職業數學家在民間
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第一節：在小學數學中，加減乘除計算訓練佔多少比重？
在加減乘除計算這個問題是，許多家長都陷入了一個典型的誤區，那就是誤以為：
“小學數學無非就是加減乘除計算”
“小學數學最主要內容就是加減乘除計算”
“只要把計算訓練好，就萬事大吉了。”
其實，整個小學數學體系至少包括兩大知識板塊：
一，各種數，及其運算，以及運算定律，運演算法則等
二，各種幾何圖形，角度，長度，面積，體積，各種圖形運動等
此外還有一些非常核心的概念知識，比如，數軸，座標，代數，代數運算，簡易方程(不過最新課程標準已經把簡易方程從小學數學中刪除了，所以以後的小學數學課本很可能不講方程了)等等。
而這第一個知識板塊，又大致可以細分為下面四小塊
1，數的內涵，加減乘除運算的原理。
比如自然數表示個數，分數3/4表示什麼樣的量，再比如乘法的意義是若干個同等數量相加，除法的意義大體是平均分。數學課本中有許多簡單的應用題，這些應用題的首要目的也是在於加深孩子對加減乘除運算原理的理解，教他們把加減乘除運算運用到現實生活中。
2，加減乘除運算的運算定律和法則，尤其是五大運算定律
比如，連續減兩個數等於減兩個數之和，除以分數就是乘以分數的倒數等等，其中最基礎最核心的就是五大運算定律：加法交換律，加法結合律，乘法交換律，乘法結合律，加法乘法分配律。我認為小學的數學學習不僅僅要讓學生會總結這些運算定律和法則，還要引導學生思考這些運算定律和法則背後的原理。
3，加減乘除豎式計算的算理，
比如，豎式計算中每一步的意義是什麼？豎式中每個數字表示的意義是什麼？計算過程中運用了哪些運算定律或者運演算法則？
4，加減乘除計算訓練，包括豎式計算訓練，分數計算訓練
就知識的基礎性和重要性而言，前三塊的內容根本不輸於計算本身。所以雖然加減乘除計算訓練本身也很必要，但小學數學的學習，遠遠不止是加減乘除計算。
第二節：小學的加減乘除計算訓練有沒有必要做，該做到什麼程度？
要回答這個問題，我們首先要了解，小學數學階段，讓小學生學加減乘除運算是為了讓學生掌握什麼？
我認為，首先是關於加減乘除運算的原理性知識。
比如加法表示量的合併，3個蘋果和5個蘋果堆在一起就是（3+5）個蘋果；乘法表示多個同等數量的合併，4行隊伍，每行5人，總共是（4×5）個人，5個籃子，其中每個籃子有6個桃，總共有（5×6）個桃。
剛接觸這些原理性知識的小學生可能會覺得很抽象，但是，這些知識本事就是從經驗中提煉出來的。學這些原理性知識可以結合生活，遊戲，玩樂，故事，讓這些原理性的知識變得更加直觀。熟練掌握，並且會在現實生活中運用這些原理性的知識才是真正的基本功。
這些原理性的知識之外，還有一些簡單的計算，比如7+5=12，16-9=7，4×5=20，我認為要求學生掌握這些簡單的計算，包括記作九九乘法口訣表，也是必要的。首先，這些簡單的計算也是後期學豎式計算的基礎，也是中學數學學習的基礎。其次這些簡單的計算，還是可以融入到生活經驗，遊戲，玩樂，故事中的。比如有學過圍棋的孩子，數子的時候就會用到簡單的乘法，他們就會體會到，在計數方面，乘法有著巨大的優勢，這類現實的體驗是非常關鍵的。如果缺乏這類現實的體驗，所有的計算知識都會顯得非常空洞。
緊接在原理性的知識和最簡單計算之後，就是一些複雜的計算，比如兩三四位數的加法，兩三位數的乘法，比如人教版教材二年級三年級四年級就分別開始學兩位數加減法，萬以內加法和三位數乘一位數，三位數乘二位數。
這些計算有沒有必要教，要教多少，一直是很爭議的事情。但有一點是肯定的，這些較為複雜的計算，尤其是多位數的加減乘除計算，很少能融入到現實中去了，沒有現實做支撐，它更多地只是一種單純的，空洞的計算。
因此，我認為現有的小學數學教材，比如人教版教材中的課後和學校配套的練習冊中就有大量的計算題，單元考期中期末考都有不少計算題，這些已經差不多足夠了。再讓學生在課後大量地訓練計算，尤其是多位數的豎式計算其實就是一種非常空洞的機械式的訓練。我相信沒幾個學生會喜歡這種訓練，而我也不知道有多少學生會因為這種訓練喪失了對數學的興趣，變得不喜歡，甚至討厭數學，那真是得不償失啊！
第三節：為什麼許多小學數學老師會要求學生課後大量訓練計算
其實這些
計算一塌糊塗的孩子，他的數學差是全方位的差，尤其是對知識的理解和領悟都很差的，計算一塌糊塗只是現象不是根源。那些對數學知識概念體系的理解和領悟非常好，對知識點掌握非常到位的孩子，計算可能會有粗心和馬虎出錯的現象，但絕不可能計算一塌糊塗。這一點在初中以後尤為明顯，我後面會重點講到。
所以，深處這種大環境之中，建議家長還是選擇適當的配合學校老師的要求，至少表面上要配合，畢竟孩子是在數學老師手上學習數學。
不過另一方面，家長可以更多的以各種不同的方式鼓勵表揚孩子，為孩子
淡化
計算錯誤帶來的負面評價的影響。另一方面，家長可以嘗試從家庭教育的角度培養孩子對數學的興趣，尤其是可以讓孩子在生活中體驗加減乘除計算，體驗計算的實用性，具體的操作請參考《數學學習沒有捷徑》第十章第四節。
小學階段，學校數學老師的要求已經過度了，配合好老師的要求就已經遠遠夠了，還需要什麼過關？？？至於小升初，計算重心完全轉變，哪還有什麼小升初過關？？？
第七節
還有一種非常典型的說法是“小學練
計算可以鍛鍊數感？
”。下次直播我將專門講什麼是數感，並駁斥這種觀點，請大家預約下面直播。
“
計算練的是專注力，這是很多學生缺乏的。
”
我看到那些兜售計算訓練手冊和計算打卡訓練營的自媒體確實喜歡宣傳計算練專注力，而且居然有一大堆家長深信不疑！
平時多觀察觀察，多
動動腦子想想，
看看孩子都是在什麼情況下最專注？
所以，小學階段，這種計算粗心馬虎的事情，家長千萬不要指望在孩子身上杜絕。小學老師一般都會囑咐孩子，做完試卷記得認真檢查一遍，或者做驗算96÷8=12。確實會降低由粗心馬虎帶來的出錯率。但除此之外，沒有什麼有效的方法了。
對於家長而言，最好的應對辦法就是看開看淡這個問題。因為你越是關注這個問題，越是在孩子面前強調這個問題，耳提面命，甚至責備，斥罵，效果往往會越糟糕，這就是心理學上所謂的瓦倫達效應：太患得患失，太在意出錯的後果，會帶來各種負面情緒效應，反而會更容易出錯。
另外，孩子長大進入中學之後，性格會逐漸沉穩，這種粗心馬虎的問題也都會有一定程度的改善。
第八節：有沒有必要練口算？
最簡單的口算比如個位數乘個位數的口算，20以內加減法的口算，確實是有必要掌握的，因為這是後期數學學習豎式計算的基礎，也是後期其他計算，包括中學計算的基礎。但我發現很多小學數學老師會要求學生做更復雜的口算訓練，甚至要求要有一定的熟練度，認為這個能鍛鍊數感，甚至還有不少學校搞什麼口算比賽，其實這些都沒什麼意義。
這也涉及到每個孩子的不同個性，有些孩子喜歡口算，能口算儘量不動筆，有些孩子就喜歡老老實實動筆計算，不喜歡口算，其實只要能算對就好了，哪怕算慢一點也沒有任何關係。
如果讓我針對計算給孩子一些建議的話，我是建議多用動筆計算，不要吝嗇草稿紙，這樣會避免許多低階錯誤，使得計算正確率更高，也會讓孩子更好地養成細心的品質。
從更長遠的角度來看，動筆計算無疑也是更好的計算習慣。因為到了初中高中，會有涉及到多項式分式計算，根式計算，三角函式計算，向量計算的內容，這些計算很難再用口算了，基本都是需要動筆計算的。
第九節
這一節我們來討論這個問題：
“小學的加減乘除計算和中學階段要求掌握的計算究竟有什麼關聯和區別呢？”
如果說小學階段的加減乘除計算主體是以20以內加減和九九乘法表為基礎的豎式計算，那麼初中高中的計算，則是完全不同的另一種型別的計算。
初中先是有理數計算，再往後加入多項式計算，分式計算，根式計算，因式分解，，，，計算種類非常多，這裡面有無數的運算定律法則公式。比如有理數計算，加減的符號問題，乘除的符號問題，去括號，絕對值，，，
但是這裡面的有理數，代數計算，係數都非常簡單，絕大多數都是一位數，小學學的那些兩位數加兩位數，兩位數乘兩位數豎式計算都變得非常罕見，跟別說多位數的計算了。
所以，到了這裡，你就開始發現了，你小學階段過度訓練的那些豎式計算根本排不上用場了。早知如此，當初何必浪費那麼多時間訓練計算呢？
有理數計算，多項式計算，分式計算，根式計算，因式分解看似種類繁多，背後其實是有一整套的運算定律運演算法則公式(比小學多多了)，一整套的代數知識體系。這套代數體系比小學的內容抽象多了，也深刻多了。所以初中的計算是更依賴於對一整套的代數知識體系尤其是裡面的諸多運算定律運演算法則的理解和領悟。只有理解和領悟這一整套的代數知識體系，才能駕馭種類繁多的計算。
所以，初中的計算訓練就是在理解領悟課本知識概念的同時，融入到課本內容學習之中，融入到課本習題，練習冊(包括老師發的大量其他訓練資料)作業，單元考期中期末考之中，這些訓練量原則上肯定是足夠的。
如果一個初中生，如果在學校佈置作業中的
這些計算訓練量之後，計算還是很差，那不僅僅是計算差的問題，這個學生應該是數學整體都很差，尤其是對課本知識的掌握肯定是沒到位的，各種運演算法則公式在他腦中肯定是很亂或者很生疏的。
第十節
到了高中又會涉及一大堆新的計算——向量的計算，三角函式，指數對數計算，複數計算，求導計算，，，，，，
每一種計算背後都是一套知識概念體系，各種運演算法則，運算等式呈現爆炸式增長。
以向量計算為例
初中的抽象的代數運算本質上之有兩種運算：加法，乘法，有五個運算定律，減法和除法都是派生的。而高中的向量有三種運算：數乘運算，加法運算，內積運算，這三種運算的輸出輸入物件還截然不同，很多學生常常混淆。向量運算總共有八個運算定律。
所以，向量的計算，真正考察的是你對三個抽象運算，八個運算定律的理解，掌握和運用。許多步驟就是這些運算定律的直接應用。如果一個學生，初中階段沒有自覺的意識到五大運算定律是抽象的代數計算的前提，心頭腦中沒有這根弦，那麼面對向量新的三個運算，新的八個運算定律，他很快就會蒙圈了。向量結合律ABc=abc。
更明顯的例子就是指數對數運算，幾乎每一步都是自覺運用典型的運演算法則，運算定律。
所以高中的計算是最依賴
於你對運算本身，以及各種運算定律法則的理解
和領悟。
高中的計算會不會涉及兩位數乘兩位數？
幾乎不會! 雖然都是計算，但和小學的豎式計算側重點完全不一樣。
高中的計算是完全依賴於你對運算本身，以及各種運算定律法則的理解和領悟，理解和領悟好各種相關的運算定律法則公式的同時，計算訓練直接融入到課本習題，練習冊(包括老師發的大量其他訓練資料)，考試之中，訓練量是足夠的。
現在整個中小學考試的大趨勢都是多思少算，考試的時候，只要你解題思路正確，計算不會太難的。但是解題思路歪了，就不好說 了。
第十一節
一直有一種非常流行的觀點：
“小學不抓好計算，中高考會吃虧”
“小學最重要的事情就是練好計算，這是數學學習的童子功”
“小學計算是基礎，基礎不牢，地動山搖”
這類觀點極具誤導性
從小學到初中再到高中，計算重心完全轉移，兩位數乘兩位數以上的計算都不見蹤影了，至於兩位數乘兩位數也是極為罕見。小學階段過度訓練的多位數豎式計算根本就是做無用功！！
講到這裡，又跳出一個非常具有迷惑性的觀點：
“小學的豎式計算是計算，中學的計算也是計算，都是計算，性質是相通的，小學多練豎式計算，對中學也有好處。”
其實二者性質是截然不同。豎式計算是有固定的演算法，雖然演算法背後的原理有五大運算定律以及各種運演算法則，但計算直接使用的是固定的演算法，所以豎式計算的機械性是非常明顯的。為什麼現在中小學都在弱化豎式計算，因為這是非常機械的演算法，本質上是弱化機械訓練。
而中學的計算中，碰到許多步驟的時候，都需要你合理選擇用哪個運算定律運演算法則，哪個公式，這根本不是機械的計算，靈活性很大的，比如碰到因式分解該選用哪個代數公式，這一點到了高中更加明顯，比如碰到三角函式表示式化簡，該使用哪個三角公式，比如指數對數計算，幾乎每一步都需要選擇運演算法則。
小學的豎式計算訓練本質上是機械的，這種訓練量再多，對中學的靈活計算也沒什麼幫助。中學計算中直接使用的運算定律，運演算法則，公式非常多，需要你靈活選擇。
總之，中學階段要求掌握的計算和小學的豎式計算是截然不同，不管是內容，還是性質，都是截然不同的。中學階段的計算首先是依賴於對抽象概念，運算的內涵，運算定律，運演算法則各種數學公式的理解和領悟，而且越往後依賴。
最後總結：小學階段，最重要的基本功是對數學知識概念體系的理解和領悟，包括對運算定律運演算法則，豎式計算算理的理解和領悟，這些可以反過來指導計算，提升計算訓練的效率。計算訓練雖然也重要，但只是小學數學的一小部分。原則上計算訓練不需要單獨做，完全可以放在更長的時間週期中，融入到課本內容學習之中，融入到課本習題，練習冊作業，單元考期中期末考之中，融入到現實生活之中，課外數學閱讀之中。考慮到現在的小學數學老師普遍對計算訓練都有更高的要求，配合好小學數學老師要求遠遠足夠了。
中學階段，計算首先是依賴於對抽象概念，運算的內涵，運算定律，運演算法則各種數學公式的理解和領悟，而且越往後依賴。只有在理解和領悟的同時和基礎上做計算訓練才能事半功倍，且觸類旁通。中學階段課本習題，練習冊(包括老師發的大量其他訓練資料)，各種考試之中的計算訓練量原則上是足夠的。
小學豎式計算本質上是機械訓練，中學的計算則非常靈活，所以小學過度訓練的豎式計算對中學數學學習和中高考沒有任何用處，純屬浪費時間，還很有可能敗壞孩子對數學的興趣。