3月份，我和小夥伴啃起來數學思維這個話題：
上個月，發文淺說了一下👉過來人回頭看，3-9歲提升數學思維，這三步操作不能少，一石激起千層浪，留言大家提出了更多問題：
滑動檢視留言↓↓
看來天下“苦”數學久矣！面對更深層次的問題，我和小夥伴都不敢輕易回答，又抱著數學書狂啃一個月，才有了今天這篇乾貨。
現在，我們就“數學思維”這個話題往下聊，希望能幫大家更清楚地理解它、把握它，從而給孩子找到合適的方式方法。
擁有過硬的數學思維，對學習數學是多麼重要，這個相信大家都明白。
數學思維，本是指用數學思考問題和解決問題的思維活動形式，不過，在實際使用裡，它又往往指向數學能力。
所以，在本文裡，我們把數學思維綜合為：用數學去思考問題、解決問題的思維活動形式和能力。
數學是一門抽象的學科，孩子學習、運用它所需的能力，幾乎都是抽象思維。但抽象思維不是天生就有，幾乎每個人，都得經歷從具體到抽象的發展過程。
6-7歲是個分水嶺，對於此前的孩子來說，要達到數學上的理解的完備，同樣要經歷體驗-語言-圖畫-符號這4個步驟。
6-7歲之後，抽象思維漸漸形成，於是進入真正的計算階段。
關於這個發展歷程，著名的兒童心理學家皮亞傑有很重要的研究，他認為兒童學習有四個階段：
感知運算階段
(0-2歲)
前運算階段
(2-7歲)
具體運算階段
(7-12歲)
形式運算階段
(12歲左右以後)
從整體上來看：
體驗-語言的過程👉對應感知運算階段；
圖畫-符號的過程👉對應前運算階段。
6-7歲前的數學啟蒙，主要由家庭教育完成。
而6-7歲後的具體運算階段、形式運算階段，則主要由學校接手過去。
也就是說，我們心中得明確意識到，數學思維的培養和鍛鍊，從孩子牙牙學語起就開始了，家長是孩子的第一任數學老師。
順應發展規律，儘量每一步都踏在思維特點的節奏上，數學想不好都難。反過來說，如果一再錯過思維發展階段，到了小學甚至初中以後，才突然要求孩子學好數學，那時確實有點難了。
接下來，我努力把常見的數學思維和相關鍛鍊方法羅列出來，供大家參考。
1
眾說紛紜的數學思維
Mathematical thinking
數學思維究竟有哪些呢？這細說起來，可太多了，不同的專家從不同的角度、用不同的方法，給出的分類各不相同。
就拿我手上的三本數學著作來說，就有三種不同的說法。
在《讓孩子受益一生的數學思維訓練》中，作者列出了9大思維能力。
在《兒童怎樣學習數學》中，拆分更為細緻，如求同、分類、配對等。
在《給孩子的數學思維課》中，作者挑選了自己比較關注的幾點來展開。
一開始，眼花瞭亂，不知道以哪個說法為準。
但細讀、分析、歸納之後，會發現，其實它們的內容是高度一致的，只是用了不同的名詞概念、歸類方法。
在此基礎上，我們結合自己的實際經驗，總結出如下更符合普通孩子情況的分類。
2
我們總結出的8大數學思維
Mathematical thinking
總結歸納下來，我們認為最重要的是這8大數學思維。
所謂計數思維，重點在於理解數字所代表的含義。這是數學的基點，貫穿2-6歲。
2-3歲的孩子 ，是教他把最具體的事物，和數字產生聯絡。
比如：走路時數步子、在公園裡數鴨子、數盤子裡的蘋果……
比如：這裡有3個小朋友，每個小朋友1顆糖的話，一共要買幾顆糖？
比如：你有2本書，現在再買3本，你有多少本書？
計數思維的發展主要依靠家庭教育，但又很容易被忽略過去。在我看來，一步一步做好這些練習，才是真正的幼小銜接，遠比臨時抱佛腳的灌輸式課程要有效。
數學思維不是某一天憑空出現，而是在孩子學習數學之前，就日復一日地接觸、鞏固。這樣，當一年級、三年級、初中來臨，水到渠成。
在孩子剛接觸計算時，我們依靠經驗，很容易陷落在一個區域中，那就是特別喜歡問“1+1等於幾？”“2+3等於幾？”的問題。
不能說這樣不對，而是，這種問題問得多了，會僵化，會把關注點悍死在“答案”這個東西上，忽略了更重要的思維成長，如多元思維、有序思維、互補思維等。
那這些思維怎麼去啟蒙呢？我借用《讓孩子受益一生的數學思維訓練》一書中的案例來說明。
3+4=7這道題，可以用開放式的方式去問：幾+幾=7？答案有可能是2+5=7、3+4=7、1+6=7……
上面的例子比較簡單，只要我們多花點心思，就能操作起來，這時建議別讓孩子進入動口不動腦的模式，不然答案再漂亮，也粉飾不了日後思維的蒼白。
事實上，我們能介入的、最有效的時期，也就是啟蒙時期，一定要珍惜。
這裡的圖形思維，主要指幾何和空間的內容。
一個壞訊息：從數字轉入圖形，是一個思維大跳躍，孩子很容易發懵。
一個好訊息：小學階段的圖形思維不算複雜。
這方面的練習，可以從平面圖形、長度測量、認識空間三個方面來做。
推理的基礎是觀察和發現規律，這個可以從求同、分類、配對、排列這四個方面去練習。下面的示例均來自《兒童怎樣學習數學》這本書。
在數學中，可逆思維很重要，不管是題目中的應用，還是做完題後的驗證，都有它大展身手。
這個經典的報數遊戲，充分體現了可逆思維的用處，它是這樣的：
甲、乙兩人從1開始輪流報數，甲先乙後，每人可報1個或2個數，誰先報到18就算贏。試問，誰有必勝的策略？
這個問題，《給孩子的數學思維課》有詳細的論述，適合學過除法的孩子來玩。
還可以試著帶孩子玩加密遊戲，它綜合了多個思維訓練，在加密、解密的過程中，孩子能收穫不一樣的成就感。
它是個“大傢伙”，幾乎包括了前面提到的所有思維方式，是綜合運用各種思維方式的過程和方法。
如果前面各種思維是士兵，它就是調兵的將軍。
那麼，該怎麼給這位將軍大人做訓練呢？除了做數學題本身，最有效的方法，肯定是閱讀了。因為大腦在處理文字資訊時，會充分調動推理、預測、判斷等方法，自然而然地讓邏輯思維上場指揮。
其次，程式設計也可以試試。因為程式設計是以問題和目的為導向的，寫程式的過程，就是邏輯思維調兵遣將的過程。
而且它的邏輯層級很多樣，有大有小、有裡有外、有長有短，簡直是豐儉由人，適合不同年齡的孩子。
乍一看，創新思維和數學思維好像沒什麼關係，數學有很多的條條框框，並不允許天馬行空。
但如果我們把創新思維再拆分，會發現，它的基礎是發散思維、求異思維和批判性思維。這三個東西，剛好也是數學思維的重要部分。
只是，與其說培養創新思維，不如說保護、引導更合適，因為孩子的創新能力遠超大人想象。
比如，給孩子一個麵糰，讓他自由發揮，不做限制；比如，給孩子讀繪本時，讓他改編結局；比如，對著雲朵編故事……
這個比較特別，在各種數學理論書中，基本上沒有看到這個說法。但是，在實際的學習中，已經有無數例項證明：
閱讀能力強的孩子，更容易看懂題目，從而解出難題。
而閱讀思維的養成，大概有下面這幾個方向。
框架思維 ：明確讀書的目的，從序言、目錄等方面瞭解書的大概內容，讀的過程中梳理出內容脈絡。
預判思維 ：閱讀前文時，能對後文的發展進行預測和判斷，一邊讀一邊進行印證和調整。
聯想思維 ：對前、後文的資訊進行聯接想象，找出伏筆和互應，品味出作者的言外之意。
當然，閱讀思維不止這些，且不是一時之間就能養成的，它是另一個大話題。在這裡我們只能稍微一提，知道它和數學思維的關係。
3
校內課程解讀
Course Interpretation
因為篇幅有限，前面提到的數學思維沒辦法說得太詳細，主要是把它們整理到一處，讓大家知道有這麼些東西。
等於是做一個引子或一個提綱，給到後續拓展的可能性。
至少，下次再看到“數學思維”時，不會覺得它像風又像霧，而是能清晰地列舉出它都包含哪些專案。
同時，我有一顆定心丸奉上：小學校內數學課程，正是基於這些思維訓練需求進行設計的。照著走，就能滿足基本的數學思維和能力養成。
也就是說，6歲以後的具體運算階段、形式運算階段，由學校接管了。我以深圳北師大版的數學教材為例，說明一下這個情況。
一年級上冊
三年級上冊
六年級上冊
覺得不夠怎麼辦？前面提到的各種例項和方法，都可以有效補充，可以找相關教輔。如果找線上線下機構上課，則一定要注意老師的授課方式是否善於引導孩子思考，不怕學得少，最怕思維僵化，得不償失。
上面的內容，我們參考了很多本數學著作，其中有4本寫得好懂又實用，在此推薦給大家。
《讓孩子受益一生的數學思維訓練》
作者張梅玲教授是著名教育心理學家、兒童數學認知研究專家，專注孩子的思維研究長達50年。
這本書理論結合實際案例，介紹了6大數學能力+4大數學思維，讓我很受啟發，比較適合6歲前的孩子。
《兒童怎樣學習數學》
乾貨滿滿的數學基礎理論著作，具體到100以內的運算、體積面積運算等細分知識點，對小學3年級前的孩子比較有指導意義。
其中有關於皮亞傑理論的詳細介紹和挑戰，兼顧了宏觀和細節。
《給孩子的數學思維課》
從生活、遊戲出發，介紹了有序思維、抽象思維、幾何與空間思維、逆向和遞迴思維、整體思維等內容。
理論性的東西比較少，對思維練習的拆解和細節介紹比較多，比較適合小學2-3年級以上的孩子。
《吳老師的趣味數學課》
很有“個性”的一本數學思維書，讀下來有一股銳意進取的少年氣。內容比較有深度，如果說前面三本書是基礎，那這本書就是“加深”和“拔高”。
一方面是涉及的知識點變多變雜了，另一方面是拆解變得跳躍，所以更適合本身對數學有濃厚興趣的孩子讀。
點選 閱讀原文加入好書福利群
關鍵詞
數學
數學思維
問題
讓孩子
方法