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2017年，首位女性菲爾茲獎得主Mirzakhani因病離世，年僅40歲；2025年，兩位女數學家接力，成功證明幾乎去所有雙曲曲面具備1/4譜隙！
21世紀初的某個清晨，哈佛大學數學系圖書館的晨光裡，一位年輕的研究生開始嘗試描繪出一個「由違背幾何直覺的形狀」所構成的、奇異的數學宇宙。
她的名字叫Maryam Mirzakhani，1977年生於伊朗德黑蘭，斯坦福大學數學系教授，2014年8月13日以其「黎曼曲面的動力學和幾何及其模空間」方面的工作榮獲菲爾茲獎，也是首位獲得數學界最高榮譽的女性。
她早期的研究領域主要是「雙曲」曲面（hyperbolic surfaces），在這個空間中，平行線不再保持相同的距離，而是彼此彎曲遠離，在每一個點上，曲面都像馬鞍一樣向兩個相反的方向彎曲，大概可以理解成「甜甜圈的表面」。
雙曲曲面在弦理論等領域至關重要，但由於奇特的幾何性質，無法直觀地描繪這種圖形。
密歇根大學數學家、Mirzakhani的博士後Alex Wright解釋，雙曲曲面就像永遠拼不完的拼圖，每個碎片都是馬鞍形，區域性可以拼接，但在三維空間裡永遠無法閉合。
正是這種特性讓雙曲曲面的研究之路充滿荊棘，許多基礎問題至今仍是未解之謎。
Mirzakhani在研究生期間，創造性地將動力系統理論與泰希米勒空間結合，為無法直觀想象的雙曲曲面建立了分類法則。
就在她準備在雙曲領域繼續施展才華之際，被診斷出患有乳腺癌，於2017年7月14日去世，年僅40歲。
Laura Monk (左)，Maryam Mirzakhani（中間），Nalini Anantharaman（右）
但數學之火沒有熄滅，法蘭西公學院（Collège de France）的Nalini Anantharaman和布里斯托大學的Laura Monk在此基礎上，繼續證明了一個關於「典型雙曲曲面」的通用結論：曾經被認為罕見甚至不可能存在的曲面，實際上是非常常見的。隨機挑選一個雙曲曲面，仍然具有某些關鍵特性。
論文連結：https://arxiv.org/pdf/2502.12268
普林斯頓大學的數學家Peter Sarnak認為這是「這是里程碑式的研究成果」，雙曲曲面比之前想象的要更加奇怪且不直觀。
今天，我們將重溫這段「三位數學女性」的學術接力故事。
在德黑蘭長大的Mirzakhani從小就是個書蟲，夢想著有朝一日能寫出自己的文學著作。
與此同時，數學天賦也在這位少女身上悄然綻放，連續兩次在國際奧林匹克數學競賽中摘金，算是高中生所能取得的最高數學榮譽了。
Mirzakhani 最初夢想成為一名作家，後來決定成為一名數學家。
1999年從謝里夫理工大學畢業後，她遠赴哈佛攻讀研究生，在那裡與雙曲幾何結下不解之緣，這位喜歡塗鴉的數學家痴迷於挑戰那些理論上無法繪製的形狀。
數學家們透過研究曲面上的閉合測地線來破解謎題，這些最短路徑環形態萬千，曲面上的孔洞越多，測地線（geodesics）就越複雜。
計算特定長度的測地線數量，就成了理解曲面全貌的關鍵。
Mirzakhani對此問題近乎痴狂，在學術討論中總會反覆提起這些曲線，平日的內斂在此時全然消散，在演講時總會問兩個問題：有多少條曲線？都在哪裡？（How many curves are there, and where are they?）
在讀博期間，年輕的Mirzakhani就開發出了一個突破性公式，能估算任意雙曲曲面上特定長度範圍內的測地線數量，不僅破解了弦理論著名猜想，更為構建新型雙曲曲面指明方向。
獲得博士學位後，她在幾何學、拓撲學和動力系統領域屢創佳績，但始終對博士論文課題念念不忘，她渴望深入探索自己分類過的「雙曲動物園」。
數學家構建的樣本往往「極不典型」，於是Mirzakhani開始隨機挑選雙曲曲面進行研究。
然而天妒英才，這位數學女王未及深入便溘然長逝。
她剛鍛造好研究利器，還來不及揮舞便永遠放下了。那些神秘的測地線，永遠定格在她未完成的拼圖裡。
Laura Monk，她此前也從未想過自己會繼承Mirzakhani的衣缽。
事實上，在二十歲之前，這個倫敦女孩的人生規劃始終定格在三尺講臺——每當數學課的無聊感襲來，她就會化身小老師輔導同學。
「學校生活令人窒息，當助教成了我打發時間的方式。」
在巴黎薩克雷大學攻讀碩士時，四十人的班級僅有三位女生。等到臨近畢業，她驚覺另外兩位女生也計劃離開學術界。
「這究竟是個人選擇，還是當我們身處極端少數群體時，潛意識早已被環境馴化？」
Monk陷入沉思，看著教室空蕩的座位，她突然意識到自己應該成為女學生們的燈塔。
她握緊鋼筆在博士申請書上簽名，「總得有人站出來，否則就太可悲了」，她的行動也帶動了另外一個女生讀博。
在教授建議下，Monk踏上了前往斯特拉斯堡的列車。
站臺上等待她的是Nalini Anantharaman，這位與Mirzakhani同齡的女性數學家同樣遊走於多個領域，年輕時也曾在古典鋼琴與數學之間徘徊。
2015年伯克利的秋日裡，兩位母親的緣分在兒童樂園悄然生長：當她們的孩子在滑梯上嬉戲時，Mirzakhani正悄悄向Anantharaman分享自己正在進行的隨機雙曲曲面研究。
要理解雙曲曲面的奧秘，數學家發明了「譜隙」（spectral gap）這把量尺，數值越大，曲面連通性越強，就像迷宮裡的螞蟻，在連通性強的曲面能自由探索每個角落，而在啞鈴狀的曲面則可能困守一端。
儘管數學家們在2021年才破解構建高譜隙曲面的密碼，但學界普遍相信：在浩瀚的雙曲宇宙中，大多數曲面都具有1/4的極致連通性。
這正是Anantharaman想交給新弟子的世紀難題。
Monk望著辦公室牆上Mirzakhani的相框，在晨光中籤下研究協議，「既然選擇讀博，就要觸控學術的穹頂。」
2018年，Mirzakhani離世僅一年後，Monk正式成為Anantharaman的博士生。
她首先花了數月時間啃噬前輩留下的數學手稿——那些未竟的雙曲曲面研究如同密碼，需要破譯才能繼續開展研究。
已知的關鍵在於：只要精確計算曲面上所有閉合測地線（即Mirzakhani畢生痴迷的那些迴圈路徑）的數量，就能推匯出譜隙數值，這對師徒的目標是證明當曲面孔洞數量趨近無窮時，具有1/4最優譜隙的曲面佔比將無限接近100%
她們以Mirzakhani的博士論文公式為起點，這個公式雖能計算大部分測地線，卻遺漏了像「8」字型環繞兩個孔洞的自交叉路徑。
「就像拿著不完整的藏寶圖，但當我們用它做初步估算時，竟意外算出了較大的譜隙值，簡直像魔法般神奇。」
Anantharaman至今仍覺得這個公式的神奇奏效不可思議。
某個深夜，Anantharaman突然想起2015年收到的一封郵件，彼時Mirzakhani在信中連發數問，字字指向譜隙與測地線計數的深層關聯。
「當時我完全不解其意，如今看來，她或許早就在構思同樣的研究路徑。」
Monk將博士時光傾注於拓展公式的應用範圍，試圖破解更復雜的測地線計數難題。
她像古籍修復師般整理著前輩的數學遺產，將那些手稿邊角處驚鴻一瞥的靈感轉化為嚴謹證明。
「有些思想就像被匆忙封存的時光膠囊，需要有人替她向世界講述。」
2021年，隨著新型計數公式的誕生，這對師徒終於能觸碰所有型別的測地線。數學界屏息等待她們衝擊1/4的終極目標，但意外來了，就像攀登者距離峰頂百米時遭遇暴風雪，她們發現想要解決最後一步需要全新的數學工具。
「我們被卡在了黎明前的黑暗裡。」
在Monk與導師的實驗室白板上，某種頑固的測地線如荊棘叢生，這些路徑在曲面特定區域反覆纏繞，形成數學家口中的「混沌結」。
雖然這類複雜結構僅存於少數特殊曲面，但一旦出現就會密集增生。若將其計入總數，譜隙計算結果將嚴重偏離預期，就像調音師被雜音干擾，始終彈不出1/4的完美和絃。
「我們彷彿被困在玻璃穹頂之下，看得見星空卻觸不可及。」蒙克在博士論文終稿截止前三個月寫道。
此時兩則重磅論文相繼發表：三個獨立團隊分別證明了3/16的譜隙值。
訊息震動學界，卻讓實驗室更顯沉寂，Anantharaman仍執著於終極目標1/4，眼中燃燒著與Mirzakhani相似的光。
Anantharaman開始轉向數學中的另一個領域「圖論」，二十年前，數學家Joel Friedman證明了大多數圖（在數學中無處不在的頂點和邊的集合）都具備最優連通性，其精妙之處在於創造性地剔除了那些帶有「病態路徑」的圖，正如Monk想從雙曲曲面中剔除的混沌結。
2022年5月，Anantharaman和Monk邀請Friedman組織了一個研討會，雖然將Friedman的方法轉化為適用於雙曲面的方法將非常困難，但她們無疑已經找到了「拼圖」的最後一塊。
2023年初春，Monk與導師在《數學年刊》投出里程碑式論文，將譜隙紀錄重新整理至2/9，但這只是一份「期中答卷」。
論文連結：https://arxiv.org/abs/2304.02678
直到最近，當她們將Friedman的圖論秘鑰插入雙曲幾何的鎖孔，期待中的1/4的完美數值終於得到證明，將為數論與動力系統領域帶來巨大突破。
七年鑽研，Monk與已故的Mirzakhani完成了一場跨越時空的學術對話。
Monk從未看過Mirzakhani的錄影講座，寧願讓她在心中保持一點神秘感，撫摸泛黃的論文手稿，那些微分符號彷彿帶著故人的溫度。
「我從未聽過她的聲音，卻在公式間讀懂她的呼吸。」
恍惚間，實驗室的夜風吹過風鈴，Monk彷彿聽到一聲輕笑。
參考資料：
https://www.quantamagazine.org/years-after-the-early-death-of-a-math-genius-her-ideas-gain-new-life-20250303/
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