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這是一篇粗陋的讀書筆記。筆記雖對理解拓撲超導中馬約拉納零能模的甄別不無裨益，但寫得稍顯冗長，謹致歉意。
1. 引子
Ising 作為《npj QM》的編輯，十年來被推著、窘迫面對量子材料的許多熱點與前沿領域。時間長了，即便愚鈍之極，亦能重複出幾個學術名詞和點滴基礎知識。例如，我知道量子材料最主要的兩大門面是“關聯材料”和“拓撲材料”。前者有高溫超導或非常規超導 (unconventional superconductivity) 站臺；後者有拓撲絕緣體 (topological insulators, TI)、外爾半金屬 (Weyl semimetals, WSM) 及節點/ 節線半金屬 (topological nodal point / line semimetals) 主演。凝聚態物理由此在可持續發展的軌道上一路開掛、似乎風光無限。
不過，要說這兩大門面，亦各有近憂。所謂“人無遠慮、必有近憂”，物理與人生在這一點上是類似的。高溫超導的近憂之一，是其超導溫度要儘快超越四十年前的銅基超導溫度。拓撲材料的近憂之一，是要儘快展示某種不可或缺的應用場景。這是量子材料人的使命、是遠慮，故而才有他們遠慮之下的“只爭朝夕”。
高溫超導的只爭朝夕，表現為凝聚態物理各個分支領域中落腳點最多，如圖1(A) 所示。之一，亦是最出名的落腳點，乃量子自旋液體 (quantum spin liquid, QSL)，並且被賦予量子資訊 (計算) 方面的奇思妙想。之二，是基於銅基高溫超導的理解而衍生出來的物理影像：載流子功能層與電子配對功能層相疊 (stacking) 而耦合。這一影像，據說亦部分適用於當下火熱的鎳基超導。之三，是低維超導，包括基於此類疊層影像的人工超導異質結 (譬如單層FeSe / SrTiO3 異質結)。似乎薛其坤老師對此就情有獨鍾！這些探索與耕耘，目前看來還處於“仲夏夜之夢”階段，談進展可稱彰顯、談收穫卻還尚早。
拓撲材料的只爭朝夕，亦有若干落腳點，主要能帶特徵如圖1(B) 所示。最被期待之一，是非平庸拓撲自帶的表面態，包括拓撲絕緣體 (TI) 那自旋鎖定的金屬表面態和拓撲半金屬表面費米弧一類。曾經有半導體公司巨頭的中心實驗室，立項探索過奈米厚度的 TI 作為積體電路佈線之用，動機是試圖利用其電導優異的表面金屬態。箇中寅卯，尚在探索之中，似乎與物理人理想之夢有一些差距。之二，是拓撲半金屬體態攜帶的、由貝里曲率決定的巨大反常霍爾效應 (anomalous Hall effect, AHE) 或熱電相關的橫向溫差電效應。此類實驗報道較多，卻也還沒有大到讓工業界踴躍掏錢投資的高度。之三，或者說更為重要的，是磁性拓撲材料及其在自旋電子學中的潛在應用。畢竟，若有非平庸拓撲輸運性質加持，自旋電子學的諸多應用將可得到質的提升。當然，與非常規超導早期研究類似，這些拓撲自旋電子學尚處探索階段，溫度低是主要障礙。與此不同的是，拓撲光學和拓撲聲學等拓展研究，卻成功避開溫度障礙，取得不錯進展，甚至有了一些室溫原型器件。其中冷熱分明的物理背景是：電子的拓撲，與光子及聲波的拓撲，在能標上有較大差別 (後者大很多)。電子拓撲之冷，是其天生的柔弱物理所致，非靠人力可以輕易捂熱。
毋庸諱言，超導與拓撲在“只爭朝夕”之外，彼此間發生“惺惺相惜”，亦是必然的、乃物理人必定會去開拓的第三條道。經過一段時日的探索，這條道上有了一盞燈火，就是“拓撲超導”的出現，如圖1(C) 所示。有關這一主題，除了網路上諸多相關科普文字外，Ising 也曾經塗鴉過幾篇此類主題的讀書筆記，如《尋覓拓撲超導之一瞥》、《三明治中電控拓撲超導》、《拓撲超導―半緣修道半緣君》。感興趣的讀者，可前往御覽一二。這裡只是從複習角度，與讀者一起對這一概念再做一次筆記解讀。
圖 1. 量子材料的兩大門面及其交叉而衍生的拓撲量子計算。
(A) 非常規超導的主要類別其它們的共同特徵：反鐵磁漲落導致超導態。晶體結構以載流子層與自旋漲落配對功能層疊加而成。(B) 作為拓撲量子材料代表的三類拓撲半金屬之能帶特徵：(a) 外爾半金屬，存在一對“磁單極”和線性色散。(b) 狄拉克半金屬。(c) 節線半金屬。(C) 拓撲超導及其邊緣態處的馬約拉納量子計算方案：(a) 一維Kitaev 鏈，其中每個費米子由兩個馬約拉納費米子組合而成。當鏈內 (intra – site) 的兩個馬約拉納費米子配對強度比鏈間(inter – site) 強時，體系是拓撲平庸的超導態。反過來，體系是拓撲非平庸超導，兩端的兩個馬約拉納費米子將展示局域零能模。(b) 二維p + ip 超導，具有一維手性馬約拉納邊緣模(1D chiral Majorana edge modes)。(c) 針對2N 個超導磁通的編織，構成一拓撲量子計算方案：given 2N superconducting vortices, the ground states will have a 2N degeneracy. The unitary transform of U, which can be used as a quantum gate, can be realized by exchanging different pairs of Majorana zero modes within the ground states。
(A) From AAAS，https://www.eurekalert.org/multimedia/561827。Fa Wang et al, Science 332, 200 (2011)。(B) S. R. Lee et al, Topological quantum materials for realizing Majorana quasiparticles, Chem. Mater. 31, 1, 26 (2019), https://pubs.acs.org/doi/10.1021/acs.chemmater.8b04383。(C) M. Mandal et al, Topological superconductors from a materials perspective, https://arxiv.org/pdf/2303.15581。
2. 拓撲超導的那點火光
所謂拓撲超導體，就是其能帶具有非平庸拓撲性質的超導體。圖2 所示為幾種不同方法構造的拓撲超導示意圖 (詳細可見圖題說明)。一方面，拓撲賦予超導一些新的特性，而超導的各種電子配對模式(如s 波、d 波、p 波、f 波) 亦會給拓撲帶來額外收穫。作為超導和拓撲之間的第三條道路，這類體系獨絕之處是什麼呢？目前知道的，有三點：
(1) 既是超導，體態存在超導能隙是必須的；既是拓撲，則至少超導體的表面態應該是具有獨特性質的非平庸拓撲金屬態。從此意義上，庫珀對的能隙和表面態在費米麵有載流子佔據，是相互矛盾的，意味著表面處存在一些不一般的費米子態。
(2) 其中之一，是存在基本粒子馬約拉納Majorana 費米子在凝聚態中的準粒子映像(馬約拉納準粒子)，即一種滿足非阿貝爾統計性質的零能激發態(零能模)。
(3) 理論已預言，這一映像位於超導介面邊緣處(edges)，可用於量子位元的編織和計算。
就這後兩條，已足夠讓量子材料的物理人興奮一段時日，並飛蛾撲火般投入。
不過，對這一凝聚態準粒子的實驗觀測，一開始報道的都是樂觀的結果，轟動一時。隨後，出現一些反噬，形成認識和理解的巨大正反漲落，讓這一新物態距離我們既很近、卻依然很遠。這情形，宛如俄羅斯作家柯羅連科在《火光》中所渲染的那般：
我們在漆黑如墨的河上又劃了很久。一個個峽谷和懸崖，迎面駛來，又向後移去，彷彿消失在茫茫的遠方，而火光卻依然停在前頭，閃閃發亮，令人神往――依然是這麼近，又依然是這麼遠……。
目前供職於上海交大李政道研究所 (即李所) 的丁洪老師，也曾借用陸放翁名句“夜闌臥聽風吹雨，鐵馬冰河入夢來”，作其鐵基拓撲超導學術演講的題目，頗一番豪情壯志。所謂“鐵馬冰河”，筆者理解，“鐵”乃鐵基超導，“馬”乃馬約拉納費米子。以筆者低端度量，這裡“冰河”亦指拓撲超導需要低溫，依然是“嚴冬將醒、春初乍寒”的景象。
正因為如此，對這一概念及其後果的梳理，哪怕是溫習已有知識，依然是有價值的：
(1) 馬約拉納費米子，實際上源於著名的Dirac 方程中那個γ 矩陣的一種表示。Dirac 方程被宣稱是為解決薛定諤方程中時間變數t (∂t) 和空間變數r (▽2) 的不等價問題而建立，因為狹義相對論認為它們是完全等價的。粗暴地理解，可以說：γ 矩陣如果滿足四重對稱，就是Dirac 費米子；如果滿足二重對稱，就是 Weyl 費米子 (已在凝聚態中找到映像，即萬賢綱提出的“Weyl半金屬”)；如果只有純共軛的波函式(即波函式沒有虛部)，即產生與湮滅算符等價，那就是電中性的Majorana 費米子。
(2) 所謂電中性，即馬約拉納費米子的反粒子就是它自己。其產生與湮沒，是一回事，無需能量 (電磁能)。這樣的特性，實在是天賦異稟、令人咂舌。它曾經被賦予給中微子、超對稱中某種光子等，但依然未被證實或已被證偽。筆者完全不懂粒子物理，但知道凝聚態中的拓撲超導可能有此類準粒子映像。
(3) 馬約拉納費米子遵從非阿貝爾統計，對其改變(產生或湮滅) 就是改變體系基態，即改變其拓撲性質。拓撲具有抵抗干擾和外場的穩定性，所以這種性質適合於製作量子位元，以抵禦量子位元總是易於退相干的缺點。另一方面，所謂超導，費米子必須配對。如果現在配對的是這裡的馬約拉納費米子，形成的庫珀對必定在實空間是非定域的(nonlocality)、在動量空間又足夠穩定(robustness)、且不需消耗能量去激發，即所謂“零能態”。如此標新立異的準粒子，糾纏性和容錯性亦足夠好，自然是量子位元的最佳候選，頗有“無與倫比”之態。
(4) 這樣的量子位元方案，在哪裡可以實現呢？哪怕原理上有一絲可能性，都值得去探索。物理人費盡心機，所構建的、可能性較大之方案，是拓撲p 波超導(自旋三重態配對，即庫珀對的兩個電子之自旋相互平行)。至於其中理論細節，限於篇幅和筆者知識水準，就不在此班門弄斧。大致上，無論何種技術方案，需要滿足的前提是：自旋三重態(triplet) 超導配對、非平庸拓撲能帶結構，導致特定的拓撲超導邊界態。
(5) 理論預期，配對好的馬約拉納準粒子將出現於拓撲超導邊界處(邊緣處)，形成所謂Majorana 束縛態 (即零能模Majorana zero mode)。這裡的邊界 edges，可能是一維體系的端點(end points)、二維體系的邊緣/ 頂點(edges / corners) 和三維體系的介面/ 邊緣和頂點(interfaces / edges / corners)，或者體內/ 體邊的渦旋缺陷處(vortices)。
筆者之所以在這裡洋洋灑灑寫這麼多循序遞進的條框，無非是表明：要找到拓撲超導(確認拓撲超導態在技術上相對單純一些，諸如ARPES 譜學探測就較為可靠)，還要在拓撲超導中找到馬約拉納準粒子 (要確認零能模的存在，就很有挑戰)，可不容易！本節標題說“拓撲超導的那點火光”，其意即在如此。再看看這些馬約拉納落腳處，都是邊界、邊緣、介面，所以才有本文大標題中的“邊緣行走的馬約拉納”。
圖 2. 拓撲超導及其邊緣處、渦旋處的馬約拉納零能激發模舉例。
這些例子，從不同層面展示了拓撲超導及其中馬約拉納準粒子之零能模激發：(A) 由超導奈米帶和半導體奈米線包裹而成的準一維拓撲超導異質結。奈米線兩端處將可能出現馬約拉納零能模(即零偏壓下的電導峰值，如圖所示的Majorana pair)。這種奈米線組合有各種構型，此處只展示一種。(B) 由 s 波超導+ 拓撲絕緣體 TI 組成的二維異質結。施加磁場或其它激勵在介面處形成一個渦旋缺陷。如果 TI 很薄，則 STM 針尖就可在渦旋處探測到零能模峰值，如圖右邊的電導峰值所示。(C) 類似地，圖(B) 所示異質結介面(淡黃色) 處於拓撲超導態，而介面四周邊緣 edges 處亦可形成 Majorana 邊緣態。如果異質結被加工成 stripe 形態，顯示於圖(A) 所示的準一維形態，其中每一stripe 兩端就會出現零能模。(D) 在常規超導金屬錸 Re 基板上沉積一 Fe 奈米點/ 島，則島邊緣處就能形成馬約拉納零能模、高電導(紅線表示 edges，上圖亮色表示零能模電導)。(E) 丁洪老師他們展示的鐵基超導體FeSe 表面處的拓撲表面態。此時，施加磁場引入磁通，則磁通處就有零能模。
(A) From 於春霖等，一維超導體–半導體異質結構與Majorana準粒子態波函式示意圖，物理學報 69, 077303 (2020)。https://wulixb.iphy.ac.cn/en/article/doi/10.7498/aps.69.20200177。(B) From “Schematic of Majorana particles localized inside the core of quantum vortex of a topological superconductor and the distribution of density of states of quasiparticle excitations based on the theoretical calculations”，https://www.nims.go.jp/mana/research/highlights/vol25.html。(C) From https://communities.springernature.com/posts/majorana-modes-and-topological-stripes-in-inhomogeneous-topological-superconductors。(D) From “A Re (rhenium) substrate induces an exotic form of superconductivity into a nano-scale Fe island which exhibits a Majorana edge mode”, Howon Kim and Roland Wiesendanger, University of Hamburg, https://www.eurekalert.org/multimedia/709253, Sci. Adv. 5, aav6600 (2019), https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.aav6600。(E) From P. Zhang et al, Observation of topological superconductivity on the surface of an iron-based superconductor, Science 360, 6385 (2018), https://www.science.org/doi/10.1126/science.aan4596。
3. 那些前赴後繼
於是，一批批物理人，勇敢地投身到不同的方案中，試圖構建拓撲超導，更試圖探測其中的馬約拉納零能模。這段探索歷史，有一些蕩氣迴腸的脈絡，可在相關網路雄文中瞭解到，圖 2 也展示了一些典型例子。這裡，提及一些科普知識，為更多理論與實驗探索做出鋪墊。
物理人萬水千山，最後到達的、比較著名的理論模型有：(I) Kitaev 的一維無自旋鏈p 波超導模型。該模式後來被向濤老師他們拓展成更完備的理論。實現這一方案的實際體系，可以是具有強自旋 – 軌道耦合(SOC) 的半導體+ s 波超導組成的奈米線異質結。(II) MIT 的付亮老師和那位大名鼎鼎的Charles Kane 教授提出的、更易於實現的二維馬約拉納模型，即將拓撲絕緣體(半導體) + s 波超導組合，構成二維異質結。這兩種構造，可稱為神來之筆：一者，避開了單調地去追求那比追仙女還難的p 波超導體，只要取常見的s 波超導即可。異質結的邊界處、端點處、渦旋缺陷處等，有可能形成局域的拓撲p 波超導態。二者，這些方案很實在，因為物理人及至工業界，已經視異質結制備為常規技術，雖然一維奈米線製備要困難一些。
當然，還是有學者提出更多的拓撲p 波超導理論方案，在此不一一提及。例如，就異質結而言，盧海舟老師他們的一維奈米線異質結中馬約拉納振盪理論，也令人關注。
果然，拓撲超導異質結的理論方案，引起實驗物理人甚至大公司實驗室的高度關注。一系列實驗報告紛紛登場，且上的都是大刊頂刊，引得無數學賢折腰。梳理總結一番，姑且列舉三個例子(取自知乎問答資訊，致謝知乎乎主)：
(1) 半導體– 超導體複合奈米線。這是Kitaev 一維方案的載體，要求半導體具有較強SOC，即包含重元素半導體。嚴格而言，所謂一維，嚴格而言應是一維原子鏈。這裡用奈米線替代單原子鏈，應是製備與表徵及至實際應用的一種妥協，雖然還真的偶爾有基於原子鏈的實驗工作。施加磁場於複合奈米線，測量異質結端部的隧穿輸執行為，即可從隧穿電流I – 偏置電壓V 曲線上提取到零能模特徵。簡單而言，即(dI / dV) 在V = 0 處 [(dI / dV)V=0] 出現一個滿足量子化的峰值(零偏壓電導峰，zero – bias conductance peak, ZBCP)。基於微納科技這些年的發展基礎，早期的實驗團隊大多采取這一方案。
(2) 拓撲絕緣體– s 波超導體薄膜異質結。這一方向現在的實驗工作亦不少，但給筆者印象深刻的是早期上海交大賈金鋒老師領導的合作團隊對Bi2Te3 / NbSe2 異質結零能模的探測結果，包括輸運測量、STM 能譜和聯動安德烈夫反射譜 (Andreev reflection) 測量。其中對自旋選擇依賴的零能態譜測量，具有更強的指標性。
(3) 鐵基超導及其拓撲表面態。丁洪老師他們觀測到，鐵基超導的表面態竟然是拓撲非平庸的。這一結果儼然就讓這鐵基超導表層處成為天生的拓撲 – 超導結(這就不是異質結、而是同質結了)。事實上，他們也的確在那裡看到了零能模的特徵，是所謂“鐵馬冰河”之初始之態。這一樣本，比那些異質結要好得多，因為同質結不存在異質結介面晶體缺陷對馬約拉納零能模的負面影響，是以為佳品！
(4) 最令人激動的，當然還是直接上仙女p 波超導。如此，本徵p 波超導體的表面或拓撲缺陷處最可能出現無自旋的馬約拉納準粒子(“可能”並不意味著“必然”，但p 波超導總歸是前提條件)。其次，庫珀對果真呈現p 波配對，也是對超導物理的重要貢獻，亦是很有意義的探索。讀者只要關注前些年有關Sr2RuO4 中p 波超導體的探索與討論，就能感受到物理人對此希冀是何等迫切，雖然最後還是否定見解佔了上風。第二個引起廣泛關注的本徵p 波超導體，就是UTe2。對此，顧強強博士最近有一篇科普文章討論了一些最新結果，參見《無處躲藏的馬約拉納準粒子》，在此不論。
OK，洋洋灑灑演繹了這四種例項，馬約拉納準粒子真的在凝聚態中被普遍確認了嗎？實驗探測的主要方法就是測量零偏壓電導峰ZBCP，以作為零能模的指標。因此，疑問就變成了那個ZBCP 真的就是拓撲非平庸的馬約拉納準粒子嗎？以筆者讀書所知，零能峰與零能模之間恐怕不那麼容易劃等號。這一不等號，也導致對部分相關實驗結果的解讀出現多重性，還偶有高階論文撤稿事件發生，顯示出馬約拉納準粒子探測問題很複雜且極具挑戰。限於話題敏感性，這裡不再梳理細節與是非，只是希望讀者相信：如果真的要依仗馬約拉納零能模去實現可能的量子位元編織的話，正確指認輸運測量中零能峰是否即為馬約拉納零能模，就是當下前沿課題和核心挑戰。
讀者自然就會問：為何馬約拉納準粒子的探測那麼艱難呢？讀者可藉助各種AI 工具尋求答案，就如筆者經常做的那般。不過，答案是否通俗易懂就未可知了。筆者試圖以自己坐井觀天的視角，從固體電子初級自由度 (電荷、自旋) 層面寫幾點科普理解：
(i) 馬約拉納費米子(固體中的準粒子) 是狄拉克費米子和外爾費米子之外的第三種形式。比較鬱悶的是，從電磁學和量子力學層面，它的正面和反面完全相同，且重疊在一起。因此，神奇歸神奇、天賦異稟歸天賦異稟，測量表徵之難也即直上九重。
(ii) 狄拉克費米子帶電荷，非正即負。眾所周知，人類對電的探測已入化境，似乎再弱再多維都能被探測出來。因此，帶電荷的狄拉克費米子能被準確測量，即源於此。外爾費米子(準粒子) 在其次，不攜帶傳統電磁學涵義上的電荷，所攜帶的可粗略看成是電子與空穴的線性組合。外爾在宏觀上是電中性的，但在動量空間中乃作對出現，就像一對一對磁單極。因此，外爾費米子無法在縱向輸執行為上被探測，但在與貝里曲率相關的霍爾效應測量上卻能展現蛛絲馬跡。霍爾測量也被物理人鑽研到爐火純淨之境，探測外爾似乎也不是毫無頭緒。
(iii) 輪到馬約拉納費米子(準粒子) 的電探測，就難了。的確，它不具有確定的電荷，在實空間和動量空間上都是一體的。凝聚態中它也被粗暴近似為電子和空穴的線性疊加，但卻不是那種傳統凝聚態的激子(exciton)，亦不是量子凝聚態中一對磁單極。激子繫結的電子– 空穴不是簡併的，通常空穴能量比電子高。馬約拉納準粒子內部(我們想象的) 電子和空穴是一回事、亦是簡併的。如此這般，那如何去電學測量馬約拉納準粒子呢。不帶電，並非不能被見縫插針。設想用 STM 針尖靠近樣品表面處的馬約拉納準粒子，不施加任何偏壓(V = 0)，去測量零偏壓隧穿電導特徵峰[(dI / dV)V=0 ≠ 0]。如果針尖處費米能級是電子主導的(n 型)，則樣品表面處的馬約拉納準粒子中那些電子就能自發隧穿到針尖上。或者，如果針尖處費米能級是空穴主導的(p 型)，則樣品表面處的馬約拉納準粒子中那些空穴就能自發隧穿到針尖上。筆者對 STM 針尖測量到之馬約拉納零能模之低階科普理解，大概就是這樣。
(iv) 超越攜帶電荷，攜帶自旋也行。咋看起來，馬約拉納準粒子服從非阿貝爾統計，通常被認為無自旋或具有零自旋。這一特性給予馬約拉納準粒子在量子計算中獨特的穩定性和抗干擾能力。然而，注意到，這一準粒子存在於p 波超導處，而 p 波超導配對費米子的自旋是平行的。這一準粒子其實就變成是一種電中性的、自旋1/2 的準粒子。施加磁場或磁相互作用，打破 p 波配對對稱性，就能探測到馬約拉納準粒子攜帶的自旋資訊。當然，物理學對磁探測，最終還是轉化為電荷訊號表達，無論是狄拉克還是外爾。而這馬約拉納準粒子是電中性的，施加磁場是可以調控其自旋，但如果沒有電荷區分度依然是白搭。更何況，如前所述，馬約拉納準粒子是嚴重局域的，不像電荷可以到處都是、隨意流動。這些困難，意味著任何基於自旋的馬約拉納準粒子探測課題都是前沿、值得探索。
圖 3. 王銳他們的部分計算結果(圖示可見插入的英文圖題)。
如下描述由本文筆者擅自解讀，並文責自負：(A) 由反鐵磁 AFM 絕緣層(磁性半導體) 沉積於 s 波超導襯底(SC) 上。假定 AFM 層有限大小，其邊緣edges 形態可以多種，這裡展示鐵磁 FM 條帶、zigzag (ZZ) 條帶、對角處反鐵磁 AFM 條帶三種，如圖(a) 所示。王銳老師他們對這些邊緣處的電子結構和量子態進行了細緻計算，布里淵空間的能帶計算結構分別展示於圖(b) 中。典型的隧道電導(dI / dV) 曲線形態如圖(c) 所示。按照一般推理，如果邊緣處是 p 波超導態，庫珀對自旋呈現平行向上的三重態，則因為ZZ 邊緣處的自旋是向上的，其零偏壓電導峰在 ZZ 時最為顯著，正如圖 (c) 所示。王銳他們挑選 ZZ 邊緣來進行詳細計算是有理由的。(B) 以 ZZ 邊緣態為物件，考慮隧穿電流自旋極化方向(θJ) 不同時對應的零能電導峰(ZBCP)，計算結果如圖所示。在球面角座標(θJ, ϕJ) 中，自旋極化與 z 軸的夾角θJ = 0 時，隧穿電導應最大；夾角θJ = π 時，隧穿電導應最小。然而，計算結果與此不大相符，顯示計算所得的零能電導峰ZBCP 必定有自旋單態等其它的貢獻，即ZBCP 並非全部來自馬約拉納零能模。
4. 王銳的邊緣行走
在那股探索新的、細緻而厚實的測量方案之人流中，有一位年輕帥氣、目前供職於重慶大學物理學院的王銳教授之身影。他一直在這一領域摸爬滾打，成績亦斐然。在探索程序中，正如上一節已然提及，他和團隊就注意到了實驗測到的零偏壓電導峰 ZBCP 未必就全部來自馬約拉納零能模。很顯然，正確認定 ZBCP 是否零能模就變得極為重要。或者說，對某種可產生馬約拉納準粒子的拓撲超導系統，提取其零能模的資訊，就變得極為重要。
王銳討論的物件，並非已討論很多的有能隙拓撲超導(gapped topological superconductor)，而是一類無能隙的拓撲節點超導 (gapless topological nodal superconductor)。這裡牽涉到一些較為專業的物理名詞，可用如下基本知識點加以科普：
(1) 首先，所謂有能隙拓撲超導，是指超導體內整個布里淵區都有能隙。常規 s 波超導即屬於此，其(dI / dV) 在V ~ 0 附近呈現U 型能隙特徵，只是表面存在拓撲非平庸的無能隙金屬態。按照 BCS 理論，超導能隙是針對庫珀對定義的，現實中很難有常規超導會無能隙的拓撲表面態，畢竟也還沒有好的物理保證存在筆者杜撰的“拓撲超導絕緣體”(即體內是庫珀對絕緣體，表面是庫珀對金屬)。如此，只好透過人工異質結來構造：重金屬半導體+ s 波超導異質結。如果半導體的SOC 很強，或輔助外加磁場，異質結介面可能形成拓撲非平庸的金屬表面態，它與超導態交會之邊緣 edge 處，可能出現馬約拉納費米子、出現零能模。
(2) 其次，一些非常規超導體，超導配對對稱性通常為 d 波或 p 波等。此時，超導能隙在某些動量點或費米麵特定位置處閉合，形成所謂的“節點”(nodal point / line)。此所謂無能隙節點超導體，其(dI / dV) 在V ~ 0 附近呈現 V 型能隙特徵，可能表現為線性比熱、零場磁通渦旋束縛態等。如果碰巧圍繞在這個無能隙節點處，存在拓撲非平庸金屬/ 半金屬表面態，體系即為拓撲節點超導體。在這些節點處，可能存在馬約拉納準粒子和零能模。筆者猜測，丁洪老師他們看到的“鐵馬冰河”，大概可歸類於此。
(3) 再次，在丁老師的“鐵馬冰河”、半導體/ 拓撲絕緣體 – s 波超導異質結外，最近有人提出在反鐵磁體AFM + s 波超導體構成的異質結處，因為近鄰 proximity 效應，可能形成此類拓撲節點超導態。自然，異質結介面邊緣處將可能出現馬約拉納零能模。這是一類新的拓撲超導態和馬約拉納準粒子產生方式，對理解非常規超導機理、拓撲量子態及新型量子器件均很有價值，引起關注。
王銳老師的落腳點，就在這 AFM + s 波超導異質結上。他們透過梳理和質疑，發現實驗觀測到的零偏壓電導峰 ZBCP 未必就是馬約拉納零能模的真切訊號。這種不確定性，體現在三個層面：
其一，如前所述，零能模出現的必要條件是p 波超導態，即局域自旋三重態(庫珀對的一雙自旋相互平行、而非自旋單態的反平行)。實驗就可能利用自旋極化依賴的測量，去探測不同自旋極化下的零偏壓電導峰 ZBCP。漂亮的原理！
其二，宏觀上，AFM 雖然有磁性，但不破壞時間反演對稱性，因此無能隙拓撲節點超導可穩定存在。另一方面，AFM 層與超導介面的邊緣幾何及對稱性卻存在諸多變化，給自旋極化依賴的操控提供了實驗可行的空間。
其三，基於前兩者，既然容納馬約拉納零能模的邊緣態必須是p 波配對，則實驗測量中，當隧穿電子的自旋與三重態自旋平行時，自旋依賴的隧穿電流(隧穿磁電阻最小) 將達到最大，也就是說得到的 ZBCP 將最大；反平行時，得到的ZBCP 將最小。透過調控隧穿電子的自旋極化率 spin polarization，得到的ZBCP 將會按此規律變化，也即證明測量的電導峰即為零能模。
王銳他們選擇以常規s 波超導襯底+ 反鐵磁 AFM 單層構成的異質結為物件，如圖3(A) 所示。考慮 AFM 層的幾種不同邊緣幾何(對稱性)，計算得到(dI / dV) 譜。其中，構型為 ZZ 的邊緣態展示出最典型和最強的 ZBCP，因此被選擇為重點關注物件。
細緻分析匯出的結論是：所謂的無能隙拓撲節點超導之邊緣態，可能存在有不可忽略的自旋單態(庫珀對自旋反平行) 超導配對之貢獻，也就是拓撲平庸量子態的貢獻。因此，實驗測量得到的 ZBCP，未必能真實反映馬約拉納零能模的資訊！這一結果，雖然筆者用短短一句話代替王銳老師呈現出來，但意義重大，大約反映出拓撲超導中馬約拉納準粒子的可靠表徵測量依然面臨挑戰。當然，這只是計算，未必就一定與實驗測量等同，雖然此類計算已日臻完善、可信度較高。
值得提及，當很多理論與實驗物理人在這一領地中只爭朝夕時，王銳他們也朝暮風雨。在這一工作中，他們踏馬邊緣、險中求進，得到異常結果雖不足為奇，卻彌足珍貴！
最後指出，本文描述可能多有不周之處，敬請讀者諒解。對詳細內容感興趣的讀者，可點選文尾的“閱讀原文”而御覽王銳老師他們最近刊登在《npj QM》上的論文原文。
Spin signature of Majorana fermions in topological nodal-point superconductors
Junjie Zeng, James Jun He, Zhen Ning, Dong-Hui Xu & Rui Wang
npj Quantum Materials 10, Article number: 48 (2025)
https://www.nature.com/articles/s41535-025-00768-1
備註：
(1) 筆者 Ising，任職南京大學物理學院，兼職《npj Quantum Materials》執行編輯。
(2) 撰寫本文未徵得王銳老師同意，文責筆者自負。撰寫參閱了諸多網路上的神文名篇，特別是參閱了《知乎》、《百度》和《Bing》上搜到的資料。不一一署名，謹此致謝！
(3) 小文標題“邊緣行走的馬約拉納”乃宣傳式的言辭，不是物理上嚴謹的說法。這裡只是提示，在STM 或Andreev Reflection 隧穿測量中看到的邊緣態零能模，可能有多重面目。高品質的自旋三重態超導和馬約拉納準粒子 (Majorana fermion) 依然在路上！
(4) 文底圖片拍攝自鄂東南 (20240608)，顯示夏天的水蜜桃掛在樹枝上，很像那拓撲超導奈米線端部的馬約拉納準粒子。小詞 (20250521) 原本是乙巳年小滿所寫。小滿節氣，在華夏之南指暴雨增多、降水頻繁，故而雨水之盈。在北方，“滿”指小麥飽滿、樹木繁滿。因此，這是耕種而期待收穫滿滿的節氣，也是王銳等拓撲材料人耕種拓撲超導量子計算的意象。
(5) 封面圖片都是凝聚態中馬約拉納零能模的影像表達，分別來自https://www.kitp.ucsb.edu/activities/majorana-m12、https://yazdanilab.princeton.edu/projects/majoranas-condensed-matter-systems。
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