來源 | 新智元
編輯 | KingHZ
40多年來，數學界相信Mizohata-Takeuchi猜想是對的。
雖然這從來沒有被證明，但大家願意相信它是對的：這樣能自動推匯出領域內多個重要結果。
這道題自然也難倒了17歲的Hannah Cairo。
連續幾周，她冥思苦想，想要一個全新的解法。
經過幾個月的努力，她漸漸明白為什麼這個結論那麼難以證明。
她意識到，或許可以反其道而行，構造出反例，徹底推翻猜想。失敗了一次、兩次、三次……終於，她成功了！
論文連結：https://arxiv.org/abs/2502.06137
她用到了多種工具，包括分形理論（fractals），並小心設計每一步推理，步步為營。
「我花了好一段時間，才讓提問這道題的張瑞祥教授相信：我的方法是對的。」
張瑞祥現任加州大學伯克利分校數學系助理教授，2017年獲普林斯頓大學數學博士學位，2012年畢業於北京大學數學系
她的想法確實沒錯——就這樣，Cairo解決了所謂的Mizohata‑Takeuchi猜想 (Mizohata‑Takeuchi conjecture)。
該猜想最早在1980年代提出，調和分析 (harmonic analysis) 界研究了幾十年。
學界普遍相信它是正確的——因為若它成立，就能自動推匯出該領域中多個重要結果。
這下，全場震驚。年僅17歲、還沒高中畢業的她，竟然解決了困擾數學界數十年的難題！
在張教授的指導下，她將於今年秋季進入馬里蘭大學，直接攻讀博士學位。
她出生在巴哈馬首都拿騷（Nassau），後來搬到美國，就讀高中，但也在加州大學伯克利分校 (UC Berkeley) 上過課。
巴哈馬是加勒比地區最富有的國家之一，地處美國佛羅里達礁島群東南面，旅遊業發達
她回憶道：「我給幾位教授寫郵件，介紹自己讀過哪些相關書，並詢問能否旁聽。他們很多人都同意，包括張教授。」
有一天，張教授出了一個練習題：證明Mizohata‑Takeuchi猜想某個特殊但更簡單的情形。作為選做題，他還給出了原始猜想。
自那時起，Cairo就完全被它吸引住了。
40年難未解之謎：Mizohata‑Takeuchi猜想
Mizohata‑Takeuchi猜想屬於調和分析領域，而調和分析的目的是將函式分解成更簡單的成分，比如正弦函式。
陶哲軒介紹過：「調和分析作為分析學的重要分支，其核心關注點在於對函式性質的定量刻畫。與傳統定性研究不同，該領域致力於建立精確的數值界。」
如今，調和分析研究非常活躍，並已成為從數字音影片壓縮到電信系統設計等諸多應用中的基礎工具。
光的調和分析：將白光分解為不同波長的光
調和分析起源於19 世紀初法國數學家約瑟夫·傅立葉（Joseph Fourier）對熱方程的研究——一種描述固體中熱量擴散的偏微分方程。
約瑟夫·傅立葉：1768年3月21日—1830年5月16日，法國數學家、物理學家，提出傅立葉級數，並將其應用於熱傳導理論與振動理論。年幼時，父母雙亡；1789年，他跟隨拿破崙東征
他發明的傅立葉級數 (Fourier series)方法，將複雜函式分解為正弦和餘弦的和，為理解物理與數學現象開啟了全新視角。
在調和分析理論中，一切都是由波構成的。如果你選對足夠多的波，就能「建造」任何東西
在所謂的傅立葉限制性理論 (Fourier restriction theory) 中，研究者關注有限型別的波能構造出什麼結構。
限制性猜想（Restriction Conjecture）作為調和分析的核心問題之一，主要研究定義在曲面上的函式的傅立葉變換性質，其核心論斷在於：這類傅立葉變換的等高集會保持相對較小的測度。
上世紀80年代，Mizohata-Takeuchi猜想則進一步探究這些等高集的幾何形態，特別是它們在何種程度上能夠避免沿直線聚集的特性。
Cairo回憶道：「當我得到第一個反例後，我嘗試將整個問題轉到頻域 (frequency space)去重構。我觀察到我的構造在頻率域中的展現形態。隨後我意識到，其實還有一種更簡潔的方法來設計反例。」
反例不是質疑，而是數學最鋒利的語言。
17歲的她，給出了震驚四座的答案。
在西班牙San José會場，她提出了這番思路。
2025年6月9日至13日，第12屆國際調和分析與偏微分方程大會 (International Congress on Harmonic Analysis and Partial Differential Equations)在那裡舉行。
這是由馬德里自治大學下屬數學科學研究所 (ICMAT) 主辦的El Escorial會議，其近50年的歷史中，一直是該領域極具聲望的盛會之一
這是Cairo的首次國際科學之行。能與其他同樣熱愛數學的人相聚，Cairo感到這真是太美好了。
在大會上，她做了會議預定中的報告之一。她沒有緊張，反而非常享受這次演講。
她喜歡講數學，也不介意「教」年紀比她大的學生。
除了數學，她還有更深的志向：「助人為樂，予人幸福」。
天才少女早已種下數學夢想，13歲想做數論
從有記憶起，她就對數學懷有濃厚興趣。
她曾自學高深的數學教材，一直夢想成為數學家。
「我一直夢想成為數學家，但直到我自學抽象代數 (abstract algebra) 後，才真正理解這身份意味著什麼。有趣的是，抽象代數和我現在專注的數學方向正好相反。其實，一開始我以為自己會主攻數論 (number theory)。13或14歲時，我甚至撰寫了一篇關於數論的論文，但研究的問題似乎沒人關心。」
憶及此處，她自己不禁笑出聲來。
在新冠疫情期間，Berkeley Math Circle的夏令營轉為線上舉辦。
Berkeley Math Circle讓大學預科學生合作探索複雜數學問題
這一轉變讓來自巴哈馬的Cairo得以參加。
Math Circle鼓勵你和朋友一起探索、分享想法；與學校那種只靠死記硬背的數學截然不同。
Cairo說：「它更像是用想法來作畫，不是為了達成某個明確目標，而是為了理解、提出問題，同時也能交到朋友。」
專案負責人發現了Cairo的非凡數學天賦。
數學圈的重要目標之一便是發掘有潛質的年輕數學人才，並激發他們的興趣和能力。隨後，負責人邀請她在未來的活動中擔任助教，她欣然接受。
如今，Cairo已被馬里蘭大學錄取，並將於今秋開始她的博士研究。在那裡，她希望組建自己的研究團隊。
在馬里蘭大學，她將繼續在張教授的指導下展開研究。她滿懷感激地回憶道：
張教授對我幫助巨大，我心懷感激。除了他講的那門我非常喜歡的課程，他還花了無數時間親自輔導我。
參考資料：
https://arxiv.org/abs/2502.06137
https://english.elpais.com/science-tech/2025-07-01/a-17-year-old-teen-refutes-a-mathematical-conjecture-proposed-40-years-ago.html
https://www.youtube.com/watch?v=3ZeH_8sTyKA
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