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來自：Turnover-Adjusted Information Ratio

作者：Feng Zhang、Xi Wang、Honggao Cao

主動管理基本法則

被稱為主動管理的基本法則，也就是說主動管理的能力取決於兩個因素選股的質量即IC（取決於Alpha模型）及選股的樣本寬度BR。這個法則有兩個明顯的限制，其一，假設是IC是固定的。另外就是忽略組合的換手率。實證研究表明，換手率與組合表現往往是負相關的。

為了應對第一個限制，Qian(2016)提出使用ICIR作為改進的IR，即ICIR等於IC的均值除以IC的標準差。

其中假設IC的均值為 , 標準差為：

考慮到IC的預測誤差，Ding(2017)給出了更通用的形式，其中N為股票的數量：

關於第二個限制，學術文獻中一般會把組合的換手與因子衰減聯絡在一起。Qian, Sorensen and Hua（2007）和Ding, Martin and Yang（2017）給出了組合換手率與因子衰減之間的關係：

其中是個股波動率倒數的截面均值，TE是目標跟蹤誤差，decay就是因子衰減，具體定義為1減去因子的自相關係數。

均值方差組合的換手率調整後IR

IC為股票超額收益與Alpha值的截面相關係數，如果對Alpha及超額收益r均做Z-Score處理，那麼以下等式可以滿足，及標準化後的超額收益與alpha的迴歸係數即為IC：

對與這個均值方差組合，根據Ding, Martin and Yang（2017），組合的主動權重可以表示為：

此時組合的換手率即是的一部分，而又是因子衰減的某個函式，也側面驗證了組合換手率和因子衰減之間的關係。此時組合的期望超額收益可以表示為：

假設交易成本Tcost，及因子衰減Decay均為固定值，那麼組合經換手率調整後的IR可以表示為：

關於以上假設，交易成本為固定的假設比較合理。下文也實證了因子衰減也可以看作常數。以往文獻也證明了股票波動的截面均值也是一個常數。可以看出考慮換手的IR要比未考慮的要低，當換手夠高時，IR可能會由正轉到負。

事實是否果真如此，我們用模擬資料來驗證。具體實驗設計見原文：https://arxiv.org/pdf/2105.10306.pdf

Alpha的Decay固定的假設是否合理？

本文給予美股資料驗證了下列因子的衰減，可以看出動量因子衰減很快，估計和質量因子衰減較慢。在2016年和2018年兩個不同時間樣本內，同樣的因子的衰減都很接近，說明因子衰減為常數這個假設可以接受。

如何使用高換手的Alpha？

考慮換手後，一些高換手的因子的IR顯著降低。在實際應用中有什麼辦法可以提高高換手因子的IR呢？答案就是使用多個lag的加權均值，我們記為整合後的因子：

那麼該因子的自相關係數和方差可以如下表示，其中為原因子的自相關係數:

那麼因子的IC為：

經換手調整後的IR為：

下圖給出了（取值0到1）與IR之間的關係，其中假設：

可以看出，高成交成本時，為了達到更高的IR，合成因子中lag因子的權重更高。而且存在最優的 值使得合成後的因子IR最大。

參考文獻：

1、E. Qian, E. H. Sorensen and R. Hua, "Information Horizon, Portfolio Turnover, and Optimal Alpha

2、Models," The Journal of Portfolio Management, vol. 34, no. 1, pp. 27-40, 2007.

3、Z. Ding, R. D. Martin and C. Yang, "Portfolio turnover when IC is time-varying," Journal of Asset Management, 2020.

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