. 諾特來到了哥廷根，在哥廷根數學的發展中發揮了不可估量的作用。像M. 諾特和E. 諾特這樣父女同為傑出數學家的組合在數學史上似乎並不多見。

然而自高斯去世之後，哥廷根大學的數學教授似乎中了一個魔咒：其繼任者都沒能在這個職位上幹多長時間。狄利克雷在這個位置上只待了4年就去世了。而其繼任者黎曼在擔任這個職位3年後感染了胸膜炎，後期一直在義大利養病。作為黎曼的繼任者，克萊布什也沒能倖免，在他任教授4年後由於患白喉病而去世。

數學教授的頻繁更迭對哥廷根數學的發展相當不利。

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把自己置於危險境地：富克斯

克萊布什的繼任者是富克斯，富克斯於1874年來到哥廷根。然而富克斯來到哥廷根大學不到一年，便接受了海德堡大學的任命而離去，這又從側面說明了哥廷根當時甚至與海德堡相比也沒有多大的優勢，在康斯坦絲•瑞德《希爾伯特——數學世界的亞歷山大》（李文林、袁向東譯）中對海德堡大學給予瞭如下評述：

海德堡大學是德國所有大學中最討人喜歡和最富有浪漫色彩的學校。

當時的德國大學之間人才可以自由流動，學生可以在第二個學期轉到別的學校聽課。比較碰巧的是，希爾伯特於1881年到海德堡大學聽課，富克斯剛好在那裡任教。富克斯的授課方式與眾不同，給希爾伯特留下了很深的印象。富克斯課前一般不做準備，對要講解的內容總是現講現推，習慣於在課堂上把自己“置於危險的境地”。這確實是一個難得的機會，可以看到一位數學家的思維過程。不可否認這對希爾伯特有很大影響，以致於後來希爾伯特在哥廷根授課前也只做一般的準備，課上有細節錯誤更是常事，然而這更有助於他忽然展開對某個事實的想法。這點與克萊因追求盡善盡美大不相同，克萊因總是比學生們提前到，以檢查他可能疏漏的地方而加以改正。當然他們的報告都是經典。

富克斯主要從事的是微分方程方面的研究，他在微分方程方面的巨大貢獻使得他成為微分方程的代名詞。富克斯在常微分方程的理論方面，做出了重要貢獻。他利用超幾何級數解線性微分方程，1866年富克斯在他的一篇論文中指出，在奇點鄰域內的解可以用級數表出，研究這一問題的理論被稱為線性微分方程的富克斯理論。這一理論直接指向了龐加萊（J.H. Poincaré,1854-1912）的自守函數理論，另一方面透過克萊因與橢圓函式論相結合，並間接地引起了龐加萊與克萊因的競爭。這些問題成為19世紀70-80年代許多數學家研究的主要課題，而且在微分方程理論本身中也扮演著重要的角色。自守函式中有一類重要的函式稱為富克斯函式。這類函式在一種線性變換的作用下是不變的，這些變換可以形成一個群，叫做富克斯群，這都說明富克斯線上性常微分方程方面有著巨大的貢獻。

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富克斯的繼任者：施瓦茨

施瓦茨（1843-1921）

1875年富克斯離任之後，哥廷根終於迎來了一位在哥廷根任職超過10年以上的數學教授——施瓦茨（H.A. Schwarz,1843-1921），施瓦茨對哥廷根有相當的影響。施瓦茨到哥廷根後，根據他的報告內容制定了一份詳盡的計劃：首先，介紹微分與積分週期覆蓋、解析幾何、二階曲面、雙曲率曲面和綜合幾何等初等內容。然後介紹解析函數週期覆蓋、橢圓函式、極小曲面、超幾何級數以及函式論等其他領域。在數學系教授斯特恩（M.A. Stern,1807-1894）的支援下，1878年數學物理研討會率先建立一個流動圖書館，這個圖書館一直在施瓦茨的管理下，直到他離開哥廷根。隨著烏爾裡希（G.K.J. Ulrich,1798-1879）的去世，他又接管了數學工具和模型室。現在我們能在哥廷根數學研究所第三層走廊的模型室裡看到多達500多件的模型。

施瓦茨的數學成就，主要體現在三個方面，分別是分析學、微分方程和幾何學。施瓦茨深受其老師魏爾斯特拉斯的影響，對函式論情有獨鍾。特別是在微分方程方面，施瓦茨在研究二階線性微分方程的解的結構時，引入了一類線性變換群，這一工作為自守函式研究創造了條件。

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短暫的繼任者——韋伯（1892-1895）

H. 韋伯（1842-1913）

H. 韋伯（H. Weber,1842-1913）出生於海德堡，1863年獲得海德堡大學博士學位。畢業後韋伯在一系列學校任職，他曾在哥尼斯堡大學任教授。哥尼斯堡大學的數學因雅克比而聞名，從數學史來看，雅克比的名聲至少要比現在高得多，他被譽為他那個時代僅次於高斯的數學家，這也不難理解法國天才數學家伽羅瓦（E. Galois,1811-1832）在臨死前一再要求請高斯和雅克比就他研究問題的重要性公開發表看法。雅克比在數學史上保持著幾項記錄，他是數學史上最為努力的數學家；此外，數學討論班制度也是由他創造的。討論班是德國數學教育和科研的一大創造，在德國數學的興起中扮演著極為重要的角色，直到今天它仍是數學教學和科研的不二法門，世界各地也經常定期或者不定期舉辦各種著名的數學討論班。

韋伯天賦極高，多才多藝，在數論和數學物理方面都作出過重要的貢獻，算得上是雅克比的傳人。而年輕的希爾伯特在哥尼斯堡大學學習期間，曾跟隨他學習過數論和函式論。巧合的是，當1895年韋伯離任去斯特拉斯堡大學任職時，接替他的正是希爾伯特。

韋伯是第一個給出群抽象定義的數學家，在群論抽象化的過程中起著舉足輕重的作用。他最著名的論著是《代數學教程》（Lehrbuch der Algebra），《代數學教程》在很長的一段時間裡被當做了教材。

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哥廷根的其他教師

蒂博（B.F. Thibaut,1775-1832），1797年任哥廷根講師，1805年任教授。高斯不擅長教學，沒有多少學生，也沒有人願意選他的課，而蒂博則與高斯形成了鮮明對比，他被譽為哥廷根最好的授課老師，其修辭風格甚至可以和歌德相比。蒂博的主要研究領域為微分方程和積分學。他於1832年將一批測地工具和模型捐贈給了學校，到1865年這些工具和模型被專門放在一個展廳裡。這一展廳由烏爾裡希負責，經過施瓦茨和希爾伯特的經營，特別是克萊因，他甚至為模型室拉到了贊助，從而使模型室獲得了穩定的資金支援。這就是現在哥廷根數學所第三層走廊裡的模型的歷史源頭。可以想象，這些模型在當年的幾何教學乃至科研中發揮了多麼重要的作用，如今在Mathematica和Maple等數學軟體問世後，這些模型更多的是一種對歷史的承載。

哥廷根數學研究所第三層的數學模型

斯特恩，1848年成為全職教授，這一年開始，哥廷根擁有了兩個數學教授席位。此外，斯特恩還是德意志第一個猶太教授，最早注意到了黎曼的天賦，曾協助高斯培養黎曼，克萊因繼任的正是他的位置。嚴格地說，克萊因並不屬於高斯、狄利克雷和黎曼這一教授席位的繼承人（見結尾附錄）。

烏爾裡希,數學物理討論班的主要參與者之一，哥廷根大學數學工具和模型室的主要負責者，主要研究領域為立體幾何、三角學、應用幾何、力學和土木建築。

利斯亭（J.B. Listing,1808-1882），1834年博士畢業於哥廷根，其導師為高斯。1837年，W. 韋伯（W.E. Weber,1804-1891,注意與之前的H. 韋伯不是同一個人）由於參與了七君子事件而被解職，因此高斯建議利斯亭繼任這一職位(物理系的職位)，儘管當時他沒有發表過一篇文章。在高斯的影響下，他於1848年出版了《拓撲學初步研究》（Vorstu-dien zur Topologie），這是首次在出版物中用到“拓撲”這個詞，儘管在之前的信件中已出現過類似的詞彙。長久以來，這門學科更多被稱為位置分析（Analysis Situs），直到20世紀20年代美國數學家萊夫謝茲（S. Lefschetz,1884-1972）使用了拓撲學（Topology）這個名稱，這一學科的名稱才固定下來。

西林（Ernst Schering,1824-1897），德國數學家，1857年在哥廷根大學獲得博士學位，他最著名的工作是對高斯文章的編輯。

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結語

在高斯時代，德國除了高斯之外，僅有少數幾個數學家進行著數學研究。這一局面在德意志統一後迅速得到了改觀，當時德國數學已處於普遍高漲的狀態，其普及性即使法國也不可比。與這一時期的柏林大學相比，哥廷根數學發展的速度大大落後了，當時哥廷根數學在德國眾多的數學研究中心中已沒有多大優勢。

雖然克萊布什、富克斯、施瓦茨、H. 韋伯在數學史上沒有像高斯、狄利克雷和黎曼那樣顯赫的地位，但他們在哥廷根數學的發展史上卻不容忽視。在克萊因到達哥廷根之前，正是他們支撐了哥廷根數學的發展，並且在函式論、代數幾何、微分方程、代數等方向保持了領先。從歷史上看，函式論處於19世紀數學的中心地位，幾乎是評價所有數學家的試金石。許多大數學家在當時之所以了不起，並非是像我們現在認為的那樣，而是由於他們在函式論這個領域的傑出工作。雅克比、魏爾斯特拉斯、黎曼、龐加萊更是因為他們對函式論的工作而獲得了他們寶貴的職位和顯赫的名聲。

數學發展需要大師，在施瓦茨和韋伯離任後，克萊因有了大施拳腳的機會，他網羅大師，在1895年聘來了希爾伯特，後來的發展證明了他獨到的眼光，正是希爾伯特巨大的威望，給哥廷根數學帶來了無比的聲譽。柏林則由於魏爾斯特拉斯的去世而趨於式微。數學發展需要有很強組織能力的人來領導，克萊因的行政天才的的確確給哥廷根的數學發展帶來了巨大的便利，而柏林的克羅內克也為柏林爭取過不少利益。

數學的發展還需要政策，需要國家和政府的穩定支援。德國大學之間充分的人才交流、默契的競爭以及和諧的發展，使得哥廷根數學逐漸迎來了自己的輝煌。但無可否認，柏林大學19世紀後半葉以及哥廷根數學1886-1933年間的輝煌是與德意志文化教育部的穩定支援分不開的。終於在1933年之後，隨著納粹的掌權，哥廷根數學又毀於一旦，至今也沒有恢復當年的榮耀。