圖源：Pixabay
導讀：
學習數學，卻不知數學思維，或忽視數學思維的培養，猶如建造一座大樓而沒有堅固的地基。
[英]伊恩·斯圖爾特 [英] 戴維·托爾 | 撰文
姜喆 | 翻譯
數學並非由計算機憑空計算而來，而是一項人類活動，需要人腦基於千百年來的經驗，自然也就伴隨著人腦的一切優勢和不足。你可以說這種思維過程是靈感和奇蹟的源泉，也可以把它當作一種亟待糾正的錯誤，但我們別無選擇。
人類當然可以進行邏輯思考，但這取決於如何理解問題。一種是理解形式數學證明每一步背後的邏輯。即便我們可以檢查每一步的正確性，卻可能還是無法明白各步如何聯絡到一起，看不懂證明的思路，想不通別人如何得出了這個證明。
而另一種理解是從全域性角度而言的——只消一眼便能理解整個論證過程。這就需要我們把想法融入數學的整體規律，再把它們和其他領域的類似想法聯絡起來。這種全面的掌握可以讓我們更好地理解數學這一整體，並不斷進步——我們在當前階段的正確理解很可能會為未來的學習打下良好基礎。
反之，如果我們只知道“解”數學題，而不瞭解數學知識之間的關係，便無法靈活運用它們。
這種全域性思維並非只是為了理解數學之美或者啟發學生。人類經常會犯錯：我們可能會搞錯事實，可能做錯判斷，也可能出現理解偏差。在分步證明中，我們可能無法發現上一步推不出下一步。但從全域性來看，如果一個錯誤推出了和大方向相悖的結論，這一悖論就能提醒我們存在錯誤。
比如，假設100 個十位數的和是 137 568 304 452。我們有可能犯計算錯誤，得到 137 568 804 452 這個結果，也可能在寫下結果時錯抄成 1 337 568 804 452。
這兩個錯誤可能都不會被發現。要想發現第一個錯誤，很可能需要一步步地重新計算，而第二個錯誤卻能透過算術的規律輕鬆地找到。因為9 999 999 999×100=999 999 999 900，所以 100 個十位數的和最多也只能有 12 位，而我們寫下的卻是個十三位數。
無論是計算還是其他的人類思維過程，把全域性理解和分步理解結合起來是最可能幫助我們發現錯誤的。學生需要同時掌握這兩種思維方式，才能完全理解一門學科並有效地實踐所學的知識。要分步理解非常簡單，我們只需要把每一步單獨拿出來，多做練習，直到充分理解。全域性理解就難得多，它需要我們從大量獨立資訊中找到邏輯規律。
即便你找到了一個適合當前情境的規律，也可能出現和它相悖的新資訊。有些時候新資訊會出錯，但過去的經驗也經常不再適用於新的情境。越是前所未有的新資訊，就越可能超脫於既存的全面理解之外，導致我們需要更新舊的理解。
在思考具體領域的數學之前，可以先了解一下人類如何學習新的思想。因為基礎性問題需要我們重新思考自認為了解的思想，所以明白這個學習過程就尤為重要。每當我們發現自己並沒有完全瞭解這些思想，或者找到尚未探明的基本問題時，我們就會感到不安。不過大可不必驚慌，絕大部分人都有過相同的經歷。
所有數學家在剛出生時都很稚嫩。這雖然聽起來是句空話，卻暗示了很重要的一點——即便是最老練的數學家也曾一步步地學習數學概念。遇到問題或者新概念時，數學家需要在腦海中仔細思考，回憶過去是否碰到過類似的問題。這種數學探索、創造的過程可沒有一點邏輯。
只有當思緒的齒輪彼此齧合之後，數學家才能“感覺”到問題或者概念的條理。隨後便可以形成定義，進行推導，最終把必要的論據打磨成一個簡潔精妙的證明。
我們以“顏色”的概念為例，做一個科學類比。顏色的科學定義大概是“單色光線照射眼睛時產生的感覺”。我們可不能這樣去教孩子。（“安傑拉，告訴我你的眼睛在接收到這個棒棒糖發出的單色光後產生了什麼感覺……”）首先，你可以先教他們“藍色”的概念。你可以一邊給他們展示藍色的球、門、椅子等物體，一邊告訴他們“藍色”這個詞。然後你再用相同的方法教他們“紅色”“黃色”和其他顏色。
一段時間之後，孩子們就會慢慢理解顏色的意義。這時如果你給他們一個沒見過的物品，他們可能就會告訴你它是“藍色”的。接著再教授“深藍”和“淺藍”的概念就簡單多了。
重複這種過程許多次後，為了建立不同顏色的概念，你還需要再重新來一遍。“那扇門是藍色的，這個盒子是紅色的，那朵毛茛是什麼顏色的呢？”如果孩子們能回答“黃色”，那就說明他們的腦海中已經形成了“顏色”這一概念。
孩子們不斷成長，不斷學習新的科學知識，可能有一天他們就會見到光線透過稜鏡形成的光譜，然後學習光線的波長。在經過足夠的訓練，成為成熟的科學家之後，他們就能夠精準地說出波長對應的顏色。但對“顏色”概念的精確理解並不能幫助他們向孩子解釋“藍色”是什麼。在概念形成的階段，用波長去清楚明白地定義“藍色”是無用的。
數學概念也是如此。讀者的頭腦中已經建立了大量的數學概念：解二次方程、畫影像、等比數列求和等。他們也能熟練地進行算術運算。我們的目標就是以這些數學理解為基礎，把這些概念完善到更復雜的層面。我們會用讀者生活中的例子來介紹新概念。隨著這些概念不斷建立，讀者的經驗也就不斷豐富，我們就能以此為基礎更進一步。
雖然我們完全可以不借助任何外部資訊，用公理化的方法從空集開始構建整個數學體系，但這對於尚未理解這一體系的人來說簡直就是無字天書。專業人士看到書裡的一個邏輯構造之後，可能會說：“我猜這是‘0’，那麼這就是‘1’，然後是‘2’……這一堆肯定是‘整數’……這是什麼？哦，我明白了，這肯定是‘加法’。”但對於外行來說，這完全就是鬼畫符。要想定義新概念，就要用足夠的例子來解釋它是什麼，能用來做什麼。當然，專業人士通常都是給出例子的那一方，可能不需要什麼理解上的幫助。
數學概念就是一組系統的認知——它們源於已經建立的概念的經驗，以某種方式互相關聯。心理學家把這種系統的認知稱作“基模”。例如，孩子可以先學習數數（“一二三四五，上山打老虎”），然後過渡到理解“兩塊糖”“三條狗”的意思，最後意識到兩塊糖、兩隻羊、兩頭牛這些事物存在一個共通點——也就是“2”。那麼在他的腦海中，就建立起了“2”這一概念的基模。
這一基模來源於孩子自身的經驗：他的兩隻手、兩隻腳，上週在田地裡看到的兩隻羊，學過的順口溜……你會驚訝地發現，大腦需要把許多資訊歸併到一起才能形成概念或者基模。
孩子們接著就會學習簡單的算術（“假設你有五個蘋果，給了別人兩個，現在還剩幾個”），最終建立起基模，來回答“5 減 2 是多少”這種問題。算術有著非常精確的性質。如果 3 加 2 等於 5，那麼 5 減 2 也就等於 3。孩子們在理解算術的過程中就會發現這些性質，之後他們就可以用已知的事實去推導新的事實。
假設他們知道8 加 2 等於 10，那麼 8 加 5 就可以理解為 8 加 2 加 3，那麼這個和就是 10 加 3，結果是 13。孩子們就這樣慢慢地建立了整數算術這一內容豐富的基模。
如果你這時問他們“5 減 6 得多少”，他們可能會說“不能這麼減”，或者心想成年人怎麼會問這種傻問題，尷尬地咯咯笑。這是因為這個問題不符合孩子們腦海中減法的基模——如果我只有 5 個蘋果，那不可能給別人 6 個。而在學習過負數之後，他們就會回答“ -1”。為什麼會有這種變化呢？這是因為孩子們原有的“減法”基模為了處理新的概念產生了變化。
在看到了溫度計刻度或是瞭解了銀行業務之後，對於“減法”概念的理解就需要改變。在這個過程中，可能仍會心存困惑（ -1 個蘋果是什麼樣的？），但這些困惑最終都會得到令人滿意的解釋（蘋果數量和溫度計讀數存在本質區別）。
學習過程有很大一部分時間就是讓現有的基模變得更復雜，從而能夠應對新概念。就像我們剛剛說的，這個過程確實會伴隨著疑惑。要是能毫無困惑地學習數學該有多好。
可是很不幸，人不可能這樣學習。據說2000 多年前，歐幾里得對托勒密一世說：“幾何學習沒有捷徑。”除了意識到自己的困惑，瞭解困惑的成因也很重要。在閱讀本書的過程中，讀者將會多次感到困惑。這種困惑有時源於作者的疏忽，但一般可能是因為讀者需要修正個人的認知才能理解更一般的情形。
這是一種建設性的困惑，它標誌著讀者取得了進步，讀者也應當欣然接受——要是困擾太久那就另當別論了。同樣，在困惑得到解決後，一種理解透徹的感覺就會伴隨著莫大的喜悅油然而生，就好像完成了一幅拼圖。
數學確實是一種挑戰，但這種達成絕對和諧的感覺讓挑戰成為了滿足我們審美需求的途徑。
本文摘自《基礎數學講義》，《賽先生》獲人民郵電出版社授權釋出。
BOOK TIME
《基礎數學講義》
[英]伊恩·斯圖爾特 [英] 戴維·托爾 著
姜喆 譯
人民郵電出版社/圖靈新知
2024年11月出版
本書旨在將正規化的數學學習和研究方法變為讀者的潛在思維模式，將數學直覺磨成鋒利的工具，從而切入問題的核心。讀者在瞭解更廣闊的數學世界後，將看到定義和證明如何帶來令人驚歎的新方法，學會如何讓數學思維視覺化、象徵化。
本書適合希望進一步學習數學的高中生和大學本科生，即便是隻有初等數學水平的大眾也可以從中理解數學的基本思想和思維過程。
作者簡介：
伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart），英國皇家學會會員，曾獲英國皇家學會的“法拉第獎章”、美國科學促進會的“公眾理解科學技術獎”和英國倫敦數學學會與英國數學及應用研究院頒發“塞曼獎章”，英國沃裡克大學數學系榮退教授。在專業研究之餘，他積極致力於向公眾傳播數學，並著有多部優秀數學作品，如《改變世界的17個方程》《不可思議的數》《誰在擲骰子？不確定的數學》以及“數學萬花筒”系列等，其中《改變世界的17個方程》榮獲美國數學協會頒發的“尤拉圖書獎”。
戴維·托爾（David Tall），華威大學教授，長期研究從孩童到成人乃至數學家的數學思維發展、相關的學習和教育方法，包括如何體現數學思想，如何用語言談論並閱讀數學，如何理解算術、代數、微積分等內容。
《伊恩·斯圖爾特系列（全6冊）》
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