一
新年好！
請你來做一個簡單的數學題：
下面這個無窮數列的結果是多少？
1-1+1-1+1-1 + ……=？
如果我們從不同位置分組，會得到不同的結果：
-
(1-1)+(1-1)+(1-1)+… = 0+0+0+… = 0
-
1+(-1+1)+(-1+1)+… = 1+0+0+… = 1
那麼，到底是0還是1呢？
這就是著名的格蘭迪數列，18世紀的數學家們曾經被其困擾。
萊布尼茨的解法很巧妙：
設這個無窮數列的和為S，那麼：
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + …) = 1 – S
這樣我們得到一個方程： S = 1 – S
解這個方程： 2S = 1
得出：S = 1/2
萊布尼茨所用的方法，就是遞迴思維。
儘管從現代數學的嚴格性來看是有問題的，但這個推理過程十分巧妙。
二
遞迴，是一種透過自我重複來解決問題的方法。
用更專業的語言來說，就是：
在解決一個問題時，把這個問題轉化為一個或多個更小的同類問題，並不斷往下分解，直到達到一個能夠直接解決的“最小規模”或者“簡單情況”，這時就“停止”並向上返回結果。
看起來或許有些抽象，那讓我們從幾個常見例子談起：
1. 遞迴故事與死迴圈
最經典、也是最容易陷入“迴圈”困境的例子，大概是這樣的故事：
“從前有座山，山上有座廟，廟裡有個和尚在講故事：從前有座山，山上有座廟，廟裡有個和尚在講故事：從前有座山……”
這個故事因為沒有明確的終止條件，會無限往下展開，形成“死迴圈”。
在程式設計裡，如果我們忘記設定結束條件，就會出現類似的問題——程式永遠執行下去，最終甚至會崩潰。
2. 俄羅斯套娃：完善的終止條件
“俄羅斯套娃”是更好的遞迴示例：最外層的娃娃開啟後，裡面是一個小一號的娃娃；再開啟它，裡面還套著一個更小的……
這個過程持續下去，直到最裡面那隻實心、沒有再分的小娃娃。它就是遞迴的“底層情況”或“終止條件”。
這一“最內層的娃娃”告訴我們遞迴必須要有一個明確的終止點，否則就會像和尚講故事那樣，層層巢狀卻永不結束。
3. 數學中的典範：階乘
在數學裡，階乘可謂最直觀的遞迴：
-
5 的階乘 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
-
也可以看作 5 × (4 的階乘)
-
4 的階乘又是 4 × (3 的階乘)
-
… 直到 1 的階乘 = 1 為止。
這其中，“1 的階乘 = 1”就是我們的最小情況或終止條件，保證了這個遞迴過程能夠最終收斂並返回結果。
在總結前面例子的基礎上，我們可以看到，一個完整而安全的遞迴需要具備以下兩大要素：
a、把問題轉化為更小的同類問題
例如，5 的階乘拆分為 5 × 4 的階乘，4 的階乘又繼續往下分解；
俄羅斯套娃也是一次開啟就獲得更小的娃娃。
b、有明確的終止條件
1 的階乘定義為 1；
俄羅斯套娃開啟到最裡面的那層；
若缺少終止，整個過程可能進入“死迴圈”。
就像走樓梯，你知道下一步該往哪裡踩（遞迴過程），也知道走到頂端的哪一級階梯就可以停（終止條件）。缺少任何一個要素，遞迴就會失控。
回到格蘭迪數列的例子，萊布尼茨用 S = 1 – S 這個簡短的遞迴式來“定義”了一個無窮序列的和。
雖然從現代數學的嚴格性看，它並不完美，但這種以自我呼叫的方式對付無窮級數的思路，依然體現了遞迴的優雅與力量。
事實上，很多數學方法（如遞推關係、歸納法等）都含有類似的思維：
不斷把問題往回帶，再由結果指向問題本身，形成自我迴圈。
三
遞迴在自然界，遞迴的身影無處不在：
植物分枝、河流支流、雲層形態等，都可用重複相似的規則來模擬，形成層層巢狀又自相似的分形結構。
生物胚胎學中，細胞一次次自我複製與分化，最終構建出不同器官與組織，背後也暗含著遞迴式的生長邏輯。
數學裡，除了階乘與歸納法，形如斐波那契數列、漢諾塔問題、分形幾何等都藉助遞迴思維來求解或表達複雜模型。
計算機科學更是將遞迴運用得淋漓盡致：
從經典的快速排序、合併排序，到編譯器設計中對語法結構的自我解析，再到人工智慧中的迴圈神經網路（RNN）、LSTM等框架，都是“函式呼叫自身”在演算法與程式架構上的有力體現。
現代經濟學、金融學也不乏遞迴的影子：
投資者常提及的“複利效應”，正是讓每一階段的收益再次投入，從而層層疊加，呈現指數式增長；
而市場中的“我猜你猜我猜”心理博弈，則構成多重回環的動態過程。
在心理學與社會學領域，個體與環境彼此塑造的迴圈亦可視為遞迴：
一方面，我們的行動塑造身處的環境，另一方面，環境又影響並修正我們的後續行為。
哲學中，涉及自指（Self-reference）與無限回溯的邏輯悖論，更像是沒有終止條件的函式——一旦形成自我引用，便可能導致思維的迴圈或矛盾。
在藝術創作中，遞迴產生了獨特的美感，例如埃舍爾的版畫《畫手》、中國的"煙壺畫中畫"，都巧妙運用了遞迴來創造出引人深思的視覺效果。
而人類語言本身就具有遞迴性質，我們可以無限巢狀地表達"我知道你明白他懂得…"這樣的複雜概念。
這種語言特徵被認為是人類認知能力的重要標誌，也凸顯了遞迴思維在人類智慧中的核心地位。
正因如此，遞迴不僅是一種在數學、程式設計中備受青睞的技巧，也是一條貫穿自然與社會、個人與群體的“隱形線索”：
只要存在不斷重複的規則或自我呼叫的結構，遞迴就能為我們提供新的視角來理解事物的發展與演化。
它揭示的，是如何由簡單的區域性規則，反覆迭代出無限深遠的可能性，從而讓我們洞察到世界的層層疊疊與生生不息。
四
在社會互動與競爭中，遞迴思維展現出獨特的威力。
最典型的例子，就是凱恩斯提出的"選美競賽"問題：
投資者不是在選擇自己認為最美的選手，而是要預測"大多數人認為大多數人認為最美"的選手。這就形成了一個典型的遞迴思維鏈–
我認為 → 別人認為 → 別人認為別人認為 → …
這種思維模式在現代金融市場中無處不在。
股票投資者不僅要判斷一家公司的真實價值，更要預測其他投資者對這家公司的判斷，甚至要預測"其他投資者如何預測其他投資者的判斷"。
這種層層遞進的思考過程，本質上就是一個遞迴結構。
在競技性博弈中，遞迴思維的應用更為直接。以德州撲克為例，一個高水平玩家需要：
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判斷對手的牌力範圍
-
預測對手對自己牌力的判斷
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推測對手會如何應對自己可能的行動
-
思考對手會如何預測自己對他行動的反應
這種"我思考你思考我思考你"的過程，形成了一個深度遞迴的推理鏈。
高手對決時，這種遞迴層次可能達到四層甚至更多。
在國際象棋等策略遊戲中，遞迴思維體現為對局勢的深度計算：
-
如果我走這步，對手可能會怎麼應對？
-
對手這樣應對後，我該如何反制？
-
在我反制後，對手又將如何調整？
每深入一層，可能性就會成倍增加，這就是為什麼計算機在下棋時需要"剪枝"——即在遞迴到一定深度時及時停止，避免計算量爆炸性增長。
博弈論中的"納什均衡"概念，本質上也是一個遞迴結構：
每個參與者的策略都是對其他參與者策略的最優反應，而其他參與者的策略又是對這個參與者策略的最優反應。
這種相互依存的關係，構成了一個完美的遞迴定義。
在這些博弈場景中，遞迴思維幫助我們：
-
構建對對手策略的多層次理解
-
預測市場的整體走向
-
制定最優的應對策略
然而，正如格蘭迪數列一樣，在實際博弈中，過度的遞迴思維可能導致"分析癱瘓"。
事實上，在這個世俗世界上，很少有人需要用到下棋的那種太深的遞迴。而德州撲克高手往往更能贏得紅塵名利中的爭奪，
因此，找到適當的遞迴深度，在理性分析和直覺判斷之間取得平衡，才是真正的智慧所在。
順著這個話題，可以有兩個有趣的分支，一個關於投資，一個關於維克瑞拍賣（以及如何避免“精神遞迴”）。也許我會單獨再寫。
五
在社遞迴思維給我們的最大啟示，或許在於它揭示了複雜世界的生成邏輯：
看似繁複的事物，往往源於簡單規則的重複迭代。
正因如此，我們在面臨各種挑戰時，也能用“自我呼叫”的方式進行拆解與前進，從而在日常生活、事業或個人成長中獲得持久動力。
以下幾點或許能為你提供些許思考：
1. 複雜源於簡單的累積
就如同分形圖案由簡單規則生成壯麗圖景，人生中的重大成就也常來自基本功的反覆錘鍊。
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持續迭代：每天進步一點兒，一年後收穫可能是不少倍的提升，這正是“小量改變 × 不斷重複”所帶來的巨大差異。
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複利效應：在投資與學習中，小額度的持續投入會隨著時間的推移而成倍放大，恰似遞迴程式一次次“返回”成功的產出。
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實踐-總結-改進：讓每次練習或嘗試都成為下一次行動的起點，讓經驗和反思反哺新目標，形成正向的迭代迴圈。
2. 找準遞迴的“終止條件”
如同程式必須設定結束條件以防止死迴圈，人生中也需要給各種“遞迴”行為明確的邊界。
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思考有度：過度分析易陷入“決策癱瘓”。懂得適時收束，才能保持行動效率。
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平衡完美和交付：不必追求面面俱到，知道何時“夠好即可”，是避免陷入無休止打磨的關鍵。
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知道何時停止深入：當某條路徑無法再帶來收益或動力，就要考慮轉向或暫停，防止在錯誤迴圈裡耗損精力。
3. 理解“反饋迴圈”
個人成長可視作一個典型的“輸出—輸入”遞迴過程：
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我們的行動塑造環境；
-
環境的反饋又影響我們下一步的決定；
-
若是良性迴圈，正向反饋會促進自我提升；若是負向迴圈，則需及早打破它。
學會觀察並利用這種互相塑造的機制，才能在反覆迭代中持續進步，也能更敏銳地覺察到問題所處的“死迴圈”節點。
4. 把握“遞迴深度”
在社會互動與競爭中，過度遞迴可能讓人陷入盲目猜測，“我以為你以為我以為…”無限延伸，最終導致效率低下或自我懷疑。
-
理性+直覺：理性分析固然重要，但適度留白給直覺與經驗，能避免深陷不必要的迷宮。
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適時截斷：無論是博弈、談判還是職場溝通，知道在何處停止推演，在哪一點達成策略決策，是一門高超的技巧。
5. 善用“自我引用”
遞迴最迷人的地方在於自我指涉，它提示我們要定期反思過去，讓經歷與失敗成為新一輪行動的養分。
-
反思與總結：像“函式返回”一樣，階段性覆盤能讓你在“下一層迴圈”開始前就吸取經驗。
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自我覺察：每一次“我為什麼這樣想？”或“我為什麼這樣做？”都是一次“自指”，不斷幫助我們校準前行的方向。
在這個日益複雜的時代，遞迴思維讓我們用“簡單原則”應對“複雜現實”。它提示我們：
在“迴圈往復”中尋找增益，在“層層遞進”裡掌握平衡，不斷透過反饋、反思與改進讓自己螺旋式地向上。
正如分形的美在於用有限的公式生成無窮複雜，我們的成長亦可在小小的日常行動中迭代深化，以簡馭繁、以不變應萬變。
這，或許就是遞迴帶給我們的最大智慧。
六
在朋友圈看到有人說，今年春節有點兒奇怪，群裡發紅包的少了，各種不那麼熱鬧。
但春節就是春節，春節為每個人提供了一個逃避時間壓迫的特權。–這對於勤勞的國人而言無比稀缺。
在這短暫的時間裡，我們不免適當逃避，也都在有意識無意識地進行年度“遞迴”。
遞迴的"自我引用"可以是正向的，把過去的經歷當作新的引數，以好奇心開啟新一年的迭代；
也可能是負向的，在自我否定中越陷越深，讓每一次回顧都成為新的打擊，最終形成沒有終止條件的精神內耗。
這種差別，恰如我們在遞迴中常說的：
一個設定了明確終止條件並向上返回結果；
另一個則像和尚講故事般永無止境地消耗下去。
這幾天我看了李一兵寫的《蘇東坡新傳》，寫得真好。很慚愧，此前我幾乎算不上“知道”蘇東坡。
即使是在文化至上的宋朝，大學士蘇東坡的大半生都是在不如意和流亡中度過的。
但蘇東坡幾乎從來不用“自我批判”來實現某種內心的躲避，哪怕他的確做了很多傻事，有些是因為追求正義，有些是因為書生意氣，有些純粹就是傻。
他幾乎從未自我摧毀，哪怕這種看起來似乎荒唐的手段對個體真的有效。
他最多隻是自我調侃，然後把自己還原為一個點，一種存在，進而從更大的空間和時間尺度有所傷，有所感，有所悟，每每悲痛至極，都能躍升至另一層次，看見更廣闊的時空。
蘇東坡僅僅用一支筆，就觸及到了宇宙萬物間的奇妙之極–那種奇妙需要許多年後靠黎曼幾何與愛因斯坦的狂想才能再次被描述。
儘管事實上，蘇東坡在世俗意義上，甚至在肉體上，被對手徹底擊垮了–毫無留情，毫無尊嚴，毫無希望。
可蘇東坡在精神世界上絕無妥協。他甚至無暇向上天哀怨，向朋友乞憐，向敵手怒吼。
他的並不強健的肉體只是強大的精神世界與人世間的某個介面。人世間或喜或悲的處境，都是一個遞迴的起點，讓他能夠從這個"點"出發，透過思想的力量，在更高維度上重新審視自我，感知宇宙。
每一次的困境都成為一次向上的遞迴呼叫，讓他得以躍升到更高的精神境界。
最後
蘇東坡給出了一個答案：
若想在一生之中真正體驗“遞迴式”的生長與昇華，最持久且不受外物擠壓的舞臺，莫過於我們內心的精神世界。
物質層面上，所謂“複利”常常夾雜變數與波折，再勤奮的人也未必能如願獲得穩定且豐厚的回報；名利場上更是風雲難測，即便一度顯赫，也可能因局勢演變而黯然失色。
然而，精神的“遞迴”卻獨具一片自由天地。
我們每一次的思考、閱讀、歷險、欣賞或掙扎，都會在內心深處沉澱為新的感悟，並在下一次的磨礪與覺醒中被再次呼叫，融匯成更廣闊的視野與更強韌的心靈。–"回首向來蕭瑟處，歸去，也無風雨也無晴。"
就像蘇東坡在“起起伏伏”的人生裡，一次次把傷痛化作詩文，每一重自省與自嘲，又讓他在更深處開闢全新的靈魂空間。–"竹杖芒鞋輕勝馬，誰怕？一蓑煙雨任平生。"
無論環境如何險惡，他的精神故土牢不可破，哪怕被放逐海外，依然能夠“遞迴”故土。–“此心安處是吾鄉。”
每一場預料之外的變故或惡人的攻擊，其精神的羽翼都能展翅更高維度，讓我們得以呼吸到更寬闊、更悠遠的氣息。–“九死南荒吾不悔，茲遊奇絕冠平生。”
因此，當我們漸漸理解“遞迴思維”在解決實際問題或面對生命挑戰時的精妙，也會發現：它不僅是一種方法，更是一種人生的演算法。
外界的成功或挫敗，只是不斷巢狀進這場“靈魂演算”的具體引數；
真正重要的，是我們肯不肯一次次把過去投入當下，又在當下超越過去，不斷讓自己得以升級、進化、昇華。
就像蘇東坡那般，以自嘲為刀，向痛苦與荒唐開出一道豁口，允許靈魂再度飛昇。
或許，這就是精神世界裡“遞迴”的力量。
“蓋將自其變者而觀之，而天地曾不能一瞬；自其不變者而觀之，則物與我皆無盡也。”
無論人生沉浮何如，只要那份自我追尋與重塑的心火不滅，我們終能在下一個回合，擁有更寬闊的天地。
而在這樣不斷重複又不斷超越的迴圈中，我們不僅看見更清晰的自己，也在更廣大更靜穆的宇宙中，尋得一隅篤定與安然。
正因如此，即使眼前起伏不斷、身心疲憊，也依然可以懷抱希望——因為每一次失敗與脆弱，都將成為下一次成長與飛翔的起點。
所以，春節時分，在時間暫停壓迫你我的現在，也許可以暫時忘掉過去一年的成敗得失，也不必在意未來一年的懸而未決。
日月星辰，山河大地，依然壯闊如初。
東坡先生說了：
“惟江上之清風，與山間之明月，耳得之而為聲，目遇之而成色，取之無禁，用之不竭。是造物者之無盡藏也，而吾與子之所共適。”
何必為蠅營狗苟之事，耽擱瞭如此美好的明月清風？
“人生到處知何似，應似飛鴻踏雪泥。”
春節時分，你我都被賦予了時間或精神意義上的新起點。
此時此刻，或許蘇東坡會依照“遞迴”原則，為春節時分的我們留下這樣的勸慰：
休對故人思故國，且將新火試新茶，詩酒趁年華。
祝你和家人幸福平安，願你在新年有新意！