
作者:CX
轉載:解半知一
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出於好奇我讀了他的自傳Mind and Matter, mind指心靈和思維,書名可能暗示數學和邏輯,matter本來指有質量的物體,這裡大概暗示體育競技。目前似乎沒有中文版,好在英文版語言不難,有不太理解的地方Chatgpt, Deepseek這些工具都能幫忙解答。
作為麻瓜我對橄欖球和數學都不太懂,但是這本書卻讓人有一點點開悟之感。
01
早期培養
John Urshel黑白混血三歲父母離婚。母親黑人但重視教育,早期的計算啟蒙是練習冊,有了一定基礎就讓孩子計算購物小票要找的零錢和州稅,算對了找零就歸他,所以他非常有積極性。
對於邏輯思維的培養,她給兒子買了不少桌遊。他回顧後來的數學研究一些問題和某些桌遊本質十分類似。
此外他還特別提到一個免費邏輯推理遊戲:Zebra Puzzle, 也叫愛因斯坦 Puzzle。以下題為例,大致意思就是,透過這些資訊,排列出四個DJ的順序和他們對應的衣服顏色/國籍/音樂型別/出場舞臺。

從這個遊戲,大家就能理解數學家是如何看待資訊的:這些資訊看似雜亂無章,但內在卻有著規律性的邏輯結構,按數學家的話說叫“美麗的結構”。

有一天早上俺家普娃等校車還有半個小時比較無聊,讓她試著做了解悶,居然很喜歡。大家也可以試試,總比打遊戲刷影片強。但介紹推薦這本書,並不是希望大家照搬這些遊戲,後面還有更加啟發性的內容。

02
中學時代
但是John Urshel上了公立小學,不適應學校緩慢進度配合度不高,加上是黑人,被校方認為智力不太夠。媽媽後來把他轉到私校,在那裡遇到了啟發他的老師,開始思考時間的膨脹和時間的定義,他的思考讓我想起了Alice in Wonderland第七章:
`And ever since that,' the Hatter went on in a mournful tone, `he won't do a thing I ask! It's always six o'clock now.'
A bright idea came into Alice's head. `Is that the reason so many tea-things are put out here?' she asked.
`Yes, that's it,' said the Hatter with a sigh: `it's always tea-time, and we've no time to wash the things between whiles.'
John Urshel高中零基礎進入校橄欖球隊,開始連裝備都不會穿戴,和其它從小玩橄欖球的隊友比起來,當時覺得有點自卑,但是若干年後回頭看,他慶幸自己十四五歲才正式接觸橄欖球,避免了早年受傷,尤其是腦震盪。
在他中學期間,他父親從加拿大搬到美國,甚至還在大學讀了個商科碩士。父子倆本來各寫各的作業,然後他好奇父親的矩陣作業,發現矩陣可以像變形金剛一樣變形,很快領悟規則。

他父親與他同名同姓,出主意讓兒子拿他學生證,暑假去這個大學給商科學生設的微積分課旁聽。對數學有興趣的孩子可以提前瞭解微分和積分的概念,提前瞭解矩陣。
03
大學選校
如果你透過維基百科看John Urshel的簡歷,會發現他本科和碩士都是賓州州立大學。很多人會對這個學校嗤之以鼻:又不是賓大,不是斯坦福,不是大藤…
作為美國頂尖體育生,大學首選不非得是藤校或斯坦福,而是The Big Ten, 例如俄亥俄州立,賓州州立,密西根大學,都是強校,設施好教練隊伍強,有的教練來自NFL,有的後來跳槽去了NFL。
John Urshel高中申請的時候,校橄欖球教練Brandon Harris積極得不得了,給他做了影片,發給全國各個大學的橄欖球教練們,主動打電話歷數他的優點和榮譽。他說希望其它科目的老師對學生也能這樣就好了,可這所私校卻沒有數學老師去推銷他。John Urshel認為,老師和教練把學生吹得天花亂墜,雖然荒謬誇張,但是也許孩子真的就以為自己的天花板那麼高,也許有一天就真的夠到了那目標。

John Urshel得到了大藤校普林斯頓錄取,但是他去訪校,那可憐巴巴的看臺讓他心都涼了,比起來賓州州立十萬人體育場才能讓體育生心潮澎湃。後來斯坦福也發了錄取,但最後他還是堅定選擇了賓州州立。
事實證明賓州州立有很好的老師,關鍵不能指著老師追著學生喂知識,而是學生要有自學意識,有迎難而上的精神。他的傳記提到賓州州立的一些來自中國大陸的數學老師,我在網上搜了下,有的老師評分只有1.5,因為口音過重。但是他屬於“強者不抱怨環境”,雖然語言不是聽得很明白,但他能自己琢磨鑽研,能透過語言隔閡看到對方的真誠和智慧。
他在課堂的表現吸引了一些教授的注意。有的教授要求課後見他,扔給他沒見過沒學過的資料,他拿回去鑽研,想到解法再回來找教授,就這樣一來二去,教授和他合作了博士級別的研究專案。所以州立大學一樣有好的教學資源,關鍵看自己能不能發光被看到。
04
選專業分歧
大家完全可以想象,一位黑人單親母親,一路用心培養孩子付出心血,到了該“收穫”的時候,孩子拒了普林斯頓和斯坦福,這位母親的心情是怎樣的。
他父親因為了解體育而且也是橄欖球迷,所以支援了兒子的決定。
但是到了申請碩士的時候,學校因為醜聞遭遇重大危機,兒子試著申請斯坦福全獎錄取。這次父母都覺得應該離開州立大學去加州,兒子權衡過後,還是選擇留本校讀碩士。
家長感覺既然不能在選校上做決定,就免不了要在選專業上進行干預,投射自己的願望。於是媽媽強迫兒子選工程專業,以便日後就業容易,但是他覺得讀著沒意思,最後還是選回了數學專業。好在他研究的數學最後多多少少還是結合了工程思想,也算能安慰一下老母親。
05
反直覺的機率
John Urshel作為數學家,在書裡提到,如果只靠體育好,未來出路好的機率非常低,即使本身素質和技術極佳。他拿自己一路進入NFL來舉例,除了本身能力夠,還需要一連串小機率事件的疊加,才能走到這一步。
這讓我想到全紅嬋,如果當年不是啟蒙老師拿著她的跳水影片去堅持找省隊教練,如果不是省隊教練額外開綠燈,如果不是疫情導致奧運會晚一年開她正好符合參賽年齡…再優秀的運動員,也需要一些小機率事件來推動。
這也解釋了為什麼當我們上升到某一個位置,有時會覺得自己“不配”。因為我們潛意識裡知道如果沒有一系列小機率事件推動,我們不會到這裡,世界上其它地方還有很多人能力比我們強,只是因為缺少那一連串的機緣巧合。
說到機率,他專門寫了一章。我以為會很枯燥看不下去,結果我看完了,而且現在我經常提問朋友們:
假設這屋有23個人,不管年份,隨機兩個人同月同日出生的機率是多少?
大家基本都是遵循了本能猜測,有人說是70%,有人猜40%。實際答案是:接近50%。如果大家問AI,自然會給出推算分析過程。John Urshel的意思就是:他在學校裡初遇機率這課的時候,也感覺沒有頭緒,因為答案非常反人類直覺。
所以我就想,娃學邏輯的時候,第一節不該上來就講套路,而是要讓他們知道,“反直覺”是正常現象,即使數學家學機率也要經歷這個過程,不要被挫敗,這是磨鍊分析推理能力的好機會。
06
反證法
這本書裡有一章專門講證明,尤其提到了反證法的強大。反證法中文也叫歸謬法,聽著就很嚇人。
讀著這章我突然覺得反證很鍛鍊思維,而且也不是高不可攀。我們普娃家長在娃學數學這事上往往焦慮:這公式孩子能不能記住?能不能舉一反三?計算能不能保持正確率…但是我們缺少了另一項能力的培養:反證。
很多娃學的內容,以他們目前的理解能力,都是可以反證出來的。例如用反正法證明根號2不是有理數,證明三角形裡斜邊最長,證明三角形任意兩邊之和大於第三邊,證明平行四邊形對角相等……(具體反證過程可以問AI工具)
07
理解演算法
這本書有一章講機器計算,向我這種麻瓜們科普什麼是演算法 (algorithm):

演算法簡單說就是為了解決完成一項任務,所需要的步驟。他舉的例子是做蛋糕的菜譜步驟。我立刻就能想出更簡單的例子:把大象放進冰箱裡需要幾步。
搞科研演算法當然不是這麼簡單的事,但是他希望大家不要被所謂的術語嚇到退卻。
08
歐拉回路
圖論聽起來非常高大上。John Urshel說圖論其實很像小時候玩的一個遊戲:哥尼斯堡七橋問題。

然後尤拉從這個圖,總結出了尤拉路徑(Eulerian trail)和歐拉回路(Eulerian circuit):

這種圖有什麼用呢?按作者原話說,圖論被廣泛應用於 DNA 序列的重建,或者被社交媒體用來表示使用者之間的關係:

我想到的八卦例子:

如果你讀一本人物關係複雜的書,比如《百年孤獨》,就可以對AI工具輸入指令:請用歐拉回路生成《百年孤獨》人物關係圖。不過目前Claude出的圖都比較粗糙,需要再做精細化調整。但這確實是以後高效使用AI工具的一種思路。
09
馮諾伊曼
作為麻省理工數學博士,John Urshel最最推崇的數學家是匈牙利猶太裔的科學通才John von Neumann,以至於這本書專門為他寫了一章。

John von Neumann中文叫馮諾伊曼,三體粉絲們特別熟悉的名字,不過以前我看見這名字都直接忽略,因為啥也不懂。
John Urshel用很簡單的例子解釋零和問題 – Cutting a cake into two parts is zero sum: more for me means less for you. 一個人的收益等於另一個人的損失。蛋糕我多切一塊你就少吃一塊。比賽我贏了你就輸。我掙1000你就虧1000,加起來還是等於零。
就像John Urshel被零和博弈深深吸引,當年的馮諾伊曼認為一定一定有數學定理可以描述零和博弈。
1928年,馮諾伊曼提出了極大極小定理(the minimax theorem):在零和遊戲中尋找最優策略的方法,以最小化可能的損失。換句話說,在最壞的情況下,仍能保證自己的損失最小化。
Chatgpt給出的公式:

在John Urshel眼裡,馮諾伊曼將數學視為一種既抽象又務實的學科,而不僅僅是純粹的符號遊戲,他強調數學的簡潔性、對稱性和優雅性,認為數學不僅是求解問題的工具,還是一種具有美學價值的創造過程。馮諾伊曼主張將數學思想注入現實應用,例如物理,計算機,經濟,生物研究等等,再生活化一點的例子就是買賣股票,規劃交通,最佳化流量……
總的來講,希望這些文字能讓大家對數學有新的認識,少一些畏懼多一些克服困難的勇氣。
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作者:CX,轉載:解半知一,
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