陳 焱 · 天津大學機械工程學院講席教授
格致論道第91期 | 2023年3月4日 北京
大家好，我是陳焱，來自天津大學機械工程學院。我主要研究機構理論和它在工程中的應用，大家見到的所有會動的工程裝備，都是我們感興趣的。我今天給大家帶來的話題是《硬核摺紙指南：從藝術走向科學》。
說到摺紙，大家第一個印象就是孩童時的記憶，比如紙飛機、紙船，當然也包括千紙鶴，這是我們手工藝術裡的代表。
▲ 山東臺兒莊用千紙鶴緬懷先烈
千紙鶴代表著美好的記憶，山東臺兒莊就曾用千紙鶴來緬懷先烈。
▲ 世界第一部摺紙書《秘傳千羽鶴折形》
同時，千紙鶴在摺紙歷史中佔有非常重要的地位。雖然摺紙有很多年的歷史，但是摺紙的記錄，是從日本僧人寫的《秘傳千羽鶴折形》這本書開始的。
自然和人類的摺紙大師
摺紙其實並不僅僅屬於人類，自然界中也有很多摺紙大師，我今天給大家帶來兩位。
一個是植物界的代表——櫸樹的葉子。其他樹的葉子是從一個小葉片成長成一個大葉片，而櫸樹葉子特殊的地方在於，它在葉苞裡像花朵一樣從小長大。葉苞被撐裂之後，它就經過一個折展的過程，展開成葉片。
動物界的摺紙大師最典型的代表就是甲蟲。甲蟲有一對軟翅和一對硬翅，軟翅平常是摺疊起來藏在硬翅底下的，當遇到危險或要長途飛行時才打開。問題是它們沒有手，要怎麼開啟翅膀呢？它們是用身體裡的壓力，把體液壓到翅脈裡，能在毫秒級別的時間“嘭”一下把翅膀開啟，就可以飛走了。
但是飛起來很爽，飛完之後麻煩就來了，甲蟲怎麼才能把翅膀摺疊起來呢？它就在背後用左邊和右邊的翅互相敲擊，慢慢把體液壓回身體裡，翅膀才能折起來，這個過程就需要10多分鐘的時間。
▲ 雨中漫步（陳曉）
自然界的摺紙也給人類研究很多啟發。尤其是在這個世紀，摺紙上升成一個非常高階的、歎為觀止的藝術品。這是我們中國的摺紙藝術家陳曉創作的《雨中漫步》。他用一張紙，透過複雜的摺疊形成了一個美女撐傘的圖案，獲得了去年（2022年）國際摺紙大賽的冠軍。
▲ 方形扭轉圖案（佈施知子）
上面是日本摺紙藝術家佈施知子創造的圖案，它叫方形扭轉（square-twist）圖案。大家可以看到這個紙面上有很多正方形突出來，發生了一定程度的扭轉。那麼你肯定要問，這個東西是怎麼折出來的？它其實並不像我們折一個紙飛機、一個紙船那麼簡單，而是背後有很複雜的幾何設計，這就涉及到摺紙背後的數學。
數學家在研究摺紙時，並不是那麼立體的、五顏六色的，而是回到了一張白紙上，用黑線來描述摺紙的圖案，我們稱之為“山谷線的分佈圖”。所謂的“山線”就是折向你的線；而“谷線”就是遠離你的線。
一旦有了山谷線分佈圖，你就能把一張紙折成複雜的幾何形狀。大家來猜猜，上面這個圖案會折成什麼呢？
其實折成了一隻貓頭鷹。左上角那個比較複雜的、扇形的部分其實就是貓頭鷹的尾巴。感興趣的人也可以找一找貓頭鷹的眼睛是從哪個地方折出來的。
▲ 基於計算技術的曲紋摺紙
隨著計算機圖形學的發展，摺紙藝術家不再滿足於做直線的摺疊——直線摺疊往往帶來的是平面的效果。為了追求曲面的、更美的圖案，“曲紋摺疊”被引入進來。這個曲紋要怎麼折呢？其實曲紋有很多折法，有溼折法，就是先把紙搞溼了折。還有一種比較簡單粗暴的方法，找一張結實一點的紙，用圓珠筆在上面拼命地畫曲線，它就自然而然可以摺疊了。
工程師眼中的摺紙術
我是一個工程師，那摺紙在工程師眼裡又是什麼呢？我們正在想盡辦法把這個古老的手工藝術應用到工程領域，讓它發揮作用。
尤其是航天科技上有大量的摺疊需求。大家知道，太陽能帆板、衛星天線這些大型結構是沒有辦法放到小小的火箭整流罩裡的，所以必須把它也折得小小的，才能在體積上滿足火箭整流罩的尺寸，發射到太空後再快速地展開。可以說，航天科技的發展促進了摺紙工程學的誕生。
影片裡是美國設計的一個概念性的遮光罩，這個衛星是用來做系外行星探測的，但恆星太亮了，使它看不到行星，所以就要造一個遮光罩，這樣衛星就可以做深空探測了。
要把摺紙用到工程上去，第一個問題是工程上很多結構都並不像紙張一樣柔軟，而是剛硬的結構。所以，我們就要把這個紙片認為是剛性的，而所有的摺痕就像門的鉸鏈一樣，是可以發生扭轉的。
這樣一來，我們其實是在研究一種特殊的摺紙——剛性摺紙。我們認為紙片是不會產生變形的，就把純數學的問題轉化成一個球面機構的問題。這就回到了我的老本行——機構學。首先要分析這些已有摺痕到底是剛性的還是非剛性的？如果它是剛性，就很容易用到工程裡；如果它是非剛性的，那就有點麻煩了。
這是剛才提到的方形扭轉的摺痕，當我們研究它的機構運動學行為時，實際上是要關注它的山谷線的分佈。大家關注中間這個正方形，在傳統藝術裡（左一），中間這個正方形的4個邊都是山線，但其實也可以布穀線，比如說第二個就是兩山兩谷相對，第三個是兩山兩谷相鄰，第四個是一山三谷。
這會帶來什麼效果呢？就是上面這四幅圖，它們的摺疊的方式完全不一樣了。透過複雜的幾何運算會發現，在摺疊過程中，前兩個是非剛性的，如果硬折它，圈出的梯型面板會發生彎曲。但如果面對一塊鋼板、一塊木板，是沒有辦法把它彎曲的，這就意味著摺疊過程不會發生。
剛性摺紙要求所有的面板都不發生變形，可以很容易地摺疊起來。我們的一部分工作就是分析已有的摺痕，同時還要發明新的摺痕來適應不同的工程需求。
這是我們在研究過程中設計的一個可折平的管狀結構，可以把一個很長很長的管子折平。航天上一些框架式的結構就可以以這個為基礎進行摺疊。
我們平常看這個管子的時候，都是豎著看它。其實一旦把它橫起來，就會發現還是一個摺紙帳篷。它的特點是單自由度，很容易展開，可以創造出一個很大的空間。同時它是紙做的，所以環保、輕質。這個設計獲得了日本技術與商業計劃大賽地震重建部的部門獎。
我今天給大家帶來一個小號的模型，可以看到它可以簡單地展開，還可以很容易地收攏起來。這是正在開發的一個產品，是寵物的帳篷。如果你帶寵物去酒店，就可以把它安放在裡面。
然後我們又迴歸到老本行，去設計新的圖案。除了直的管子，我們還設計了各種彎曲的管子。
甚至還有兩個通路的管子。兩個通路有什麼用？可以用來做隔聲的材料，在不同方向上它的聲學效果是不一樣的。
用摺紙設計航天部件有多難
在摺紙時，我們認為紙的厚度可以忽略不計，是零厚度的。
就像這個圖片裡，當折這張紙的時候，可以很緊密地摺疊。但在工程結構中，比如太陽能帆板、衛星天線，這些結構的厚度是不能忽略的，摺疊過程會產生物理干涉，沒辦法緊密摺疊。
這就是為什麼很多航天上的太陽能帆板都是一個方向、W形狀的摺疊，因為兩個方向同時折就會產生物理干涉。
▲ 厚板摺紙：從球面機構到空間機構
怎麼解決這個問題呢？我們回到最原始的機構學的角度：球面機構要求所有摺痕交在一個點上，但交在一個點的後果，就是物理干涉必然存在。所以，我們不把所有摺痕都放在它的中性面上，而是放在這個厚板的上表面和下表面，這樣一來，這些摺痕不交在一個點上了，它的機構運動學模型就由球面機構變成了空間機構。
由於我們之前在空間機構方面有很多研究，所以很順利地把各種各樣頂點的厚板問題解決了，建立了厚板摺紙的運動學模型。
解決了頂點之後，就可以把一個好大好大的平面結構，透過厚板的方式收攏起來。
這不僅解決了航天結構上的雙向摺疊問題，也回答了一個科學界的難題，所以這成為國際機構學領域發表的首篇《科學》（Science）論文。
現在，我們可以把一個大平板折起來了，航天工程師就很高興地來了。他說：你看現在可以摺疊了，但這樣一個結構，仔細看就會發現實際上表面有一層一層的臺階，這個做太陽能帆板還不錯，但要做天線的話，這些不均勻、不平整的表面會造成天線不能正常工作。
甲方提出的要求我們必須滿足，所以我們就灰溜溜地跑回實驗室，又做了大量機構運動學的反算，把上表面所有的摺痕都轉移到它的背面去了。這並不是一個簡單的轉移，要做很多機構學演算。最後真的設計出一個完全平整、而且摺疊方式跟原來一模一樣的天線設計，可以用來做相控陣天線。
▲ 拋物柱面折疊
這個都做好了，但甲方的要求總是在不斷變化的。很遺憾，所有的甲方都是這樣。現在又要我們摺疊一個拋物面或者拋物柱面天線，這樣的天線在航天裡的應用是非常廣泛的。所以我們又灰溜溜回到實驗室，“吭哧吭哧”做了很多機構學上的工作。
▲ 拋物面摺疊
終於，我們把拋物柱面和拋物面天線都完成了摺疊。當然，目前的工作還處在基礎研究領域，所以大部分只是從“不可能”變成“可能”，哪一天這個結構才能從“可能”變成“可行”，最終發射上天呢？我們可以共同地期盼一下。
從天上回到地上的應用
發射上天之後，甲方又回來說：除了這個天線要飄在天上之外，我們還要建月球基地，你是不是考慮也給折了？我說為什麼呢？月球基地讓宇航員去建好了。
他很無助地跟我說：宇航員都穿成這樣了，怎麼建一個自己的房子呢？很不方便、效率很低，還是在地球上摺好送上天，宇航員開啟就好了。我說好吧，那我們努力吧。
所以我們設計了一個模組化的摺紙單元，可以用來做房子。它有不同功能的模組，最後一個模組是沒有折展功能的，因為它是衛生間。利用這種摺疊方式，可以把一個很大體積的物體進行最緊密的壓縮，然後把它送上天。
我在建築學院的朋友看到這個設計後非常感慨，說要不然把它拿去做露營房屋吧？我說可以啊。你拿去做露營房屋，同時我們也可以做月球基地。你想，住在一個跟月球基地同款的房屋裡露營，是不是心情瞬間就變得高大上，窗外的星星也變亮了？
除了做航天上的應用，其他領域也有很多摺紙可以發揮的地方。我舉一個身邊的例子，大家開車的時候車前面有保險槓，保險槓後面有兩個吸能盒。一般車的吸能盒就是一個方罐子，貴一點車的吸能盒是波紋型的。左邊這是寶馬車的吸能盒，大家知道波紋型造出來很複雜，要透過鑄造等其他方式造出來，成本比較貴，據說這個吸能盒要2000塊錢。
我們在實驗室裡做了右邊這個有摺紙圖案的一個類似方型的吸能盒。摺紙圖案的存在，能使它在受到衝擊過程中能吸收比原本多50%的能量。或者反而言之，在吸收同樣多能量的情況下就可以減輕結構的重量，這在汽車上是非常非常重要的。而且這個吸能盒的工業生產成本還不到500塊錢。所以大家可以考慮一下把寶馬車的吸能盒換成我們這個，將來維修時比較省錢。
除了折平面結構，我們更感興趣的是把立體的結構壓扁，這是一個很大的折展比，甚至說體積折展比可以達到無窮大。但數學家會告訴你，多面體是不可以剛性摺疊的，因為裡面有空氣。
那好，我就把這個多面體的表面切一刀，讓空氣跑出來——當然實際原因不是這樣。我們引入了剪紙，用剪紙的方式把一個多面體緊密地摺疊起來。
我們還做了一些細緻的工作。大家看動畫裡這個鉸鏈的部分，好像跟平常的門鉸鏈有所不同。我們做了新的開發，讓它變成具有雙穩態的鉸鏈，從而使整個結構具有3個穩態。就是用這個繩子一扽一扽的，它有3個穩定的結構，機構可以穩定地停在這3個位置。這是一個很基礎的研究。
工程師永遠問的第一個問題是：有什麼用呢？對呀，它有什麼用呢？我們找到微電子學院跟做天線的老師合作。天線的工作頻段和它上面電子器件的面積是相關的，所以如果把一個電子器件附在它的上表面，隨著機構在不同穩態的停留，它面對饋源的面積會發生3個情況的變化，那就可以把1個天線變成3個天線來用。
▲ 頻率可重構的5G天線
我們在實驗室裡做了一個頻率可重構的5G天線，它可以在5G的3個波段工作，也就是成功地把1個天線變成3個天線了。
▲ 基於三穩態結構的折展亭
但這個工作又遭到了建築學院老師的嫌棄，他說你們模型做的太醜了。然後他就給我們造了一個非常漂亮的折展亭。他還提出一個問題，以前老是折方的，其他形狀的行不行呢？我們就發現，任何形狀都是可以的，所以有三角形的、六邊形的折展亭。
▲ 折展亭CAD效果
建築學院的大佬還親自操刀，給我們做了折展亭的CAD效果。可以看到，在藝術家的手裡，折展亭不再是簡單的三角形片，而是像花朵一樣的片，當它展開的時候，真的像一朵花一樣。
那麼我今天的分享就到這裡。如果大家想知道背後艱辛的科學過程，請訪問我的網站。
謝謝大家！
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