數學課外練習的目的

因材施教 | 事倍功半

    在具體對比不同練習之前，感覺必須先說說數學課外練習的目的。因為每個孩子的進度，對數學的興趣，對數學概念理解的深度都不同，每個家長對自己孩子數學學習的期待值也不同。所以選擇課外練習，首先要客觀地瞭解自己孩子的現狀和興趣，然後明確一個合理的期待值，再做選擇。

    數學課外練習的目的，大概可以分以下幾種：

加深對概念的理解

    美國小學很大一部分老師講數學，特別是運算，主要關心學生是不是記住了運算方法。比如說：

• 多位數加法的進位，要從左往右進。但是為什麼要往右，或者不講，或者簡單帶過；
• 分數除法，要把除數倒過來，然後跟被除數相乘，再約分，一二三四五幾步走。至於為什麼要倒過來，為什麼除法變乘法，也很少仔細解釋。

    這種知其然而不知其所以然的教學方法，只能讓學生表面上達到學會運算的教學目標，但是所學知識並沒有跟之前學的其他概念連線起來，對以後的學習也難有延伸性。所以有時候需要在家裡開小灶，讓孩子弄明白其所以然。

鍛鍊計算速度和熟練性

    小朋友一開始學加減法，數手指頭，完全沒問題。但是如果一直這麼數下去，會影響到對其它新概念的學習（因為同一時間內，腦運作的承載量是有限的，都用在數手指上了，那麼可以分配到理解新知識的承載量就不夠了）。為了以後能有效學習新知識，十以內加減法，二十以內加減法，還有乘法表這些常用計算，在理解了之後，就要透過練習，變成看到題目就能脫口而出說出答案的熟練程度。學校做速算題的機會有限，家庭作業又極少，所以有時候需要在家裡多練習才能達到熟練程度。

擴充套件題型

    有些基本運算，小朋友需要接觸多種相關的應用題才能加深理解，而且不少大綱也會要求多種類應用題（word problems)，但是因為教材和師資的限制，很多學校教學實際上做不到多種題型。

    比如說，加減法應該包括1）增減；2）合併/分開；3）比較 這三個方向的應用題。但是學校教學並不一定會把這三種都包括進去。再比如，乘法應該包括 1）多組的總量；2）工作效率和工作總量；3）速度和距離，等等應用題。但是學校的教學往往只涉及到計算多組的總量。

    所以透過某些課外的練習，可以讓小朋友有機會接觸到那些學校沒有教授的題型。

    以上三點主要是以現有的學習成績不錯為基礎而提出的，當然肯定也會有現有的學習成績趕不上平均水平的情況（並非所有亞裔，華裔孩子就會自動的數學成績好）。

追趕進度

    如果小朋友的現在成績還沒有達到平均分的水平，家長可能會需要額外幫小朋友補一下，特別要針對那些沒有掌握好的概念和計算方法。因為數學概念的學習都是新知識建立在舊知識的基礎上的，不補這個漏的話，對以後的學習負面影響會越來越大。

準備參加競賽

    如果小朋友對數學興趣特別大，在這方面也顯示了超強了學習能力，家長可能也會鼓勵小朋友參加各種數學競賽。那麼為了準備參加競賽，孩子就會需要接觸一些難度遠遠超過小學數學平均要求的數學內容。

    家長在捋順希望孩子能從數學課外練習中獲得什麼幫助之後，就可以根據需求找合適的練習了。

    下面開始對最常見的一些課外練習資源進行一下總結和對比。

新加坡數學（新數）

循序漸進 | 結構嚴謹

    新加坡數學（Singapore Math）其實嚴格意義上來說並不能算是課外數學練習，因為它本身就是一套數學教材，包括教科書，教師指引，練習冊，額外練習冊，高難度應用題等等。因為是教材，它最大的特點就是：

 按美國教學大綱編排

循序漸進地介紹和練習每個知識點

來透過目錄感受一下他們的練習冊（workbook）結構

每學年的練習冊分A,B兩本（對應上下學期），每本包括4-5個單元（每個單元一個數學概念），每個單元有5-10個練習，再加一個單元總結練習。

    每個單元內的練習都是循序漸進，由簡至難。每套練習一般有3-5頁。比如這組介紹分數概念的練習。

    雖然按它循序漸進的順序做應該不會很難，但是每組練習3-5頁的話，就算專心又動作快的小朋友，還是要花至少15-20分鐘的。

    除了AB兩冊練習冊，每個年級還有一本

額外練習

，

也是按單元順序分的，編排沒有AB練習冊那麼詳細地按難度遞增，但也並不是比AB練習冊加深難度的題，只是額外多一點練習用的。

    除此之外，每個年級也還有一本加深難度的應用題練習冊。

    這本應用題練習冊基本可以自成一個體系，因為每組練習裡，都先給了兩三個例題的詳細圖文解釋

然後是一組跟例題很相似的練習題

之後還有一組更加高難度的題，也是先給例題，再有一組相應的練習題

關於版本

關於新數，疑問最多的莫過於幾個版本的區別。根據他們網站的解釋，版本的描述如下：

Primary Mathematics U.S. Edition

最初的版本，按新加坡教學的大綱和數學概念介紹的順序編輯，只是計量上改用美國的計量單位，關於錢的學習採用美國的錢幣。

Primary Mathematics Standards Edition

按照（釋出Common Core之前的）加州公立學校標準大綱編排的內容，但是現在加州公立學校也都採用Common Core大綱了。

Primary Mathematics Common Core Edition

按照Common Core大綱編排的內容。

每個州的公立學校是否採用的了common Core大綱的數學教材，根據Common Core的官網統計如下圖

但是這個圖是在不斷變化中的，趨勢是更多的州在放棄使用common core大綱。而且，每個州是否採用，只限於州內的公立學校。私立學校有自由選擇任何大綱的教材。要知道自己孩子的學校用的是什麼教材，是否根據CC編排的，最簡單的方法就是問問老師。

新加坡數學總結

新數我們自己也斷斷續續用了四年，總結如下：

優點：

• 知識點全
• 按教學大綱順序編排
• 題量足
• 難度可選（普通練習冊和高難度應用題）
• 傳統紙質練習冊（不用電腦或者Ipad螢幕）

侷限性：

• 題量較多（每個練習3-5頁，每天20分鐘）
• 需要難度跨度大的練習題的話，需要買多本練習冊（每本$10-15）
• 題型集中，每套題都是一個概念一個難度範圍內的（方便熟習一種解題套路，單元總結除外）
• 沒有跨概念的混合練習，跟學校考試的混合題型形式不同。沒有什麼機會讓小朋友練習自己判斷和選擇解題方式。
• 沒有任何獎勵和鼓勵機制，小朋友做對做錯做多做少的反饋，全由家長負責。

適合物件：

    學校老師教學欠缺深度或者系統性，以及缺少系統性練習，為了補習缺失的知識，或者加深對概念的理解，而需要系統性學習數學概念，每天有20+分鐘的。

IXL

題量無限 | 分層清晰

    IXL其實不光是數學練習，每個年級的所有學科都有附帶練習。

他家的最大特點就是題庫大且全。比如說上圖的四年級列表中，顯示數學技能有383個。怎麼會這麼多？

所以咱們來具體看看他們的數學四年級題庫頁面，大概分類如下：

• 每個年級有包括30+個數學概念 （每個概念以字母順序標註）；
• 每個概念下有10-25個小練習 （這就是那383個技能）；
• 每個小練習裡有50+道題；

可以看出來每個概念下的小練習，都是按難度和循序漸進的學習進度細分的

以字母標記的概念，連26個字母都不夠用，要延伸到BB等雙字母標記。

總之就是如果點進去一個年級，就是一整頁密密麻麻的練習題連結。當然也可以選擇按數學概念歸類顯示題目，或者針對某個概念，設定練習計劃。

家長可用的反饋資料也一樣量大形式多。

可以點看過去30天內，孩子在IXL練習上花的總時間（和分項時間），做了多少題，接觸過哪些數學概念，每個概念做了多少題，等等

也可以看具體每道題，孩子的答案和正確的答案比較

還可以看按照技能和概念分類，孩子做題的各種資料列表

以上貼的圖例只是蜻蜓點水，實際上在IXL裡家長有幾十上百種檢視孩子進度和練習效果的方式。

IXL還給小朋友提供遊戲性的線上獎勵，每做完100道題（或者100的整數倍），或者每做對一定題數，或者每熟練掌握一項技能，小朋友都可以獲取遊戲裡的小物件打關

    這裡要強調一下，那100道題是累積計算的，就是說很可能是過去五天做了一共20+25+15+5+30=95道題，今天繼續做，在做了5道題之後，達到了累積100題，這個獎勵就會蹦出來。

    所以說如果小朋友本來是在專心做題，並且如果在不受打擾的情況下，預計今天可以做25~30題。但是5題之後，因為積累到了總數100題，這個獎勵遊戲就會蹦出來，小朋友肯定會點選獎勵連結去玩打關遊戲，玩完之後，就很難立馬回到之前那個專心做題的狀態，有時候會找不到或者想不起來剛才做到哪兒了，還有時候壓根就不想再做了。

IXL總結

    IXL在我們學區是學校統一使用的網上數學練習之一，除了課內練習（自習時間內小朋友可選的練習之一），也給每個學生提供單獨的賬號密碼，可以回家做題。

    大壯在學校用IXL的頻率和時間都很高。但是在家裡，因為難以在300+個技能裡快速準確地找到難度適合他的練習，也很少需要在一個小技能裡重複做很多類似的題目，所以在家裡很少使用。

    對於IXL的各方面總結如下：

優點：

• 題量大
• 知識點全
• 難度和概念分層細
• 家長檢查的資訊量大，內容全，展示形式豐富
• 有獎勵機制的小遊戲
• 不少學校提供課外使用賬號（對家庭來說是免費資源）

侷限性：

• 家長在題海中難以判斷應該做哪些題。
• 知識點分類過細，並且每個知識點的題量都很大，可能會在同一技能/概念上花費過多時間做不必要的練習。
• 積分系統和家長資訊量過大，難以篩選出最需要的資訊。
• 獎勵性質的遊戲會打斷正在進行中的練習，分散孩子的注意力

適合物件：

    需要做大量練習題的小朋友，並且家長/孩子明確知道該針對哪個概念/技巧進行練習，也知道該從哪個難度開始做題的。

BeeStar

綜合性強 | 量少而精

    Beestar其實也是多科的練習，每個年級包括ELA (語法+閱讀理解），math, science, vocabulary, social studies, 以及gifted math。每科每個禮拜有兩套題，每套題裡有10道題。不過咱們今天努力不跑題，只討論數學。BeeStar的數學練習分四種形式：

• 普通數學練習 （免費，網上）
• Gifted math (加深難度的數學練習，網上）
• Printable worksheet (免費，可列印的練習題）
• 數學競賽 （網上）

接下來一個一個講

Beestar 普通數學練習

    Beestar的普通數學練習，是完全免費的。只需要在他家網站上登記一個免費賬號，把數學這一項加進賬號裡，就可以登陸網站每個禮拜有兩套題。每套10題，大概需要5-10分鐘做完。一個學期內的每個禮拜的題包括哪些內容，網上都會列出來

    從每禮拜的題目內容範圍看來，就知道他們每套題都是混合不同概念的綜合題，而且難度也沒有細分。以我們做了一年的經驗來看，也沒覺得每個學期的題目難度是循序漸進遞增的。所以說每個禮拜的兩套題，都是

概念和難度跨越整個學年的綜合練習

。

    10道題做完（如果做了一半中途關掉網頁的話，不會自動保留選擇的答案，下次開啟練習要從頭開始做），網上提交之後可以立馬看到對錯，以及做這套題所用的時間。

    答錯的題，不但會標註選錯的選項和正確的選項，如果答案不是那麼直觀的顯而易見的，還會給出詳細的解釋。這一點我非常喜歡，因為做題最精華的部分就是錯誤，只有在錯誤後理解了為什麼錯，知道如何改正，才會有進步。

    所以說他們家的一套題，就跟咱們小時候的一張卷子一樣，比較簡單明瞭。做完了判對錯，哪裡錯了解釋一下。很直觀。

    對於家長來說，點進孩子的初始頁面，可以看到這個禮拜練習列表，哪個做完了哪些還沒做，都可以一目瞭然。點進去那些已經做完並提交的練習review，看到的介面是跟孩子看到的一模一樣的，有題，有孩子的選項，正確的選項（如果孩子做錯了的話）。就跟咱們小時候家長看孩子的試卷一個效果。

    這兩套普通數學練習題的難度，據我們自己的經驗，跟美國普通小學的大綱要求相比，難度差不多。但考慮到小學課堂教學的實際水平很可能達不到大綱的全部要求，所以Beestar的普通數學練習題，也比小學平時的數學作業和課堂練習的難度稍微高一點點。

Beestar Gifted Math

    這個Gifted Math的形式跟那個普通數學練習題一樣，每個禮拜兩套題，每套10題。（價格為$20/學期）。但是難度比普通數學題難不少，題型多，涉及的概念廣，有的題還會涉及到更高年級的概念。

    也正是因為題型多（有不少影像題，圖表題，幾何題），有時候還會故意給出一些不需要用到的條件，以混淆視聽，鍛鍊小朋友的分析能力，所以我們感覺beestar的gifted math比新數的challenging word problems (那裡全是應用題）難度要大一些，涉及的概念和解題方法也要廣一些。

Beestar的排名獎勵系統

    Beestar的獎勵系統跟美國大多數的個人積分或者贏取遊戲完全不同，他家採取的是最傳統的排名大法！沒錯，就跟咱們小時候考試排名一樣。不過他這個排名是全國範圍內的，所有參與本週本科的小朋友的排名。對於小朋友來說，因為基本上除了自己，榜上的其他人都不認識，每個禮拜也有不少變動，沒有說專門盯著誰要比高低，所以這種排名對小朋友心理壓力很小。

    排名的參考指數就兩樣：準確率和時間。

準確率

：只有單科裡的兩套題都答對80%或以上（10題對8題），才會參與這科的排名。（所以如果錯誤比較多，不用擔心會看到自己排名倒數。）

時間：在參與排名的人裡，時間越快，排名越高。

名字邊上有個靶子標誌的，是代表10題全做對的。（所以說，相比一個做對8題且快的小朋友，10題全做對但是慢的人排名會低）

這個排名，不點開看也不會自動蹦出來。所以對於像大壯一樣，完全無所謂排名和競爭的，他也很少去看，對他來說這個排名沒壓力也沒什麼影響。單是每套題之後的正確率和看哪裡錯了，他的反饋就夠了。而對於小美這種喜歡爭第一的，每禮拜都特心急地去查排名，無論是上榜了還是排頭幾名或者第一名，都會很高興。但也知道其它小朋友一樣努力一樣聰明，肯定有人時不時會比她做得好，所以也學會了平常心。

可列印練習題 （printable worksheet)

    這些練習題，是為了在理解運算規則和方法後，提高運算準確率和速度的。可以看作為速算練習。這些練習也是免費的，按一個年級內的計算要求分類列出來。每個計算要求，有10-12頁練習題。

    每個練習題是兩頁PDF文件，一頁是題目，一頁答案。

    題目那一頁也標明瞭目標時間和準確率，如果小朋友連續兩三次能達到目標的時間和準確率，就說明這項技能已經很熟練地掌握了。

    這一小點的額外目標，效果出奇的好。因為其他那些練習網站大多沒有提前列出目標（只是做完之後有總結），所以小朋友往往沒有“做得又快又準”的動力。這頁面上的一小行，會很神奇地讓小朋友努力去達到這個目標。對於速算練習的這個目的效果特別好。

    這些分類的速算練習題，算是對他家網上數學練習的混合綜合題的一種補充。可以專門針對某項運算技能進行練習。

Beestar總結

    我們家開始用Beestar是一年之前，源於某次學校的ELA/Reading考試（機考）成績比預期低不少，但是問老師得不到任何反饋，既看不到考試原題，也不知道錯在哪裡，老師也說啥啥都很好，沒有特別需要努力或者改進的地方。（我比較看重錯誤的價值，這種零反饋資訊很難接受）。於是我就想找個形式類似考試的資源（機考+混合題型）練習做做，不要花很多時間，但是至少可以知道哪裡有不足。用了一年之後，總結如下：

優點：

• 題量少而精，
• 綜合性強，符合考試的混合題型模式；
• 答案頁的解釋詳細；

• 反饋簡單明瞭；
• Gifted math涉及概念多，深度強，題型豐富，難度夠挑戰性；

• 有可列印的速算題，且時間和準確率有明確目標；
• 全國排名對小朋友有激勵性；
• 普通數學和列印題都為免費。
• 所需時間不多，每個練習只用5-10分鐘

侷限性：

• 題量少 （每科每禮拜只有2*10道題）；
• 題目涉及的知識點完全混雜，沒有分類；
• 全年的題目涉及概念和難度差不多，沒有循序漸進的結構性；
• 題目和反饋方式沒有娛樂性。

適合物件：

    已經對本學年的大部分概念和技能有基本瞭解的孩子，只需要少量題目查漏補缺。或者需要透過挑戰性難度的題目加深理解的。時間有限，不打算每天花太多時間練習的。

Beast Academy

挑戰腦力 | 形式多樣

    Beast Academy是以高難度和競賽預備題出名的。因為他們的特定目標人群（對數學概念的基礎紮實，理解深入），所以只有2-5年級的練習。

    他們每個年級的概念雖然是跟普通教學大綱相對應的，但是學習和練習的內容完全

不是普通教學的內容，而是建立在已經對普通教學內容理解得很深刻的基礎上的

。也就是說，他家是完全為了拔高，而不是為了循序漸進講解或者補充練習大綱內的內容。這些拔高的內容，也不會出現在一般的課堂教學或者考試範圍內，更多的是為參加數學競賽做準備。

網路和書本兩種形式

    Beast Academy的內容可以透過網路或者書本兩種渠道進行學習（分開購買和付費）。

書本形式主要包括兩個 部分：

• 漫畫式的課本（解題方式講解）
• 練習題冊

每個年級有四冊課本ABCD, 每一冊大概有三個章節

每一個章節包含5-10個具體課題

    這每一個課題，對應的不是普通數學大綱中的一個概念或者一個計算方法，而是一種題型和對應的解題思路（比較像奧數）。比如

    更多的分析，一會兒在網路版內容中再具體說。

而網路形式，包括三個部分：

• 漫畫形式的課本，講解解題方式
• 針對每個題型的練習題 （附帶針對錯題的反饋解釋功能）
• 真人講解解題方式的影片

網上的漫畫課本是跟書本的內容是一模一樣的

這些漫畫課本，主要是透過Beasts的對話來講解某種題型的解題方法。

    因為這些題型對於小朋友來說還是很燒腦的，按照普通數學學習出來的方法死算往往算不出來（或者要多花很多時間精力），所以他們教的基本上都是簡便演算法或者解題竅門。

    網路版的使用者，如果看漫畫不容易理解解題思路，還可以看真人講解的影片。每一章的解題思路都附帶一個視屏。裡面的講解是真人+板書的形式，這個講解老師表情豐富也還挺幽默的，所以小朋友應該喜歡。

老師會給應用題的關鍵詞劃重點，

從這個例題可以看出來，他們的解題思路對小朋友的數感要求比較高。比如下面這個，是要告訴我們513按順序減去67，65，68，不如先把67，65，68加成200這個整百數再減，比較快捷。

可是這就要求到小朋友能首先看出來把67，65，68加起來能湊成整百（否則先加再減不一定更方便到哪兒去）。這個數感要求對美國的二年級小朋友來說，並不那麼容易的。

除了漫畫和影片之外，每套練習題最前面也有例題。

（不過這個例題裡也只是說這個方法smarter，但是沒有解釋為什麼smarter, 需要小朋友意會)

例題之後就是練習題

網路版的練習題，每題之後都有即時反饋，做得對錯，以及正確的解題過程是什麼，都很清晰。

每個題型大概有5-8個練習題，做完之後有反饋一共做對幾題

    再看兩個例子，他家對小朋友的數感要求真挺高的，比如這個除法的分解

這樣分解很合理，但是為什麼分解成630,000+2,700+9，而不是600,000+32,000+700+9或者其他任意位數組合，沒有說。沒有一句類似“63，27，9都是9的倍數，可以被9整除” 這種解釋，預設小朋友自己可以看出來。

    還有下面這個例子

    這種分解組合法很合理，但是在解釋的過程中沒有提到乘法的組合或者分解規律，直接預設小朋友應該知道。所以他家針對的使用者，真的是已經有良好數感和深刻理解的小朋友。否則小朋友很難理解那些解法，需要家長去幫忙填補中間這個知識空缺。

Beast Academy總結

優點：

• 難度大挑戰性大，
• 按題型分類，有針對某一題型的練習，有助於熟悉解題思路，
• 漫畫形式有一定娛樂性，
• 真人的影片講解生動幽默（網路版）
• 答題之後的反饋清楚詳細（網路版）

侷限性：

• 內容編排跟普通課本的進度和難度重合度很低
• 只注重難題的解題套路
• 對孩子已有的數學知識要求高
• 難度大，對普通的數學教學內容的幫助有限

適合物件：

    有很好的數感和對數學概念深入的認識，本身數學能力和理解力都比較高的孩子。希望/計劃進入數學競賽之類的活動。如有需求，家長有能力有時間給孩子更仔細地講解書裡的解題思路。

Khan Academy

影片講解 | 結構嚴密

    Khan Academy是個全免費的非盈利組織，意在為全球提供高質量的免費教學資源（這個我無比敬佩）。起源是創始人自己為了幫親戚學好數學，錄了幾段板書影片放Youtube上，結果大受歡迎，於是14年來發展成為一個全科的影片+練習網站。其中的數學部分包括從K到高中（也包括AP課程）。

    他們的課程內容也可以選擇按不同的大綱編排，選擇非常簡單方便，只需要在設定裡選一下就可以了。

    Khan Academy的內容結構安排很直觀，跟大綱課本一樣，每個年級點進去，按順序列有本年級需要掌握的概念和技能作為章節，每個章節裡有包括分得更細的循序漸進的知識點。

    每個知識點點進去，現有1-3個講解影片，然後是相關的練習題 (4-8題)。每個章節結束前還有章節的quiz。

    影片是長這個樣子的，電子黑板上用不同顏色一邊寫畫一邊講解。步驟清晰，畫圖清晰。

不過真的只是純講題，其他一句廢話都沒有，沒有故事，沒有情景，沒有笑話，連你好和下次見這種打招呼也沒有。

    講完題之後就有同樣題型的練習，他家的練習題與眾不同的一點是：有具體到每個解題步驟的填空。有助於小朋友熟悉步驟，做完之後也可以再審一遍每步的答案確保沒問題。

    如果做錯了，不會立馬顯示正確答案，只是提醒答案不正確，再試一次，也可以尋求幫助（顯示提示）。當然，不想再試也可以。

    如果提交了錯誤答案，也不會立馬顯示正確答案的所有步驟，還是分步驟的提醒和顯示解法。比如這題，可以一次次點開一共五步提示。

    他們編題還是很認真的，再小的知識點，也會盡量多形式的問答，比如用方塊演示位值的這個知識點，即使只是“方塊對應數字”這個簡單練習，也做到了雙向（數字–>方塊，方塊–>數字）練習。

    還有比如這道題，看起來簡單，其實也注重了兩個小細節：1）沒有百位數，看小朋友會不會用0佔位。2）填空題（完全自己寫數字）比選擇題（認出來正確答案）難度更大，更容檢查現出來小朋友不懂的地方。

    做完題之後提交，會頒發一定的Energy Points做獎勵

Energy Points根據得獎來源分不同種類

    除此之外還會根據不同的學習進度頒發各種獎牌。如果初高中各科一直用Khan Academy的話，有人拿過幾十萬的energy points和集齊各種獎牌。

Khan Academy 總結

優點：

• 按照大綱要求編排，大綱選擇方便
• 影片講解清晰明瞭（他家是唯一一家對普通大綱內容提供影片講解的）
• 練習難度合適，題型多樣化，注重細節，題量合理
• 答題回饋方式（分步提醒）能鼓勵小朋友儘量自己思索，找到答案
• 提供點子和獎牌的獎勵制度
• 有手機App版
• 全免費

侷限性：

    這個看似完美的program有侷限性麼？

    我給我們家的兩位小朋友看了他們的講解影片，長這樣的，記得嗎？（每個影片5-10分鐘）

    大壯的反應是這樣的

他說，這怎麼連個老師的樣子都看不到，寫得滿滿一黑板的看著暈。影片看了不到一分鐘就不想看了。

小美更是

所以，他家的侷限性只有一條，但是對低年級小朋友來說是致命性的一條：影片講解太無趣了–BORING。確實，10歲以下的小朋友，很難專注於一個語調平淡，沒有情節，沒有故事性，沒有真人，沒有互動性，只有純數字的板書講解。

適合物件：

• 初高中學生
• 本身學習動力強的，對數學概念和解題方法有比較強烈的好奇心的，有強烈自學慾望的。
• 對於低年級小朋友，家長和小朋友一起看影片，隨時可以暫停，聊一下影片的步驟。
• 對於低年級小朋友，如果家長不清楚怎麼跟小朋友講解解題方法，可以先自己看影片，然後再跟小朋友講解。
• 對於低年級小朋友，不需要講解，只需要網上練習題的

Prodigy

遊戲專業 |娛樂性強

    如果說Khan Academy是完美數學內容，只缺少娛樂性；那麼Prodigy基本上就是反方向的極端–娛樂性遠高於數學練習的本質。

    不過，正是因為他家過人的遊戲性，讓他們成為了美國學生和家長裡最受歡迎的數學練習，在美國家長裡，評分非常高，使用的人非常多。

    看他們在App Store的宣傳圖片，就知道是主打遊戲環節

如果是家庭用的話，家長先選擇好所在地區和所用教材大綱（可以出相應的數學題）

之後有頁面可以選定年級，以及設定一個每次答對多少題的目標。

家長設定完之後，小朋友就可以開始玩了。

先設計自己的人物形象 (不是我的影像被拉伸了，是他家的顯示在手機裡就是這個被拉伸的樣子）   

再選擇去哪個島玩，玩什麼

10分鐘過去，終於選擇完遊戲之後，開玩。

自己的人物會跟App裡的人物有比魔法的故事場景，隨著故事推進，要時不時比試一下。比試的時候需要魔法道具，這時候數學題終於上場了。

換取魔法道具要靠做數學題，每比試一次，會有一道！一道！一道！數學題。

至於這道數學題是這個年級裡哪個概念什麼難度，似乎是完全隨機出的（至少我沒發現什麼規律，大壯在學校用過，也說題目的知識點和難度完全隨機）。

比如，這道認圖形題

一秒鐘答完之後，按“Cast Spell" 檢視對錯，對的話獎勵一個魔法，回去遊戲對打。

答錯了的話，會顯示 “錯誤”

但是不允許再次試答

答錯之後唯一的選項是“檢視正確答案”

正確答案會用綠色標出。

答錯題之後依然可以回去遊戲繼續玩，只是拿不到魔法，要被對方打。

    然後就這麼迴圈下去，故事情節一點點推進，偶爾需要花個半分鐘做道數學題，對錯沒太大關係，都可以很快回到遊戲繼續玩。

    他家的數學題有一點優勢非常突出，就是頁面提供多項可用的解題工具，比如

可以把螢幕當草稿紙，寫寫畫畫

有可移動的小圓片，幫助數數和做簡單加減法的

有個十百的位值方塊，可以用來理解相關的計算

還有分數段，理解分數意義和加減的

很有種在電腦上對數字Hands-on的感覺。

Prodigy 總結

優點：

• 娛樂性非常高，遊戲選項和內容豐富
• 可以方便設定小朋友的大綱
• 答題介面有多種輔助解題工具

侷限性：

• 遊戲所佔時間比例遠遠超過數學練習（遊戲佔至少80%）
• 數學題目的型別，難度，知識點，完全隨機
• 只有一次答題機會
• 答錯之後，只顯示正確答案，沒有相關解釋
• 答錯之後可以馬上回到遊戲介面繼續玩

適合物件：

• 不願意做任何傳統形式的數學練習的
• 以打遊戲休閒和打發時間為主，希望中間隨便穿插一點數學題的

Reflex Math

專注速算 | 遊戲多樣

    Reflex math不是一個全科的數學練習，他只包括加減乘除裡最基本的運算 （100以內的加減法，以及乘法表之內的乘除法）。目的是練習速算的（Fluency, 包括準確率和速度）。    

    他們的題目是self-adaptive的，就是說根據小朋友的答案對錯，決定接下來的題目有哪些。做對了的題不會再出現，做錯的了的還會反覆出現，加強練習。

    他家加減乘除各有一個這種數字組合表

    每個小朋友哪些組合已經熟練掌握，哪些還需要練習，都有系統記錄。所以在玩遊戲練速算的時候，絕大部分的題都來於是還沒掌握的部分。

    要進入遊戲，首先得做五分鐘的速算通關遊戲

    因為是速算題，所以第一關是要確保數字輸入的速度，要能迅速輸入顯示的這個數字

第二關是速算題，看小朋友的計算能力的大概範圍，以保證之後的練習能給出難度適合的題目。

    正式進入遊戲之後，有很多小遊戲形式可以選擇（只是遊戲形式不同，裡面具體練的速算內容都是根據小朋友的能力提供的，具體數學題跟遊戲形式無關）

    比如有這個Swamp Chomper

    就是池塘裡不停蹦出來數學題（蟲子），要快速輸入正確答案，青蛙才能吃到。解題沒有順序，只要畫面上有的題，都可以解答。只要輸入的答案符合介面上任何一道題，就可以了。

    （他家對速度要求真是很高，感覺是每道題從出現開始兩三秒中沒回答出來，那道題就會消失掉）

    還有打宇宙飛船的

     翻拼圖的

    老鼠打貓的

    置辦廚房用品的

    忍者爬山的

    這還只是其中一小部分，總之遊戲的情節特別豐富。雖然玩法都是大同小異，需要快速答題，但是對小朋友來說不同的遊戲情景還是很有意思的。

Reflex Math 總結

優點：

• self adaptive題目，自動為每個小朋友調整難度和練習重點；
• 遊戲故事情景選擇多，娛樂性強；
• 遊戲融合對速度的要求，有效鼓勵小朋友加快計算速度。

侷限性：

• 內容僅限於最基本的兩位數以內加減乘除運算；
• 每次登入要先花好幾分鐘過關。

適合物件：

    不喜歡做傳統打印出來的速算練習，但是又需要鍛鍊運算準確率和速度的小朋友。

    這麼多課外練習看下來， 會發現確實每家都有自己的著重點和侷限性，針對的物件也會很不同。所以要想提高數學，不是說隨便找個練習就有效的。找對了，事半功倍；相反，如果逼孩子做不適合自己的練習，不僅達不到練習的效果，還會讓孩子討厭數學，對學習產生逆反心理，弊大於利。

    這篇總結，希望能幫助家長對數學課外練習能夠有多一點的“知彼”，但是更重要的是要有對孩子的知己：興趣，基礎，學校功課的負荷量，注意力集中的最有效時長，哪種形式的學習對他/她最有效（文字，影像，動手這三種偏好，也都能在這些數學programs中選到更合適的講解方式），其它課外活動的壓力和學習量等等。這樣才能最有效的達到課外練習的目的。