為何物理學能給數學帶來更多突破的靈感？

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數學長期以來一直是物理學進步的基礎。1915年，阿爾伯特·愛因斯坦將廣義相對論譽為數學“真正的勝利”，因為他發現，半個多世紀前的純數學著作，在其引力理論中完美地描述了時空結構。後來，他不禁思考，一個完全不考慮應用的數學，怎麼會“如此令人欽佩地適用於現實物件”呢？

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數學對物理學的貢獻如今已被視為理所當然，但這源於它的起點。畢竟，數學是為了測量、量化和理解物理世界而發明的。在美索不達米亞，蘇美爾人發明了一種計數系統，留下了刻有乘法表的泥板。它們的用途是什麼？用來統計商品和財產。在隨後的幾千年裡，這個最初作為政府和商業運轉工具的技術，逐漸發展出自己的生命力。儘管數學擴充套件到一些晦澀難懂、需要多年訓練才能理解的抽象領域，但它仍然支撐著物理學的重大突破。

然而，近來形勢發生了逆轉。如今，物理學的洞見和直覺正意外地引領數學領域的突破。在20世紀的大部分時間裡，數學家們在嘗試多條路徑之後，越來越多地轉向透過自然界的規律和模式來尋求靈感。數十年來停滯不前的領域正在被打破。甚至連哲學家們也開始探究物理學為何在數學中被證明“異常有效”（正如有人大膽宣稱的那樣）。這個問題的關鍵在於，支配宇宙執行的規則與人類思維最抽象的思考之間存在著一種很大程度上未被重視、令人困惑卻又深刻的聯絡。

數學之美的體驗與美妙的音樂、藝術或詩歌一樣，

激發大腦的相同區域。

為什麼物理學——其根基在於理解蘋果掉落和電子雲等現實世界的事物——能夠為解決數學中一些最棘手的問題提供如此好的線索，而數學處理的是函式和方程等無形的東西？

“物理學家對嚴格證明的關注遠不如數學家，”法國學院數學家、菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers）說道。他表示，有時這“使得物理學家能夠比數學家更快地探索數學領域”。如果說數學家傾向於深入研究這片領域中的小塊區域，那麼物理學家則更有可能快速瀏覽這片廣闊的未知領域。從這個角度來看，物理學家可能會偶然發現新的、強大的數學概念和關聯，數學家可以回過頭來嘗試證明（或反駁）它們。

事實上，物理學啟發數學的過程與科學本身一樣古老。古希臘數學家兼發明家阿基米德描述了力學定律如何激發了他的一些最重要的數學發現，如透過槓桿原理推導了槓桿平衡的數學表示式，透過對浮力現象的解釋引出了重心、平衡和浮力等概念。此外，還有艾薩克·牛頓，他（與他同時代的德國博學家戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨一起）在試圖理解落體運動時，發明了一種全新的數學——微積分。

希臘語：´Aρχιμήδης；前287年—前212年

然而到了20世紀中葉，物理學領域湧現的新數學幾乎枯竭。無論是物理學家還是數學家，都對物理學領域之外發生的事情不太感興趣。在數學領域，一群頗具影響力的法國年輕數學家，被稱為布林巴基小組，他們致力於使數學儘可能精確，從頭開始重建整個領域，並發表他們的合作成果，希望以此促進未來的發現。與此同時，物理學家們興奮地發展著諸如標準模型之類的開創性思想——這仍然是物理學家們關於原子和亞原子世界的最佳理論。對他們中的許多人來說，數學只是一個方便的工具，他們對布林巴基斯倡導的嚴謹的數學觀毫無興趣。

然而，已故英裔黎巴嫩幾何學家邁克爾·阿蒂亞（Michael Atiyah）率先提出了和解。憑藉著罕見的直覺，再加上一點運氣，同樣獲得菲爾茲獎的阿蒂亞經常會關注到後來理論物理學家感興趣的領域。

邁克爾·弗朗西斯·阿蒂亞爵士

（1929年4月22日 – 2019年1月11日）

“在20世紀70年代中期，他確信理論物理學是迄今為止最有希望的新思想源泉，”曾與阿蒂亞合作的牛津大學數學家、名譽教授奈傑爾·希欽（Nigel Hitchin）在2020年談到這位前同事時寫道。“從那時起，他成為數學家和物理學家之間互動的推動者，致力於攻克物理學家提出的數學挑戰，運用物理思想證明純數學結果，並向物理學家群體提供他認為重要但物理學家不熟悉的現代數學知識。”

阿蒂亞的長期合作伙伴之一是數學物理學家愛德華·威滕，兩人於1977年首次相識。威滕比阿蒂亞小20多歲，後來成為弦理論的先驅。弦理論認為，微小的一維振動弦是宇宙的基本構成要素，而非標準模型中的粒子。

弦理論最初被譽為一種可能的“萬物理論”，它將量子理論與愛因斯坦的引力理論統一起來。迄今為止，弦理論對一些最抽象的數學領域（例如代數幾何和微分拓撲）的影響，可以說比對物理學的影響更大。在這些領域，威滕和其他弦理論家提出了一些精確的猜想，這些猜想後來被數學家們證實。

例如，1991年，物理學家菲利普·坎德拉斯（Philip Candelas）、澤尼亞·德·拉·奧薩（Xenia de la Ossa）及其同事將弦理論應用於列舉幾何中一個數十年之久的難題。列舉幾何是數學的一個古老分支，致力於計算幾何問題的解的數量。最簡單的方法是提出這樣的問題：“有多少條線可以透過平面上的兩點？”（一條）。或者阿波羅尼烏斯的著名問題：“可以畫出多少個與三個給定圓相切的圓？”（八個）。

坎德拉斯和他的同事們能夠利用弦理論的工具來解決列舉幾何中一個特別棘手的問題：計算卡拉比-丘流形中某些型別曲線的數量。卡拉比-丘流形是一種奇特的六維形狀，是弦理論的核心。他們的研究成果將“辛”幾何和“復”幾何聯絡起來，而數學家們幾十年來一直孤立地研究這兩種幾何，認為它們毫不相關。這種將兩個原本被認為毫不相關的領域聯絡起來的進展，被認為是數學中一個“深刻”的成果：人們可以突然用一個領域的工具來解決另一個領域的問題，從而推動和加速數學的發展。

卡拉比-丘流形是一種奇特的六維形狀，是弦理論的核心。

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僅僅幾年後，在1995年，威滕提出，五種不同版本的弦理論（每種都需要10個維度）都是一個11維概念的不同方面，他稱之為“M理論”。儘管M理論尚未得到證實，但繪製不同理論之間的對應關係已帶來驚人的數學發現。“感覺弦理論每個月都在以前所未有的方式為數學家提供新的結構，”倫敦數學科學研究所的數學物理學家何陽輝說道。

透過研究現實而產生的數學正是我們的大腦所喜歡的數學。

弦理論蘊含著如此豐富的意想不到的關係，或者說是兩個數學世界之間的“對偶性”，至今仍令數學家們興奮不已。物理學家何陽輝和他的同事、同樣來自倫敦數學研究所的弦理論家費德里科·卡塔（Federico Carta）在研究卡拉比-丘流形最簡單的型別（稱為K3 曲面）時，偶然發現了該曲面的“同倫群”（用於在拓撲中對形狀進行分類）與一個對稱群（稱為“Matthieu 24”）之間的關係。他們的發現揭示了純數學中兩個截然不同的領域——拓撲學（研究形狀）和現代代數中一個叫做群論的領域（研究物體所具有的對稱型別）——之間意想不到的聯絡。

何陽輝教授表示，物理學為何會催生如此有趣的數學，這是一個“深刻的問題”。他指出，數學家可以研究的模式和結構數不勝數。“但那些源於現實的模式和結構，在某種程度上，我們擁有直覺。”

希欽對此表示贊同。“數學研究並非在真空中進行，”他說。“你不會為了理論本身而坐下來發明一個新理論。你需要相信存在某種值得研究的東西。新的想法必須圍繞某種現實概念，或者可能是某人的概念，進行凝聚。”

這就引出了一個問題：物理學是否僅僅透過提供更強烈的探索動機和數學家精力的集中點來滋養數學？在對世界運作方式的直覺和一個合理的終點的引導下，數學家有時能夠比以往更快地解決問題。

這也可以解釋一個奇怪的事實：“糟糕的”物理學有時可以帶來好的數學。

例如，渦旋理論是英國數學物理學家威廉·湯姆森（開爾文勳爵）早期嘗試解釋原子種類相對較少的原因。他將原子描繪成旋轉的環，可以打成複雜的結，每個結對應一種不同的化學元素。電子發現後，該理論被拋棄，但其數學基礎促成了紐結理論的發展。自此以後，紐結理論不僅成為純數學家探索的沃土，還在流體動力學和理解DNA等纏結分子方面找到了意想不到的應用。

蛋白質紐結

對阿蒂亞來說，物理學和數學之間神秘的關係都歸結於人腦。“人類是長期進化的產物，強大的大腦是一種優勢。這種大腦在物質世界中進化，因此進化的成功是透過物質的成功來衡量的，”他在 2018 年的一次採訪中解釋道。“因此，人類大腦進化是為了解決物理問題，而這需要大腦發展出正確的數學。”要做到這一點，大腦還必須適應識別和欣賞自然界中的數學模式。阿蒂亞甚至在 2014 年與人合著了一項腦成像研究，該研究得出結論，數學之美的體驗與美妙的音樂、藝術或詩歌刺激大腦的相同區域。這也許可以解釋為什麼物理學可以成為數學家的指導方針：從研究現實中產生的數學正是我們的大腦傾向於喜歡的數學。

2010年，阿蒂亞與希欽以及當時任職於普林斯頓大學的荷蘭理論物理學家羅伯特·戴克格拉夫共同發表了一篇論文，進一步強調了物理學在數學中的成功運用。然而，自那以後，人們嘗試理解這一現象的研究卻寥寥無幾。

博洛尼亞大學的丹尼爾·莫利尼尼是一位最近重新審視這一問題的哲學家。他於 2023 年發表在《英國科學哲學雜誌》上的論文回應了諾貝爾獎得主物理學家尤金·維格納 1960 年發表的一篇經常被引用的論文，題為“數學在自然科學中的不合理有效性”。莫利尼尼的俏皮回應探討了“物理學在數學中的不合理有效性”。他令人驚訝的回答是，一些物理定律可能像數學定理一樣不容置疑。“有一些關於世界的原則我們必須視為基本原則，”他說。

哲學家們普遍認為數學真理是“必然的”，因為它們在所有可能世界中都必須為真。關於自然的真理，即經驗事實，則有所不同——它們是偶然的。光以一定的速度傳播，但可以說，在一個不同的宇宙中，光的速度可能是不同的。也就是說，無論如何，數學真理過去是，將來也永遠是真的。

是否存在某些物理定律也同樣具有“必然性”？莫利尼尼在他的論文中指出，守恆定律可能就是這樣一條定律。在物理學中，系統的某些屬性，例如能量或動量，是無法改變的。例如，一個騎腳踏車的人在山坡上空滑行時，會將其重力勢能轉化為運動能量，但她和腳踏車的總能量保持不變。

宇宙本身不僅僅是用數學描述的，而且是由數學構成的。

莫利尼尼認為，如果這種守恆是“必然的”，那或許可以解釋阿基米德如何能夠透過力學的考量成功推斷出幾何證明的真理，而這一壯舉在其他方面則令人費解。在這種情況下，物理學和數學是同一枚硬幣的兩面：兩者都正確，因為它們基於相同的基本原理。

另一種觀點是，宇宙是用數學語言書寫的，這一觀點由伽利略在17世紀初提出，並經常受到數學家的擁護。這種觀點起源古老，至少可以追溯到畢達哥拉斯及其追隨者，但最近出現的一個更極端的版本是馬克斯·泰格馬克的數學宇宙假說，該假說認為物理現實的本質是一個數學結構，即所有存在的結構只要在數學上自洽，就在物理上真實存在。

在泰格馬克的敘述中，我們的宇宙只是無數平行宇宙中的一個，數學中所有無限的可能性——每一個定理，每一個證明——都在這個多元宇宙的某個地方得以實現。因此，物理學激發數學新發現也就不足為奇了——物理學所描述的現實，從本質上來說，都是數學的。“經驗科學與數學之間存在著密切的聯絡，”悉尼大學研究數學與物理學關係的哲學家馬克·科利文說道。“我們可以得出一個結論：世界本身就是數學的。”

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然而，在這兩種情況下，已知物理學的數學只是所有數學的一小部分（幾乎所有數學都可能遠沒有那麼有趣），所以這種觀點並不能真正解釋為什麼從物理學中產生的數學應該異常豐富。

莫利尼尼目前正在挑戰一種流行的關於數學適用性的哲學解釋——“對映”。他認為，這種說法無法解釋為什麼好的數學能夠從物理學中衍生出來。對映表明，數學應用於物理學的方法是將質量或分離等物理概念轉化為數學實體，例如牛頓萬有引力定律方程，然後用它來計算某個東西，再將其映射回物理屬性——例如兩個物體之間的吸引力。但莫利尼尼認為，當人們試圖逆轉這種對映過程來解釋數學如何從物理學中衍生時，這種對映過程就會失效。

他說，哲學家們對這個問題的興趣日益濃厚，到目前為止，他們一直關注的是相反的問題，即為什麼數學可以應用於經驗科學。

“現代物理學為數學家提供了大量新的工具和意想不到的線索，”倫敦研究所的何陽輝教授說道。“未來，物理學和數學需要更加緊密地合作，才能解決純數學中一些最大的難題。”

何教授表示，朗蘭茲綱領就是這樣一個領域。該綱領由羅伯特·朗蘭茲於20世紀60年代提出，常被稱為“數學大統一理論”。據稱，該綱領的一個分支——幾何朗蘭茲——最近已被一個數學家團隊解決，他們提交了一份長達五篇論文、800頁的證明。該證明的核心部分基於最初源自共形場論的洞見。共形場論是物理學的一個分支，也是弦理論及其他領域的基石。他認為，數學家需要借鑑更多物理學知識來探索該證明的含義，並在該綱領的其他分支上取得進展。