尤里·曼寧：俯瞰人類知識版圖的數學飛鳥

尤里·曼寧（Yuri I. Manin，1937年2月16日-2023年1月7日）。圖源：西蒙斯基金會

導讀：

作為20世紀最偉大的數學家之一，尤里·曼寧在代數幾何和數論領域貢獻巨大，還是最早提出量子計算機概念的先驅之一。曼寧的眼光不只是盤桓在整個數學版圖上空，更俯瞰整個人類知識版圖。

本文原刊於《財新週刊》。今日為曼寧誕辰88週歲，《賽先生》特轉載重發，以紀念這位全能型數學家。

黃小騎 | 撰文

財新週刊 | 來源

著名數學物理學家弗里曼·戴森(Freeman Dyson)曾寫過一篇廣為流傳的文章《飛鳥和青蛙》。他將數學家分為兩種型別：青蛙棲一隅而居，飛鳥極九天而翔，青蛙型數學家“樂在特定問題的細節，一次解決一個問題”，而飛鳥型數學家“樂在統一我們思考的概念，並整合圖景中不同部分的不同問題”。雖然這篇文章因他為2008年愛因斯坦講座演講而聞名，但其實文章的主體2007年已經發表，作為數學家尤里·曼寧（Yuri I. Manin）的文集《數學之為隱喻》的英文版序言。在戴森看來，曼寧正是一位傑出的飛鳥型數學家。但是，他的眼光不只是盤桓在整個數學版圖上空，更是有俯瞰整個人類知識版圖的氣魄，試看萬川之月。

2023年1月7日，這位飛鳥數學家魂歸九霄，終年86歲。

曼寧1937年2月16日出生於蘇聯克里米亞首府辛菲羅波爾市。曼寧的父親最初是一位車床工人，而後經過勤奮學習任職辛菲羅波爾市教育研究所，並在那裡結識了曼寧的母親，她是一名哲學和俄語文學的研究生。“二戰”戰火紛飛，曼寧父親應徵入伍後不久即在軍事行動中喪生。曼寧幼時生活交困，但是他無書不讀，去學自己能接觸到的一切。2012年西蒙斯基金會曾專訪曼寧，他從容笑道，他很喜歡一句話，“命運對我不公，我總能獲得最好的”。他認為自己的一生是幸運的，接受了好的教育，碰到了好老師。

曼寧有一句名言：“不是我們選擇了數學，而是數學選擇了我們。”西蒙斯基金會那次專訪附文裡披露了一件往事：曼寧12歲時被一本微積分書裡的符號困擾，他就把書埋在一棵樹下，但很快他又充滿恐懼，擔心雨水會毀掉這本書，於是立即把書取回，自此他意識到自己熱愛數學。

1953年夏，曼寧入讀莫斯科大學力學數學系。那也是該系少有的如此眾星雲集的時期，不僅有柯爾莫哥洛夫和蓋爾範德（I.M.Gelfand）等多位老師，還有一眾日後名揚天下的學生。也正是在這裡，曼寧遇到了對自己有決定性影響的數學老師伊戈爾·沙法列維奇（Igor R. Shafarevich）。當時除了學校本身制定的基礎課程，還輔有討論班。正是在這些討論班上，學生們直接接觸到最前沿的數學研究。曼寧在第二年就在研討班裡成為一名積極的參與者。沙法列維奇和蓋爾豐特（A. O. Gelfond）共同主持的研討班旨在讓學生們熟悉安德烈·韋伊等人在解析數論方面的工作。

曼寧很快就在這方面嶄露頭角，並形成了對代數數論的研究興趣，去拓展代數幾何的邊界。畢業後，他進入蘇聯科學院下屬的斯捷克洛夫（Steklov）數學研究所。這一時期，曼寧在代數幾何方面成果斐然，推進了形式群理論的發展，並完成了莫德爾-韋伊定理的證明，這也讓他獲得了1967年“列寧獎”。同年，曼寧有機會去巴黎拜訪在代數幾何方面做出開創性貢獻的格羅滕迪克（Alexander Grothendieck），格羅滕迪克是當時布林巴基學派的精神領袖，他上課是直接發數百頁的資料給學生們討論消化。曼寧也受惠於他的教學方式，而後也漸漸調整自己的教學方式，不再是僅僅解決一個個數學問題。曼寧反思，“一個問題只是對一個陳述的有效性的猜測，而一個研究專案是一個廣闊視野的輪廓，一幅景觀地圖。”他舉例，韋伊猜測有限示性類代數流形的上同調理論是否存在，但是格羅滕迪克不是直接去解決這個問題，而是“建構這個問題，並永遠改變了我們對連續和離散二者關係的理解。”他引用龐加萊之言，“沒有被解決的問題，只有或多或少被解決的問題”，曼寧體會這句話的言下之意是：任何以“是/否”形式表達的問題都是思維狹隘的表現。

回到莫斯科後，曼寧由於參與簽名反對當局將持不同政見的數學家葉賽寧-沃爾品（Alexander Esenin-Volpin）強制關入精神病院，他不再被蘇聯政府准許出國訪問。期間他五次受邀去國際數學家大會演講，但都未成行。曼寧雖然人身自由受限，但精神仍然自由翱翔，並迸發出新的活力。他以“算術”和“幾何”為知識基礎，去探索各種新的聯絡，“一會兒又飛往另一個地方”，他陸續帶的幾十個博士生則沿著他的某條思路繼續前行。

“在數學領域工作了數年或數十年後，就會不可避免地需要回過頭去看看。在某種程度上，邏輯研究能夠滿足這一需求。”曼寧對於數理邏輯的研究，也促成他著手寫一本相關教材。但在這一過程中，1973年9月，曼寧被診斷罹患腦部蛛網膜炎，讀寫能力出現嚴重障礙。一次在坐地鐵回家路上，他忽然不可遏制地產生作畫衝動，於是立即去莫斯科市中心買好油畫工具，回到家就創作出平生第一幅油畫作品《貓頭鷹和太陽》。

數十年後，曼寧接受青年數學家、2018年菲爾茲獎得主考切爾·比爾卡爾（Caucher Birkar）的一次線上訪談，曼寧坦言，這次經歷對於他是一次重生，他重新意識到數學之外的廣闊天地。我想他對於腦科學的關注也是始於此階段。考切爾向這位前輩詢問數學體驗，曼寧數次用了“狹隘”（narrow）一詞來描述自己僅作數學時的感受。

所幸，曼寧一年後就完全康復了。也正是在人身自由受限、身體遭遇疾病的時期，曼寧重新開始廣泛接觸其他學科，受邀去他家做講座的人士中不乏語言學家和精神病學家。這也讓他對於數學和邏輯有了更基礎的思考，1974年9月曼寧完成《數學家用的數理邏輯教程》。他指出，“在自然語言中，傑出的表達和文字通常有著不固定的邊界。語言越是形式化，這些邊界就越固化。”雖然作為一本“教程”，但在專業數理邏輯學家、MIT教授喬治·布洛斯（George Boolos）看來，這本書偏艱深。

這本數理邏輯教程收錄了曼寧關於“量子邏輯”的最初思考。也在差不多同一時期，曼寧的興趣轉向理論物理，他進一步去探索物理學和代數幾何的聯絡。他曾推測，“世界的‘真實’影像和‘算術’影像之間的關係就在於諸互補性的圖景，就像是量子力學中的共軛可觀測量。”

此後數十年，曼寧依舊耕耘於數學和物理領域，也取得了不乏被人視為開拓性的成果，比如被視為提出“量子計算”的先驅之一。但是，對於數學之於人類文化的關係，他有著更多的思考。被視為他思考結晶的文集《數學之為隱喻》，其開篇文章就是《數學知識：內在的、社會的和文化的面向》，也正是這樣的文章，激發我這樣並非數學專業的讀者去思考所學習的基礎數學知識。這三個面向相互糾纏，也可以視為曼寧溝通數學內外的思考框架。

“數學之為隱喻”這一標題最早是曼寧在1990年國際數學家大會上所寫的。他思考數學語言的抽象性正在於它的隱喻功能。他引用美國哲學家詹姆斯·卡斯《有限與無限的遊戲》裡對“隱喻”的非正式定義，“隱喻是把相同的與不同的東西結合在一起，其中一方永遠不會成為另一方……所有語言在其根源處都具有隱喻特性……大自然的不可言性說正是語言的可能性。”曼寧也在這次大會上倡導數學的技術面和人文面之間的平衡。

數學之為隱喻他舉了兩個例子：一個是柯爾莫哥洛夫複雜度。他認為，要討論人類知識的本質，這一概念至關重要。因為只要我們用符號來表達知識內容，就必然存在一個物理限度限制資訊容量，而柯爾莫哥洛夫複雜度正好對資訊壓縮的效率設定了絕對限制。並且，這一複雜度並不取決於資訊內容的長度，比如我們絕對不會認為愛因斯坦那麼短小的質能方程，因其短小而容易理解。

另一個例子是經濟學泰斗肯尼斯·阿羅的博士論文《社會選擇與個人價值》。曼寧作為讀者自問：“阿羅的定理有沒有告訴我們一些以前並不知道的東西？”他自答：“有……只要仔細閱讀阿羅的證明過程，並且想象各個假設和基礎邏輯步驟背後可能的現實生活內容，我們可以透過嚴格的數學推理來改善我們不那麼精確的想象。比如，我們可以更好地理解政策制定的戲法，以及社會可能一股腦兒跳進的陷阱。”

值得一提的是，曼寧對於經濟學還是有所關注，他曾在文章中引述過薩繆爾森對於數學語言的看法，並且對於市場經濟有自己的思考，“市場這一隱喻的核心內在矛盾在於：我們把包含不相容的自由度的多維世界投射到貨幣價格這一單一維度”。這其實也正是“阿羅第二不可能定理”，經濟學家汪丁丁表達為：“不存在可擴充套件到包括全部社會生活及屬性且仍能正常執行的市場。”

同樣是在1990年國際數學家大會上，曼寧進一步反思數學語言和自然語言的關係。雖然科學語言打斷了文字和它的生產者/使用者之間的直覺和情感聯絡，但是任何數學和科學文字不可能只有數學公式和符號，還必然有自然語言的話語，曼寧反思，“這部分原因在於我們依舊需要自然語言來表達直覺和情感的聯絡，部分原因在於一些意義（比如人類價值）仍最好地存留在人類語言中。”這一反思很容易讓我們想到薩繆爾森辭世3年前出版的經濟學思想史教材Inside the Economist's Mind（2006），汪丁丁建議翻譯成《經濟學家心中所想》。汪老師琢磨薩繆爾森的意思，“學術論文的特徵就是要以學術語言完全遮蔽學者思想的形成過程，於是導致學術積累最嚴重的一項弊端。薩繆爾森指出，對於問學者而言，與發表的相比，被遮蔽的其實最重要。”（汪丁丁，《經濟學思想史進階講義》）

曼寧也許是感慨西方學術界“逐數學而不返”，才在這一大會上如此呼籲。他同時指出，“（數學）證明本身只是真理的衍生物，真理背後有大量價值，比如活動（activity）、美（beauty）和理解（understanding）。”曼寧數十年來也始終是在人類價值層面思考數學。2008年，在主題為“人文、科學和宗教中的真理”的研討會上，曼寧是唯一發言的數學家。他指出，數學模型越來越成為一個“黑箱”，成為了計算機化的“集體無意識”。他還引用著名人文學者馬麗·普維（Mary Poovey）的文章《數字可以確保誠實嗎？不切實際的期待和美國的會計醜聞》。就文化特徵而言，曼寧也意識到，對於西方數學家，求真是核心價值。

就數學的內在面向而言，曼寧把數學的基本心智過程刻畫為：（1）透過外顯規定的形成有意義的符號串的規則，和決定符號串是否“有趣”的不那麼明確的規則，有意識地處理有限和離散的符號系統（symbolic system），構建新的符號串，他註釋這一過程為“左腦、語言的、代數活動”；（2）透過內隱的對過往經驗統計的依賴，並估算未來結果的機率，主要在潛意識層面處理視覺影像，並且判斷平衡、和諧與對稱，他註釋這一過程為“右腦、視覺藝術和音樂、幾何”。左右腦某一次整體達到的狀態所激發出來的成果經過權力體系傳承下去，融入我們人類的歷史和心智歷程。

曼寧在之後始終堅持這一視角，結合腦科學和人類文明發展史來探討數學。他早已認識到，從20世紀到21世紀初，數學的基礎其實在變化，原本利用集合論可以構建數學大廈，而今越來越倚重於範疇論和同倫論。集合論背後更多是左腦的直覺，而範疇論和同倫論更多依靠右腦的影像直覺。2015年在一篇紀念蓋爾範德的文章中，曼寧繼續推進這一主題，文章名為《最初的藝術活動，圖符的起源和數學直覺》（De Novo Artistic Activity, the Origin of Logograms and Mathematical Intuitions）。在他看來，文化演化本身也意味著左右腦互動的動態變化。以百年、千年計，就能發現漢字書寫系統的演化，以及幾何與代數這兩種數學思維模式的變化。他把眼光瞄向了漢字的發展過程，“從古中國文化中尋找演化的可觀察的痕跡”，從左右腦平衡演化為更多偏向於左腦的平衡。我們一般認為，漢字發展初期，以形為主，象形字以形得意，但是逐漸之後發展為“形聲字”為最多，“由形與音而得意”（陳夢家，參考李零《漢字是何時起源的》），而言語過程主要依賴於我們的左腦活動。對應上文，數學發展到上世紀倚重於以“左腦”直覺為主的集合論。

曼寧認同數學直覺有三種模式：空間的（spatial）、語言的（linguistic）和操作的（operational，或稱之為“運動感覺的”，kinaesthetic）。這三種直覺模式之間的差異意味著左右腦之間的不對稱，雖然這也引發“離散和連續/代數和幾何（拓撲）”差異之間的對比，但曼寧指出，更深一層，在數學的不同發展階段，人們對數學的理解由一種或兩種不同模式的直覺所主導。比如我們學習歐幾里得幾何，其實更多借助於動態的操作演示，想象一個點或線的運動。但是圖靈機出現後，這種動態的操作直覺又轉向語言模式。而曼寧觀察和提倡的數學直覺的新進展，正是“迴歸古老的象形文字的形式，幾何圖形的組合構成其內容。這些組合是非線性的和多維度的”。

值得注意的是，曼寧對於語言等根本問題的思考，也將他帶向了榮格的“原型和集體無意識”研究。雖然他晚年並沒有進一步深入榮格學說並提出創見，但他也曾敏銳地指出，“如果依然有研究者甘願冒險去超越既定正規化，那只是因為，深層心理學所告訴我們的事情太重要而不能被拒斥為不科學的。”

我也驚歎於曼寧學習外語的方法。他說他懶得去學語法，直接去讀這門外語裡的詩歌，並進行翻譯。在我們看來，詩歌一般是最難以翻譯的，但這卻是曼寧研究數學之餘的放鬆方式。

西蒙斯基金會的文章裡，有一段話也令人感動：“1980年代開始，曼寧和妻子把自己的家變成了一個不僅僅是與曼寧探討數學的地方，而且是團聚在一起，作為全面發展的人相互交流的地方。”這種眼界也正是曼寧最打動我的地方。蘇聯解體後，曼寧主要任職于波恩的馬克斯-普朗克數學研究所。