為什麼賭徒必然破產？

01 先發優勢

有一個蘋果，兩個人拋硬幣來決定誰吃這個蘋果，先拋到正面者吃。問先拋的人吃到蘋果的機率是多少？

讓我來一步步解決這個機率問題。

設先拋的人吃到蘋果的機率為 P
分析可能的情況：

第一次拋正面(機率 1/2) → 先拋者吃蘋果
第一次拋反面(機率 1/2)且第二次拋反面(機率 1/2) → 繼續新一輪，相當於重新開始
第一次拋反面(機率 1/2)且第二次拋正面(機率 1/2) → 後拋者吃蘋果

寫出機率方程：P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P

解釋：

1/2 是第一次就拋到正面的機率
(1/2 × 1/2) × P 是雙方都拋到反面後重新開始的機率乘以重新開始後先拋者獲勝的機率

求解方程：P = 1/2 + (1/4)P

3P/4 = 1/2

‍P = 2/3

因此，先拋硬幣的人吃到蘋果的機率是 2/3 (約66.67%)。

這個結果是符合直覺的：先拋的人有更大的機會，但優勢並不是壓倒性的。後拋的人仍有 1/3 的機會吃到蘋果。

很多時候，先下手為強啊。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

02 遞迴機率

在上面的計算裡，P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P還是有點兒奇怪，難道不用計算雙方都一直沒有拋到正面，後續新一輪繼續拋的可能性嗎？

讓我們仔細思考一下為什麼這個方程是完整的：

當我們寫出 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 時，這個方程實際上已經包含了所有可能的後續回合。因為：

P 本身就代表了"先拋者最終獲勝的機率"
當雙方都拋到反面時，整個遊戲相當於重新開始，此時先拋者獲勝的機率依然是 P

在這種“無限往復”的拋硬幣問題中，確實不用顯式地列出後續所有拋的可能性，因為在“雙方都拋到反面”之後，整個過程會“回到原點”，也就是回到了最初的情形——先拋的人仍舊先拋。

這就涉及到機率的遞迴性質。

舉個例子來說明後續回合是如何被包含的：

第一輪：P = 1/2 + (1/4)P
將第一個 P 展開：P = 1/2 + (1/4)(1/2 + (1/4)P)
繼續展開：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)P
再展開：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)(1/2 + (1/4)P) …

（請忽略上面括號的混亂）

如果我們把這個無限展開的級數加起來，最終會得到相同的結果：P = 2/3

這就是為什麼一個簡單的方程 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 就能完整描述這個問題–

它是一個遞迴方程，透過 P 自身就隱含地包含了所有可能的後續回合。

這就是遞迴機率的核心：用一個方程把“無限回到初始”的情形壓縮排一個簡單的表示裡。

這種思維方式在很多機率問題中都很有用，尤其是在處理可能無限持續的過程時。

接下來我們看一道有趣的題目，也就是這篇文章的主題：賭徒破產問題。

03 賭徒破產

賭徒破產問題是一個經典的機率遞迴問題，它不僅具有有趣的數學結構，更蘊含著深刻的現實意義。

這個問題描述的是：一個賭徒帶著初始資金去賭場，目標是贏到某個金額。每次賭博贏的機率為p，輸的機率為1-p，每次賭注為1元。

問題是：這個賭徒能贏到目標金額的機率是多少？

讓我們用數學語言來精確描述這個問題：

初始資金：i元
目標金額：M元
單次賭博勝率：p
單次賭注：1元
待求：從i元開始贏到M元（包含本金）的機率P(i)

用遞迴思路分析，考慮賭徒第一次賭博後的情況：

贏了（機率p）：資金變為i+1
輸了（機率1-p）：資金變為i-1

‍因此可以寫出遞迴方程：

P(i) = p·P(i+1) + (1-p)·P(i-1)

邊界條件為：

P(0) = 0 （破產）
P(M) = 1 （達到目標）

以下會有兩種情況，去的是公平賭場，和不公平賭場。

1. 公平賭場（p=0.5）

當p=0.5時，遞迴方程變為：

P(i) = 0.5·P(i+1) + 0.5·P(i-1)

整理得：P(i+1) – 2P(i) + P(i-1) = 0

這是一個等差數列方程，結合邊界條件可解得（這裡略去二階差分方程的計算過程）：

P(i) = i/M

這個解的物理意義是：

在公平賭場中
從i元開始
贏到M元（包含本金）的機率‍‍
等於初始資金佔目標金額的比例

這個簡潔的結果完美地反映了"公平賭場"的特性：

獲勝機率與初始資金成正比，與目標金額成反比。

這意味著什麼？

即使在公平賭場（p=0.5）：

獲勝機率隨目標金額線性下降
賭場資金遠大於賭徒，相當於M趨近無窮
最終獲勝機率趨近於零

即使你是一個理性的賭徒，也不能例外。‍‍‍‍‍‍‍

我們用數字來一個個推演一下。

根據P(i) = i/M，i是你帶入賭場的錢，M是你帶走的錢。

所以，假如你進了賭場，根本不賭，晃悠一圈，觀察一下機率如何在人間被極少數人類用於操縱如此一大群人，然後離開。‍‍‍‍‍

這樣的話，你的i等於M，並且實現的機率是100%。‍‍‍‍‍‍‍

你也許會說：這個100%太無聊了吧！‍‍‍‍‍‍‍‍‍

也許只有虧過錢的人，不管是在賭場裡，還是在失敗的投資中，以及借錢出去收不回來，才能理解，i等於M，是一件多麼幸福的事情。‍‍‍‍‍

事實上，格雷厄姆的投資思想的第一原則，也許就是讓i小於等於M。‍‍

繼續代入數字：

如果賭徒目標是翻倍（M=2i），那麼獲勝機率是0.5
如果目標是翻三倍（M=3i），機率降到0.33
如果想贏取鉅額獎金（M>>i），機率就會趨近於0

越貪心，輸得越多，

所以，即使是在理論上完全公平的賭場（p=0.5），賭徒的處境也是不利的，因為：

只要目標收益率大於100%，獲勝機率就小於0.5
想贏得越多，獲勝機率越低
賭場的資金優勢確保了長期來看賭徒必輸

對於一個資金有限的小賭徒，想要無限追求“掙到特別高的目標金額”，獲勝機率當然幾乎為零。

並且，世界上哪裡有完全公平的賭場呢？

2. 不公平賭場（p<0.5）

如果是不公平賭場（p<0.5），或者賭場額外抽水（莊家在每次賭注裡佔更大優勢），那麼賭徒的獲勝機率更低。這時更能凸顯“長期開賭必然破產”的結局。

這涉及到另一條公式，在 p≠0.5時，賭徒最終達成目標 M的機率會變為：

如上公式所示，在不公平賭場（p<0.5）上，賭徒獲勝機率隨目標金額增加呈指數下降。

不用說，結果更慘。

賭徒在不同目標金額下的獲勝機率

注：假設初始資金1000元，橫軸表示目標金額是初始資金的倍數，縱軸表示獲勝機率

04 小結

本文從有趣的機率遞迴問題出發，闡明瞭"回到原點"或"狀態遷移"的思想如何用遞迴方程來簡潔地計算無限過程的機率。

在賭徒破產問題中，結論尤其值得關注：

1、即使在理論上完全公平的賭場（p=0.5），賭徒想要獲得遠超初始資金的收益，機率都會線性下降並最終幾乎為零。

2、如果是"不公平賭場"（p<0.5）或莊家抽水，則情況更糟糕，賭徒的贏面會呈指數加速走向微乎其微。

雖然類似於拋硬幣的遊戲是對不確定性現實世界的簡單化模擬，但考慮到絕大多數人世間的勝率還遠不如賭場，所以不妨用相關公式來理解隨機性是如何愚弄人的。‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍‍

畢竟，我們無法與物理定律對抗，也不能欺騙數學公式。‍‍‍‍‍‍‍‍‍

對於公平賭場的P(i) = i/M，我們能獲得如下啟發：