beginning
試想一個場景，你和另外兩個人正在河岸上一起散步，突然，不遠處的靜水中央 B 處傳來一位女子的求救聲。你們三個人都會游泳，且你們體能是一模一樣的（游泳速度和跑步速度分別一樣），初始位置也都看作是在同一處 A。
場景示意圖 | 圖中元素來源：《男子高中生的日常》動漫
恰好此時，一位外援使用了一項改變時間的技能“亂金柝”——你們現在都有五分鐘的時間去思考你們各自的路線，而外界只過去 0.5 秒。之後將恢復正常。
圖源：《一人之下》漫畫
於是你開始仔細考慮這個問題。最先出來的想法是：兩點之間直線最短。因此從你的位置往落水女子的位置連一條線，按照這個路線走應該會最快。這正是你的一位同伴 A 所選擇的路線 1，他已經準備好了。
路線 1 示意圖
還好你沒有滿足於此，又往下多想了一層：不對！我在岸上跑步的速度明顯要快於在水中游泳的速度！所以我應該在岸上多跑一會兒，使得游泳的距離儘可能短。你的另一位同伴顯然也想到了這一點，於是他選擇了路線 2，使得游泳的距離最短，他也已經準備好了。
路線 2 示意圖
此時你的心裡隱隱有些不安：路線 2 就是最佳的嗎？雖然游泳的距離變短了，但我犧牲了跑步的距離，這種犧牲到底在多大程度上才算值得呢？
幸好你有著紮實的數學基礎，於是你開始定量計算。你知道，你們三個人游泳的速度都是 v，而跑步的速度會快一些，是 1.33v。並且最佳路徑一定是在路線 1 和路線 2 之間。我們先假設最終的答案是路徑 ACB，接下來我們來證明它確實是時間最短路徑（對推導不感興趣的朋友可以直接跳過下一部分）。
最佳路線 ACB 示意圖
part 1
數學證明
首先，如果 ACB 確實是最短路徑，那麼取任何別的路徑所需的時間都會更長，因此若以所需的時間對河岸上點的位置作圖，將得到類似下面這條曲線——時間 t 在 C 點處應該取極小值。
最佳點 C 應該位於極小值處
這就是說，如果我們將 x 移到鄰近 C 的各點，一級近似下時間基本不變（曲線底部的斜率為零）。因此，我們就有了證明 ACB 是時間最短路徑的一個關鍵點——把位置做很小的移動，而時間基本不變！
於是我們把 D 點取在離 C 點很近的地方，現在我們要列出等式：
做出垂線 、，在 D 點離 C 點很近的情況下，可以看作 、，也就是說，現在的 ADB 路線使得在岸上跑的距離少了 EC 的長度，但是在水中游泳的距離多出來DF 的長度。
兩條路線在一級近似下應耗時相同
利用三角形的正弦定理，可以知道：、，而 、，進行替換之後，很容易得到：
part 3
斯涅耳折射定律
對於這個式子，你突然覺得非常熟悉……這裡的 1.33 是我們跑步的速度除以游泳的速度得到的值，是一個特定情形下的，那麼如果要考慮更加普適的情況，我們完全可以用 n 來代替 1.33。這樣，上面的式子就變成：
沒錯，這正是斯涅爾提出的著名的折射定律！
斯涅耳與折射現象 | 圖源：blog.sciencenet.cn
水的折射實景 | 圖源：jingyan.baidu.com
對於不同的介質，折射率有不同的特定值， 反映的是真空中光速與在該介質中的光速的比值。例如，水的折射率正是 1.33（看來你和光的速度雖然不一樣，但“折射率一樣”），水晶的折射率是 1.5，鑽石的折射率是 2.4 等等。
於是你恍然大悟，光所選擇的的路徑，就是你應該走的路徑。而女子身上處於水中的鞋子恰好帶有一圈反光能力很強的裝飾品，於是你順著它所發射出的到達你眼裡的光線，成為第一個到達美女身邊的人！
救上岸之後，女子很快清醒過來，她對你十分感激，一定要報答你！於是她說道：“好孩子，你這個暑假的物理作業可以不做了！”
你看著你的這位美麗的物理老師誠懇的眼神，義正言辭：“不，老師！物理幫助我進步，使我快樂！我一定要好好做物理暑假作業！”
（故事情節部分純屬編撰，請勿當真。）
continuing
費馬時間最短原理
物理老師知道你的解題思路，對你大加讚賞。她看向天邊的落日，說道：“斯涅爾在 1621 年是透過實驗資料歸納出折射定律，1650 年費馬對這個定律進行了解釋，提出著名的‘費馬最短時間原理’——在從一點行進到另一點的所有可能的路徑中，光走的是需時最短的路徑。你剛才所應用的正是費馬最短時間原理。
費馬皮埃爾·德·費馬畫像 | 圖源：kelionline.com
“這是一個偉大的成就，也在斯涅爾的基礎上更進一步，成功預言出新的東西。
“例如，我們有三個介質：空氣（1）、水（2）、水晶（3），空氣的折射率可以看作 1，空氣對水的折射率 ，空氣對水晶的折射率。那麼，光線從水入射到水晶，應該怎麼偏折呢？也就是說，水對水晶的折射率應該是多少？從費馬最短時間原理出發，這個問題很好解決，答案就是光在水和水晶這兩種介質之間的速度的比值：。
“而只用斯涅爾定律，我們就無法直接得到這類預言，除非引入新的假定條件（在一種物質的表面上加一層另一種物質，不會改變光在後一種物質中最終的折射角）。事實上，實驗觀測確實表明這種折射率之間的‘傳遞’是正確的。”
你的同學 B 發現物理老師始終注視著夕陽，覺得很好奇，不禁仔細思索了一番，突然恍然大悟：“老師，我們雖然能看到落日，但實際上，它是不是可能已經在地平線以下了！因為地球的大氣高處稀薄，低處稠密，所以，按照費馬最短時間原理，如果光選擇在高處多走一會，以使得低處透過的距離更少，那樣的話所用時間就會更短了！”
表觀看到的落日實際位於地平線以下
物理老師對 B 同學露出了讚賞的表情，A 同學也不甘示弱，提出了一個問題：“折射率描述的是真空光速與介質光速的比值，而光速不能超過真空光速，所以折射率應該大於等於 1 才對。可是為什麼我看到有的材料折射率小於 1 呢？比如金的折射率就是 0.47。”
“這是一個很好的問題！實際上，在一個特定的頻率下，折射率可以大於 1 也可以小於 1，從傳送訊號的角度，折射率告訴我們的是波節傳播的速率，數學上的波節確實可以比光速傳播快，但這並不意味著訊號傳播的實際速率比光速快。這個問題很複雜，如果想知道的話，以後一定要學好物理！”物理老師露出了讚賞和鼓勵的美麗笑容。
最後，你們四人在“地平線以下的”夕陽的照耀下離開河邊，只覺物理果真讓人如痴如醉、興致盎然。
（讀者朋友們如果對摺射率小於 1 這一現象感興趣，可以閱讀光學相關書籍，也可以參考《費曼物理學講義》第一卷第 48 章的內容。）
參考資料：
1. 《費曼物理學講義》第一卷第 26 章
編輯：紫竹與