作者：關注前沿科技
轉載：量子位
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正文
17歲少女只是做了一份家庭作業，40年前數學猜想便被推翻。
Mizohata-Takeuchi猜想，誕生於上世紀80年代，是連線調和分析、偏微分方程和幾何分析的核心橋樑。
它提出只要每條直線方向的權重積累都不太大，傅立葉傳播也不會非常集中。一直以來人們都認為這一猜想是正確的，它也被視為通向解決傅立葉限制猜想的希望之一。
如果它被推翻，幾十年來關於傅立葉限制、PDE良性等核心問題的思考，也要重新更改思路。比如Stein猜想也將不成立。
才17歲的漢娜·凱羅，在今年扔下了這枚“重磅炸彈”。
原本她只是完成導師安排的家庭作業，論證Mizohata-Takeuchi猜想的更簡單形式。沒想到，她卻找到了Mizohata-Takeuchi猜想的反例。
這結果有多不可思議呢？她也是花了很長一段時間，才成功說服導師張瑞祥，自己提出的反例是對的。
張瑞祥，本科畢業於北大數院，博士畢業於普林斯頓。現在是UC伯克利數學系助理教授，是現代調和分析、偏微分方程、組合幾何領域的重要學者。2023年獲得有“菲爾茲風向標”之稱的SASTRA拉馬努金獎。
值得一提的是，今年2月陶哲軒還預告了這一重磅成果。
01
找到反例推翻猜想
首先簡單瞭解下傅立葉分析，它是一種重要的數學工具，核心思想是把複雜的函式分解成一組正弦波或餘弦波組合。
它能把看起來複雜的物件（如訊號、影像、函式）變成頻率的疊加，常用領域包括訊號處理、音訊分析、金融等。
Mizohata–Takeuchi猜想正是出現在傅立葉分析和偏微分方程（PDE）領域，最初源自對某類一階擾動的薛定諤方程的良定性（well-posedness）問題的研究，後來成為傅立葉限制性理論中的一個重要問題。
它源於上世紀70-80年代對偏微分方程解的良定性問題的研究，特別是對一階擾動的薛定諤方程的行為分析。
在這一過程中，人們發現某些傅立葉變化相關的加權L2不等式與解的存在性和唯一性密切相關。
更通俗一點類比，假設你在一個房間裡說話，聲音從嘴巴里發出，向各個方向傳播。現在數學家們關心一個問題：
如果你在某些方向上掛了吸音板（相當於給這些方向加上了一個“權重”），那你能不能透過“這些方向上的吸音效果”，來估計你說話的總音量？
這個“總音量”用傅立葉延拓運算元（extension operator）表示，“方向上的吸引效果”是X-ray transform，也就是沿每條直線把權重w(x)加起來。
如果你知道w(x)沿所有直線方向的積分都不大，那麼這個傅立葉擴充套件Ef(x)在整個空間的加權L2也不會太大。
具體形式如下：
對於任意C2的曲面
，設擴充套件運算元為：
猜想認為存在如下加權不等式成立：
其中E(f)是f的傅立葉延拓運算元，Xw是w的X-Ray transform。
漢娜正是對此提出了一個反例——
對於任意不在某個平面上的C2曲面Σ，可以構造：
-
一個
，
-
非負權重函式
，
使得：
這表明對於某些特定的f和w，積分的下界比猜想中的上界多了一個log R的因子，這意味著Mizohata–Takeuchi猜想整體不成立。
具體來看，作者首先證明了關於正測度的X-Ray transform變換的Lp估計，對於滿足
的函式h，證明了：
其中p∈[1,∞]且
。
利用projection-slice定理，將X-Ray transform與傅立葉變換聯絡起來；透過Minkowski不等式和Hausdorff-Young不等式，推匯出上述估計。當p=∞時，證明了估計的最優性。
然後構建反例。作者透過選擇超曲面Σ上的一組R-1點
，其中N~log R，並構造一個特殊的格點集Q，使得這些點的平移和組合能夠產生足夠多的重疊，從而導致積分下界顯著增加。
然後作者又構建了一個幾何引理，證明存在一組點
，使得這組點的投影在任何方向上都不會有過多重疊。這個引理確保了反例構造的有效性。
此外，論文還提出了一種區域性版本Mizohata–Takeuchi猜想。
即引入Rε的微弱損失是否仍可能使不等式成立。
02
17歲數學少女，即將開始讀博
最後，來看一下帶來如此突破的17歲女孩漢娜·凱羅。
她出生在巴哈馬群島，“打記事起就對數學很感興趣”。
她正式開始深入高等數學領域，是搬到美國後。還是高中生的她參加了UC伯克利的數學夏令營。在此期間，她給教授們寫信表示自己讀過哪些領域的書，可不可以上他們的課。
許多人都答應了，其中就包括張瑞祥。
她能推翻這一猜想，也是源於張瑞祥的一次家庭作業——給幾個猜想讓她選一個開始論證，但沒想到漢娜直接“陷”了進去，她唯一能想到的就是一種新方法，並且逐漸意識到只要自己正確應用這些資訊，她便能反駁這一猜想。
最終結果我們已經看到了，她真的成功了。
如今，這位天才少女已經在國際學術會議上登臺演講，她表示自己不緊張，而且樂在其中。
畢竟她日常也經常給別人講解問題，包括比自己大的學生。
此外值得一提的是，漢娜的導師張瑞祥，也有著相似的傳奇經歷。
他中學時期就讀於人大附中，2006年至2008年，連續三次入選中國數學奧林匹克國家集訓隊。
2008年，他代表中國參加第49屆國際數學奧林匹克競賽（IMO），並榮獲金牌。
那一年，他的隊友、同桌是韋東奕。
△前排右一：張瑞祥，後排右二：韋東奕
同年，張瑞祥考入北京大學數學院。
本科期間，在大神無數的北大數院張瑞祥也是妥妥的“拿獎王”，不僅獲得北京大學五四獎章、國家獎學金、廖凱原獎學金、三好學生等多項榮譽。
同時斬獲第三屆全國大學生數學競賽（數學類）全國一等獎，第二屆丘成桐大學生團體金獎，以及個人代數銀獎、幾何銀獎、分析銀獎，個人全能金獎等。
2017年，張瑞祥獲得普林斯頓大學博士學位。
畢業後，他先後在普林斯頓高等研究院（IAS）和威斯康星大學麥迪遜分校開展博士後研究。2021年，他正式加入加州大學伯克利分校數學系，成為助理教授。
張瑞祥的主要研究領域是調和分析，尤其在以下兩個方向作出貢獻：
-
卡爾森關於薛定諤方程解的逐點收斂問題；
-
索格波動方程區域性平滑猜想的二維情況。
2019年，他與合作者在《數學年鑑》發表論文，提出了一種全新技術，針對性地從多個維度解決了卡爾森提出的問題。
2023年，張瑞祥榮獲SASTRA拉馬努金獎——該獎被稱為“菲爾茲獎的風向標”，授予全球32歲以下在數論或相關領域做出傑出貢獻的年輕數學家。
接下來，漢娜將赴馬里蘭大學攻讀博士學位（還希望組建自己的團隊），張瑞祥將繼續擔任她的導師。
參考連結：[1]https://archive.ph/Nr1hH[2]https://sites.google.com/view/ruixiang-zhang/[3]https://news.pku.edu.cn/xwzh/ba884a6e751447159d1629ad6267f0ee.htm
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