提到笛卡兒，很多人首先想到的可能是那句著名的哲學命題——“我思故我在”，或者是他在數學上的輝煌成就，他作為解析幾何的奠基者，讓代數與幾何得以融合。
然而，笛卡兒的影響遠不止於此，他的學術生涯橫跨數學、物理與哲學，幾乎每一個領域都留下了不可磨滅的印記。
笛卡兒的一生充滿了傳奇色彩和理性之光，他的思想和方法不僅推動了數學和科學的發展，還為人類文明的進步和發展注入了新的活力。
從牛頓到愛因斯坦，科學史上的許多偉大人物都兼具數學與物理的深厚造詣，同時也在哲學思辨上留下足跡。
一、哲學與科學的雙重追求：
從“小哲學家”到跨學科研究
笛卡兒於1596年出生於法國的一個貴族家庭。幼時的他體弱多病，卻對世界充滿了無盡的好奇。在保姆的照料下，他逐漸成長為一個對周圍事物充滿探究慾望的“小哲學家”。8歲那年，他進入拉弗萊什鎮的耶穌會學校，開始了他的學術之旅。
耶穌會學校的教學大綱豐富多樣，但笛卡兒卻對詩歌產生了濃厚的興趣。他認為，詩是激情和想象力的產物，能夠激發人們內心的火花。
然而，隨著學習的深入，他逐漸對教科書中的微妙論證感到失望，那些看似深奧的理論實則模稜兩可、前後矛盾，無法給他帶來確鑿的知識。唯一給他安慰的是具有自明推理的數學。
1618年，歐洲爆發了三十年戰爭，笛卡兒開始了長達十年的漫遊與軍旅生活。在這段期間，他多次從軍，遊歷於各參戰的王公貴族之間。然而，他並非為了宗教或政治目的而參軍，而是為了彌補學校教育的不足，尋找更廣闊的天地來思考哲學與科學的問題。
在軍旅生涯中，笛卡兒結識了荷蘭哲學家、醫生兼物理學家貝克曼。貝克曼向笛卡兒介紹了數學的最新進展，激發了他對數學和哲學的深入思考。笛卡兒開始嘗試將自己的形而上學原理與科學相結合，以期獲得神學界的接受。
1637年，笛卡兒發表了《方法談》這部著作。在這部作品中，他提出了著名的“我思故我在”的哲學命題，成為唯物論者與唯心論者唇槍舌劍的永恆主題。同時，他也闡述了自己的機械論哲學觀和基本研究方法，以及他的經歷。這部著作的出版標誌著笛卡兒作為哲學家的名聲大振，也預示著他即將在數學領域掀起一場革命。
在笛卡兒之前，歐幾里得的《原本》是幾何學的權威著作，然而，笛卡兒並不滿足於這種綜合的、演繹的幾何體系。他認為古希臘人的綜合幾何過於依賴圖形，束縛了人的想象力，而當時的代數又過於依賴法則和公式，缺乏改進智力的功能。
因此，他決心將邏輯、幾何、代數三者的優點結合起來而丟棄各自的不足,從而建立一種“真正的數學”,一種“普遍的數學”,用於研究“一切事物的次序和度量性質”。
笛卡兒藉助無處不在的“單位線段”這本“觀音經”，將算術術語引進幾何，解開了束縛韋達的代數方程非要齊次的“幾何緊箍咒”，實現了線段與數量的緊密結合。
他巧妙地利用代數方程來表示並研究幾何曲線，使得原本複雜的幾何問題變得簡單明瞭。例如，在求解二次方程時，他可以透過構造直角三角形和線段關係來找到方程的解。這種方法不僅提高了求解效率，還推動了數學的發展。
儘管笛卡兒的《幾何》中並沒有明確提出我們現在所稱的笛卡兒座標系——平面上的直角座標系，但他的思想和方法確實體現瞭解析幾何的精髓。他透過代數方程與幾何曲線的結合，開創了數學史上的新紀元。
左：《幾何原本》（拉丁文手抄本）
右：《幾何原本》（希臘文手抄本）
在《幾何》的第二章中，笛卡兒在討論帕普斯問題時進一步發展了這一思想。他透過引入變數的概念，使得幾何曲線可以用一個唯一的含x和y的有限次代數方程來表示。這一發現不僅解決了許多幾何問題，還為後來的微積分學打下了基礎。
與一般人以為的不同，笛卡兒非常重視科學實驗。他認為，科學實驗是獲取真理的重要途徑之一。透過科學實驗，人們可以觀察到自然現象的變化和規律，從而驗證和修正自己的理論假設。笛卡兒強調，科學實驗應該具有明確的目的和方法，應該以事實為依據，以理性為指導。
他在自己的科學研究中始終貫徹這一思想。他透過觀察和實驗來驗證自己的理論假設，不斷修正和完善自己的科學體系。正是這種對科學實驗的重視和實踐，使笛卡兒在科學領域取得了卓越的成就。
笛卡兒不僅是一位傑出的數學家和物理學家，還是一位具有遠見卓識的哲學家，其數學觀跟哲學觀是相輔相成的。他深刻認識到數學在科學研究中的重要性，因此提出了科學數學化的任務。他認為，數學應該闡明“有關次序與度量的完整的原理”，並將其應用於所有涉及度量的事物中。
為了實現這一目標，笛卡兒致力於將數學與其他科學領域相結合。他試圖找到一種普遍的方法，將數學原理應用於物理學、化學、生物學等各個領域的研究中。他認為，只有這樣，才能真正揭示自然現象的本質和規律，推動科學的進步和發展。
笛卡兒的思想對後世產生了深遠的影響。他的“我思故我在”命題成為了哲學史上的經典之作，激發了無數哲學家對理性、存在和自我認知的思考。同時，他的機械論哲學觀也影響了後來的科學革命和啟蒙運動。
在數學領域，笛卡兒開創瞭解析幾何的新紀元。他的思想和方法不僅推動了數學的發展，還為後來的微積分學、物理學等學科打下了堅實的基礎。
笛卡兒之後，無數數學家和科學家沿著他的道路繼續前行。他們不斷完善和發展瞭解析幾何的理論和方法，使得數學在科學研究中發揮著越來越重要的作用。
同時，隨著科學技術的進步和發展，人們逐漸認識到數學在解決實際問題中的重要性。數學方法被廣泛應用於物理學、工程學、經濟學等領域，成為推動社會進步和發展的重要力量。
在解析幾何的發展史上，笛卡兒和費馬兩位大師之間的優先權問題曾引發了一場激烈的爭議。然而，這場爭議並沒有影響解析幾何的發展和傳播。相反，它激發了人們對數學研究的熱情和興趣，推動了數學領域的繁榮和發展。
如今，當我們回顧這段歷史時，不禁為笛卡兒和費馬兩位大師的卓越貢獻而讚歎不已。他們的思想和方法不僅在數學領域取得了輝煌的成就，還為人類文明的進步和發展做出了不可磨滅的貢獻。
